Huber M 估计在CPIII 高程网平差中的抗差性分析

林 飞，史国强

（1.杭州市勘测设计研究院有限公司，浙江 杭州 310012）

CPIII 高程控制网是CPIII 三维控制网中的重要一环，相对精度很高，主要为了满足高铁及城市轨道交通对铺轨施工的高要求，在高铁CPIII高程网的外业施测中，目前采用最多的以及精度最高的方法主要是矩形法[1]。如图1所示，图中的实心箭头主要表示高差的传递方向。通过对矩形法的精度估算，可以认为无论在纵向、横向还是对角方向，其中任意相邻CPIII高程点的高差中误差均具有较高的精度，完全能够满足轨道控制网CPIII 建网精度的要求。而在城市轨道交通的CPIII 高程网外业施测中，目前主要用的方法是三角高程测量。传统的水准网平差一般都是通过最小二乘法求取，然而因为最小二乘估计不具备抗粗差的能力，如果测量数据中存在粗差，则计算结果将会受到严重的影响，其估计值会因为粗差的影响而严重偏离正确值。因此本文研究的目的，主要是引入Huber 函数的稳健估计到CPIII 高程网平差中进行粗差探测，并结合数据探讨调和系数的变化对Huber 法的具体影响。

图1 矩形法示意图

1 稳健估计原理

M 估计是稳健估计的一种，又叫做极大似然估计，稳健估计在测量中也被称作抗差估计，其正是鉴于最小二乘法对粗差的敏感性而被提出的，主要用来消除或减弱粗差对参数估计的影响[2]。其核心思想是，在无法避免粗差影响的情况下，通过构造合理的估计方法来尽可能减少粗差对参数的估值的不良影响，得出最优或接近最优的参数估值[3-4]。稳健估计基本可以分为三类，即M估计、L估计和R估计[5]。它是经典的极大似然估计的推广，易于程序实现，所以本文主要探讨的是M估计。

设L1，L2，…，Ln为观测样本，且L1，L2，…，Ln之间相互独立；X为待估参数。Li的分布密度为f(li，X^)，则其极大似然估计准则为：

通过选择合适的ρ函数或φ函数，再利用式（3）或式（4）来计算参数X的估值，即M估计[6]。

由上述可知ρ函数的重要性，一个ρ函数就定义了一个M估计。为此，国内外的学者们提出了很多可供选择的ρ函数，常用的ρ函数主要有Huber 法、L1-L2法、丹麦法、IGG方案以及Fair法等[7]，本文主要研究的是Huber法，其ρ函数为：

2 算例分析

2.1 概 况

选取某项目的一段CPIII高程网的实测数据如表1所示，其中153H21 点为线上水准已知点，起算高程为514.289 6 m，选取10 个CPIII 点，以测段距离来定权，取1 km为单位权观测。

由水准观测线路可先确定各CPIII 点的初始高程值，将表1 的数据及起算点高程值编辑到程序可以读取的txt文本中，然后用所编程序进行解算。取未加粗差的经典最小二乘法的计算结果作为正确值。

表1 原始观测数据

2.2 加入一个粗差时不同系数的影响

为方便讨论问题，在原观测数据的线路L4中加入10 mm（远大于两倍中误差）的粗差，即观测高差变成0.186 34 m，在一个粗差的情况下，分别取系数为1、1.5、1.8、2、2.5 时的计算结果进行对比。首先是不同系数下的Huber 法以及最小二乘法计算的残差V的对比，如表2所示。

表2 不同系数情况下Huber法计算的残差V的对比/mm

不同系数下的Huber 法以及最小二乘法计算的高程值与正确值之差如表3所示。

表3 不同系数Huber法计算的高程值与正确值之差的对比/mm

由表2和表3可以看出：

1）在加入一个粗差的情况下，系数取1.5、1.8和2的计算结果是一致的。

2）在系数不超过2的前提下，Huber法残差V中所体现的粗差大小和位置，与实际所添加的粗差大小和位置十分吻合，充分说明稳健估计良好的粗差探测能力，而最小二乘法以及系数取为2.5时的Huber法的残差阵无法看出实际添加的粗差的位置和大小。

3）当有一个粗差时，最小二乘法以及系数取为2.5时，Huber法的计算结果已偏离了正确值，而系数值取小于等于2 时，计算结果都与正确值相差很小，此时Huber法的抗粗差效果不受影响。

综上可知，当加入一个粗差时，Huber 法的调和系数在小于等于2的情况下最优。

2.3 加入两个粗差时不同系数的影响

为方便讨论问题，再在原始数据线路L8 上加入10 mm的粗差（远大于两倍中误差），然后分别取调和系数的值为0.5、1、1.5、1.8、2、2.5时的计算结果进行对比。

不同系数下的计算高程值与正确值之差如表4所示。

表4 不同系数Huber法计算的高程值与正确值之差的对比/mm

不同系数时所求得的残差V如表5 所示。由表4和表5可以得出以下结论：

表5 不同系数情况下Huber法计算的残差V 的对比/mm

1）在加入一个粗差的情况下，系数取1.8、2 和2.5的计算结果是一致的。

2）当系数取大于1.5 的时候，Huber 法的计算结果偏离了正确值，而系数值取小于等于1.5 时得计算结果都与正确值相差很小。

3）当系数不超过1.5 时，Huber 法的残差V所体现出的粗差大小和位置，与实际所添加的粗差大小和位置十分吻合，而系数大于1.5时的Huber法的残差阵无法看出实际添加的粗差的位置和大小

因此，当加入两个粗差时，Huber 法的调和系数的取值在小于等于1.5的情况下最优。

3 结 论

综合加入一个粗差和2 个粗差这2 种情况下的结果分析，可以得出结论，调和系数的取值范围会极大的影响Huber 法的抗粗差性，且调和系数的取值在小于等于1.5 的情况下是最优的。在调和系数取值合适的情况下，Huber法具有优良的抗粗差性。

本文研究粗浅，相信在今后的发展中，以Huber法为代表的稳健估计各选权迭代法必将在测绘领域得到更加广泛的应用。