范希尔理论下初中数学数形结合的应用策略探析

韩薛成，董琪翔

（扬州大学数学科学学院，江苏扬州 225000）

著名数学家华罗庚教授曾经说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好。”这首诗说明了要善于将抽象的数学理论和生动、直观的图形两者相互结合起来分析问题，这便证明了“数形结合”的重要性。但是在当下的初中数学课堂里，很多学生都畏惧学习数学，丧失了学习数学的兴趣，更不用说主动思考、解决数学难题，他们认为数学枯燥无味，只不过是计算结果，没有语文阅读的“美”。数学教师要带领学生深挖教材中的“数形结合之美”，引导学生应用数形结合思想思考并解决问题，如此方能激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学核心素养。本文将范希尔理论融入初中数学数形结合教学，探索适合初中生的应用策略，期望能在提高学生的数学核心素养以及几何思维水平等方面达到更好的效果。

一、范希尔理论简介

范希尔理论是范希尔夫妇在长期一线教学中总结出来的经验，故因此命名。这个理论和皮亚杰的认知发展理论不同，对于指导几何课堂教学意义重大，目前国内有越来越多的人开始研究此理论的价值。范希尔夫妇认为教师应该针对学生不同的思维阶段组织不同的教学模式，因此将思维水平与教学阶段相结合，对应学生的思维水平，提出了“五个教学阶段理论”，理论内容如下：

阶段1：学前咨询（Information），教师通过进一步了解学生的解题能力，在旧知经验的基础上施加与之相对应的几何教学，从而提高学生的解题能力，从学生最近发展区出发确定下一步的学习计划。

阶段2：引导定向（Direct Orientation），教师要在课堂教学环节精心设计丰富多彩的活动，吸引学生主动研究，通过动手操作巩固新知、掌握学习目标，能够运用一些学习方法。

阶段3：阐明（Explication），接着上面两个阶段学习符号语言的意义，运用符号语言获得新知，促进教育教学和教师专业发展。

阶段4：自由定向（Free Orientation），引导学生用多样化的方法解决问题，从而发现研究方向，范希尔理论认为这个阶段是让学生利用已有的知识经验发现、探索和运用，激发学生主动学习的意识。

阶段5：整合（Integration），学生在此阶段归纳总结、梳理所学知识内容，通过自己的理解描述成观点，将对象与关系内化为一个新的思维领域，教师要鼓励学生经常反思，从而加深理解知识。

二、提倡初中数学数形结合法的原因

（一）课程标准的改变

新课程标准出台，提出“通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想”，课程标准多次提出要渗透数学思想，其中就包括数形结合思想，这更加凸显了数形结合思想的重要性，越来越多的学者开始研究数形结合思想在一线教学中的作用。新课程改革提倡学生能够运用数形结合思想展开探究性学习，在解决问题的过程中能够培养运用数形结合思想的好习惯，有效突破传统、枯燥的学习模式。习近平同志曾说过“教育是国之根本”，我国非常重视教育，尤其是素质教育，不能再搞老一套的“填鸭式”教育。随着推进教育改革，数形结合思想在初中数学教学中占据了不容忽视的地位，越来越多的学者开始重视渗透数形结合思想。

（二）实践教学的需要

古人云：“授人以鱼，不如授人以渔”，教师应该让学生掌握学习数学的思想方法，而不是就题目讲题目，因此渗透数形结合思想能够提升学生的数学素养，使学生思维富有创造性，以后可以为社会发展、科技进步贡献一份力量。初中生抽象思维能力还没有完全发展，一些难懂的数学语言成了学生学习数学路上的“绊脚石”，教师需要借助直观易懂的数学模型讲解晦涩难懂的数学知识，也就是渗透数形结合思想。每年中高考都会涉及数形结合方面的内容，有效运用数形结合思想不仅有利于学生扩展解题思路，而且也能大大提高解题效率，能够探索问题的一题多解，加快学生的解题速度，提高解题的正确率。数形结合不仅能够改变传统的数学学习模式，给学生学习数学带来更多趣味性、便捷性，学生通过直观的图形感知并理解更多复杂的数学知识，而且能够拓展学生的发散性、开放性数学思维，激发学生的好奇心，让他们愿意尝试各种解题方式，培养创造性思维。

（三）学生学习的需要

纵观目前的数学课堂，教师教学和学生解题并没有普遍运用数形结合思想，部分学生根本不懂数形结合的含义，还有部分学生也说不出来课本上的题目是否运用了数形结合，更别提能够在考试时运用数形结合方法了。每年的中高考试卷都会出现不同程度考查数形结合的题目，这些题目不只局限于明显的关于“数”和“形”的数学问题，而更加关注考查基于双基基础的学生思维的创新能力，这就意味着学生要重视学习和应用数形结合思想。

三、学生运用数形结合思想解题时的问题分析

（一）学生的几何基础薄弱，绘图不规范

结合实际教学经验以及与其他教师沟通发现，大部分学生在运用数形结合解题时绘制图形都不规范，不会借助直尺画图，往往都是画一些只能自己看懂的草图，绘图不准确、不严谨往往也会导致解题失败。画图的目的是直观展示题意，从而促使学生更容易分析解题思路，求得正确结果。然而很多学生画的图形并不能体现数量关系，部分学生的几何基础薄弱，看到题目中的“是它的1.5 倍”等条件无法准确用线段表示。因此，教师要解决学生在以“形”助“数”方面遇到的阻碍。

（二）学生无法运用直觉思维分析图形表征

学生的两种思维模式决定了学生解题时运用的方法，在应用数形结合法解决“图形与几何”部分的问题时，学生应该多以直觉思维分析图像表征，通过形象、具体、直观的图形表征理解关于数与代数部分的知识。而基础薄弱的学生并不能找准图形中的数量关系，忽视了图形中的代数意义，因此无法正确解题。

（三）学生无法用数学的思维方式理解数学语言

学生解决问题时总是习惯用自然语言解释问题，而不能运用数形结合思想看待问题，也就是无法理解问题中蕴含的数学语言。部分学生不理解数学概念表示的含义，而只是一味地死记硬背，不能基于自己的生活经验给予其相应的解释、尝试理解数学概念。

四、范希尔理论下应用数形结合教学法的策略

（一）学前咨询阶段：复习旧知，调动学生已有的经验

在新课程改革的推动下，社会对于教师有了更高的要求，教师应当与时俱进，及时更新教育理念，培养社会需要的人才，增强渗透数形结合思想的意识。数学思想是学生打开数学世界大门的“金钥匙”，教师不应该一味地进行“填鸭式”教育，而要关注情景化教学，关注学生发现问题、探究问题、解决问题的能力，这就要求教师在课堂教学过程中要加强渗透数学思想，而数形结合思想就是数学思想的重要组成部分，因此教师在课堂教学中要提高渗透数形结合思想的意识。

1.在观察中渗透“数形结合”思想。观察、操作、证明一直是数学教学不可或缺的三个环节，环环相扣、层层递进。引导学生应用数形结合思想解决问题，教师首先要从“观察”环节渗透数形结合思想。例如，在教学《主视图、左视图、俯视图》一课时，要引导学生充分观察不同方位看到的图形特征。

2.在操作中渗透“数形结合”思想。传统的数学课以知识为本位，磨灭了学生学习数学的热情，导致他们觉得数学枯燥、无聊。而当前数形结合成了以学生为本位的数学课堂的一种重要的教学方法。比如，在教学《余角、补角、对顶角》一课时，教师要引导学生通过动手操作“摆一摆、拼一拼”，从而感受角的不同大小，感受余角、补角、对顶角的特征。在验证三角形的内角和是180°的过程中，组织学生通过操作摆出不同的三角形，引导学生进一步探索发现、验证计算三角形的内角和。每一步操作都能渗透数形结合思想，一步一步地提高学生的思维能力。

3.在证明中渗透“数形结合”思想。研究中考试卷发现几乎每张中考试卷中都有一道证明题，而证明题学生往往得分最低，因为很多证明题都要借助图形进行佐证，但是图形并不能直接证明，课本明确指出图形只能作为说理的过程，而这是运用数形结合解决问题时一定要注意的问题。例如推导“完全平方公式”时，教师要引导学生构建一个边长为a 的大正方形，还有一个边长为b 的小正方形，求这两个正方形的面积差，先在图中找出面积差的部分，把它分成两个长方形，一个是面积为a×（a－b）的长方形，一个是面积为b×（a－b）的长方形，两个长方形的面积和即a2－b2，则平方差公式成立。

（二）引导定向阶段：认真钻研教材，研究数形结合的典型案例

数学教材是按照发现、产生、发展数学知识的过程编写的，呈螺旋式上升的特点，其中学生容易掌握基础知识，而数学思想并没有具体的呈现方式，学生不容易理解。但是基础知识中蕴含着基本数学思想，每种基本数学思想可能包含几个章节或几个模块的知识，因此教师要认真钻研教材，研究数形结合的典型案例，从而促使学生更容易掌握和理解。教学过程中要设计生动有趣的教学情境，培养学生的数形结合意识。教师要认真研读教材，在讲授新课的环节加入创设情境、自主探索等环节，渗透数形结合思想。

例如《数轴》一课就是典型的数形结合案例，引导定向阶段要始终以学生为主体，教师为引导者，循序渐进地引导学生体会数轴的特征，给数轴下定义。阐明和整合阶段要总结一系列利用数轴解题的类型，在学生解题时提示用画图的方法，给学生的解题思路搭建一座“数形结合”的桥梁，也给教师解决几何教学设计存在的问题提供一条有效路径。有效运用数轴解释、理解实际数学问题，可以突出课堂教学的重点，突破难点，有利于解决一些学生无从下手的难题，使抽象的数量关系变得直观可见，“数”与“形”相结合可以收到非常不错的课堂教学效果。

（三）阐明阶段：注重提高学生的理解能力，掌握三种数学语言的转化

数学界有著名的三句话：“用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界。”数学语言简洁而丰富，大致可以分为三类：文字语言、符号语言、图像语言，这三种数学语言相辅相成、地位相当，只是在同一种知识中的表达方式有所不同。问卷调查显示很多学生转化三种语言的能力较弱，从而导致解题失败。因此，教师实际教学时要重视教导学生三种语言之间相互转化。一般情况下学生很容易忽视文字语言，虽然都会读题，但是很多学生并不了解题目的意思，从而导致无法把题目转化成对应的图像语言。总而言之，教师在教学过程中要更加关注学生相互转化三种语言的能力。

（四）自由定向阶段：借助信息技术增强学生的作图能力

随着信息技术快速发展，课堂教学也不仅仅依赖粉笔和黑板了。这些年来教育部一直倡导将信息技术融入教学环境，因此传统教学模式发生了翻天覆地的变化。值得注意的是，在数学学科中运用信息技术特别有利于发展学生的数形结合思想，如教师课堂教学使用几何画板、GeoGebra 等专业画图软件，可以大大提高作图的准确性，减少人工作图的误差，促使学生更加直观、明了地认识图形。很多学生解题错误的原因并不是不会画图，而是画得不够准确，作图潦草导致解题的正确率下降。

（五）整合阶段：梳理总结、归纳整理应用数形结合法的类型

以数形结合为研究工具，促使学生置身于具体、直观的环境中，经历直观形象—形象概括—本质抽象的过程，充分体会数形结合的好处。那么，数形结合可以解决哪些问题呢？初中数学利用数形结合可以解决的五大类型问题：圆的相关问题、集合问题、函数问题、方程与不等式、三角函数。

五、结语

本文结合一些教学案例展开阐述，对于给学生渗透数形结合思想有非常重要的意义。范希尔理论作为几何教学的重要理论框架，提出学生几何思维水平发展有次序性与进阶性，强调教学活动对学生发展几何思维水平的重要作用，促进了学生发展数形结合思想，具有很强的应用性、实践性与可操作性。结合范希尔理论的五个教学阶段展开研究，充分考虑学生不同阶段的知识基础与能力水平，针对每一阶段学生的几何思维设计相应的教学案例，以帮助学生掌握几何知识、改进几何理解，从而提升运用数形结合思想解决问题的能力。