统计学专业基础课混合式教学模式探究——以几何与代数课程为例

张兴发，张新风，尹居良

（广州大学 经济与统计学院，广州 510006）

统计学是设计实验获取数据，然后在这些数据的基础上组织、概括、演示、分析、解释和得出结论的一门学科[1]。统计学专业的主要培养目标是：培养具备系统的统计学理论知识和应用技能，掌握统计学的主要方法和相关的计算机技术，具备处理特定行业数据问题的能力，能在经济、管理、金融、保险、商业、信息技术、教育、环境和医学等相关领域中从事数据搜集、分析与决策的创新型人才。因此，在“立德树人、专通相融”的人才培养理念指导下，统计学专业将着重培养学生掌握统计理论、方法及收集数据与分析数据的能力。从上述培养方案可见，统计学专业在学生培养中一方面要注重专业基础知识的传授，如数学分析、几何与代数、概率论、数理统计和回归分析等数学类学科基础课程帮助学生夯实理论基础，另一方面还应注重专业知识的应用能力，在多元统计分析、时间序列分析和抽样调查等课程中加入实践教学环节，令学生在面对各行各业的不同问题时，可以灵活变通地用统计方法解决。

一、统计学专业基础课混合式教学模式引入的必要性

为更好地实现上述培养目标，国内外高校的专家和学者们从教学模式上进行了大量的研讨和改革，并于2000 年左右提出了混合教学法。Drysdale[2]回顾了2000—2011 年几篇被引用最多的混合式教学法方面的文献及书目，总结了早期关于混合教学法的一些研究成果；Spanjers[3]调查了混合式教学法对于教育潜力的促进作用，并尝试指出混合式教学法的未来研究机会及研究对象所在。在混合教学法方面，除比较成熟的MOOC（Massive Open Online Course）模式外，还有以SPOC（Small Private Online Course）、雨课堂智慧教学方案等为媒介的混合式教学模式。在教学行为上，MOOC 将授课过程录成视频资料，开放给学生自主学习，主要用于大规模线上教育，一般来说具有教学成本较低、学生数量多、师生互动较少、课程完成度相对较低的特点；SPOC主要面向小班教学，学生可先在MOOC 网站上进行学习，教师会在规定时间开放在线或线下讨论，并完成作业或其他课程任务，除将教学内容推广给学生以外，还增加了对教学内容的思考、讨论，进而引导学生对教学信息进行主动整合[4]；雨课堂智慧教学方案在教学方面并不拘泥于采用线上或线下的形式，但可将习题、课程作业、课外资料阅读和考勤等工作放在线上进行，同时兼具线上线下教学的优势，降低了教师的重复工作量，同时提高了教学时效性[5]。

对于大学理科课程，尤其是大学数学类课程，因其内在逻辑性较强、需要学生对课程有较高的掌握度，因此目前更常见的教学模式是以SPOC 及雨课堂为主的混合式教学模式，如王辉等[6]将雨课堂+SPOC 的混合式教学模式用于电力电子技术课程；杨文霞等[7]将SPOC和翻转课堂的混合教学法用于大学线性代数的公共课教学，比传统教学模式获得了更好的教学效果；吴开宁等[8]总结了将雨课堂应用于大学数学类课程教学的优缺点，并指出即使在混合式教学模式下，也应适当保留定理证明及例题计算的板书过程，提升学生的课堂参与度。

统计学是一门注重应用的学科，统计方法在应用到各学科时，都要根据其专业特点进行一定调整。为了使同学们在毕业后可以灵活应用统计方法，我们在开设专业基础课时，主要强调知识结构的严谨性，对于基础课的应用性没有给予充分的重视，因此导致学生不知基础知识有什么用，也不知该如何将其应用在后续学科及实际问题中。因此，为深化学生对课程的理解，提升学生的学习兴趣，我们可以尝试引入混合式教学模式，在保留专业基础课程原有的理论性、严谨性等基础上做出改进，使其具备更强的可应用性。统计学的专业基础课都是数学类课程，下文将以几何与代数课程为例研究教学模式的改革。

二、几何与代数课程目前存在的问题

几何与代数课程是一门理论性非常强、课程内容联系极度紧密的专业基础课，且因其抽象程度高，大多数学习内容在书本上仅以定理形式给出，并需要经过严密的理论推导证明来验证。本课程为统计学的专业基础课，是同学们从高中进入大学首先要面对的一门课程，因此本门课程的任务不止是向同学们传授高等代数与解析几何的知识，还需引导同学们适应高等数学的问题描述方法及解决思路，完成从高中到大学阶段学习重点及学习习惯的转变，帮助同学顺利完成从高中到大学阶段的衔接。

为进一步完善课程内容，改革教学模式，在完成2019—2020 学年、2020—2021 学年的授课过程后，任课教师向学生发放了调查问卷，问卷共发放162 份，有效回收116 份，从调查问卷中，可总结出目前的课程教学中存在以下几个问题。

（一）高中到大学的衔接工作有待加强

在两次调查中，共有60.34%的学生认为在学习方法方面，大学课程的学习方法与高中完全不同。探讨学习方法不同的主要原因，有94.87%的同学认为大学的课程内容比较深奥，需要通过更深入的思考才能掌握，而高中的学习则更加偏重大量的练习。继续研究大学课程难度的主要来源时，有超过70%的同学给出了下述几个原因：（1）在学习统计学专业基础课时，数学知识体系比较庞大，短期内难以理解透彻；（2）为构建知识体系，课程中有大量的定义，而学生的知识储备和思维习惯难以支撑对这些定义的深入理解及知识体系的完整建立；（3）对于概念与概念之间、概念与知识体系之间的逻辑关系理解不深。

（二）课程的课时不足

几何与代数课程包含多项式、解析几何、矩阵及行列式、方程组、线性空间及线性变换、λ-矩阵及变换和二次型等内容，逻辑性强、抽象程度高，需要学生有极强的空间想象能力。调查显示，有超过半数的同学认为自己对于课程内容理解不够透彻，导致在课程结束时有种“入宝山而空回”的遗憾。因此，有77.59%的同学建议增加单元测试、期中考试等阶段性测验。半数以上的同学建议增设习题课，要求老师介绍该课程与其他课程之间的联系，加大计算和证明的讲解力度，在理论课程中加入实例介绍。还有部分同学提出要学习数学软件的应用，以便将注意力集中于知识架构而非繁琐的计算方面。这些要求真实反映了学生的心声，体现了同学们对于课程的学习热情，但是目前的课时量仅够完成理论课部分的教学，并未留出足够充分的时间满足学生的这些要求。

（三）课程应用及拓展在当前教学过程中难以体现

代数学科是当代科学的基石之一，其方法及思想在其他学科中有广泛的应用。同时，代数也是统计学科的基础，在后续的理论课程及实践环节中应用十分频繁。目前的课程教学由于授课方式及课时的限制，在课堂上只能完成理论课教学任务，没有时间也没有合适的平台介绍代数方法的应用，因此部分学生学完本课程之后，对于计算和证明十分擅长，但对于如何将代数方法用于实际问题却一无所知，在后续学习其他专业课程时也无法做到灵活变通，因此有58.62%的同学建议老师在讲课时详细介绍每个知识点的应用。

同学们提出的意见和建议十分中肯，非常真实地反映出学生在课程学习时遇到的主要问题。综合同学们的反馈，我们尝试应用混合式教学模式解决上述问题，在不增加课时量的基础上，补充线上教学环节及教学资源，完善课程体系，达到理论与实践教学并进的教学效果。

三、混合式教学模式构建

统计学专业基础课混合式教学模式的实施需要解决上述三个问题：中学与大学的课程衔接、课时不足、增加课程拓展。从这几个问题出发，我们主要通过雨课堂智慧教学方案平台，从下述四个方面构建混合式教学模式。

（一）增加线上资源“课程Tips”“学科故事”，完成从高中到大学的过渡

在高中阶段同学们面对的数学问题大多为具体问题，教师介绍一个主要知识点，后续学习以此知识点的横向展开为主，练习也主要集中在计算方面。进入大学后，大多数同学不太适应高等数学中的抽象表达方式，对于知识的纵向拓展、命题及定理的证明，抽象问题的运算和空间想象力的培养等均需付出大量的时间及精力。在学习中，部分同学由于不能在短期内完成学习习惯的转换，无法熟练掌握课堂内容，不懂的问题越来越多，逐渐形成滚雪球效应，到课程后半段很难跟上授课进度，也有个别同学会因此产生自暴自弃、甚至彻底放弃学业的行为。经过分析，高中到大学转换过程主要分为两方面：知识储备、心理落差，因此我们在课程方面准备“课程Tips”“学科故事”两方面的线上资源，帮助同学们顺利渡过这个转换过程。

1.“课程Tips”

大一同学的高中数学基础不尽相同，在大学数学课堂上用到的高中知识点时，明显可以看出有些同学掌握的很好，而有些同学则一知半解。为尽量消除这些个体差异，我们在上课前将此部分知识点做成“课程小Tips”小视频，放到雨课堂的课前预习中，这样会有更好的教学效果。例如：几何与代数的第一节课，我们在证明中会用到数学归纳法，大多数同学反映在高中没有学过这个方法，或者学过但不会应用。因为课时的限制，教师不可能在课堂上详细讲解高中的知识，故而要求同学课前预习此部分内容，尽量减轻因高中基础导致的学习差异。

2.“学科故事”

统计学的学科基础课每节课教学容量大，教学进度快，学习方法和高中截然不同。部分同学在入学后习惯性地沿用高中的学习方法和思考方式，却并未取得良好的学习效果，由此产生较大的心理落差，觉得自己已经足够努力，但仍然看不懂书上的内容，对于证明题也毫无思路，从而质疑自己的学习能力。从高中到大学阶段的过渡期间，学生在心态方面会有一个“否定—迷茫—重塑”的过程，这是每个人都会经历的正常阶段。当学生处于这个阶段期间，教师除了完成教书任务，还应开展育人工作，给予学生充分的鼓励和支持，引导学生顺利度过这段重要的时光。这部分工作可结合课程思政进行，如在课堂上分享数学家的小故事，或在雨课堂中导入数学发展史中的学科故事，令学生了解到数学上的每一个进展都是大量数学家的研究成果积累而得，甚至可能花费了几百年才能让人们接受。例如，二次方程的解法最早出现在公元前2000 多年的美索不达米亚遗迹中，而三次方程求解直到公元11 世纪才成为一个正式的数学问题[9]。在短时间内能透彻理解前人的智慧结晶是相当困难的，所以初学大学数学类课程时看不懂书、不理解定理、不会做题都是正常的，但我们不能因此放弃，只有持续不断地思考、理解并接受数学思维，才能顺利完成从中学到大学的过渡过程，为后续学习打下坚实的基础。

（二）确定“线下授课+线上习题课+答疑课”的混合式教学模式

统计学专业基础课程通常具有语言简练、逻辑严密和计算复杂等特征，也有同学开玩笑说“上课时捡个笔，整个学期的课就再也没有听懂过”。由于课程难度大且逻辑性强，教师在授课过程中需时刻关注学生的反馈，如果授课期间学生表示对某个知识点存疑，则应在课堂可控范围内转换讲解方法，尽量在课堂上解决学生的疑问。上述特点决定统计学专业基础课不适合采用完全线上模式进行教学，甚至SPOC 等线上授课、线下答疑形式的混合式教学模式也不能取得满意的教学效果。在教学模式方面，最有发言权的是19 级学生，因为在入学的第一学期，19 级的专业基础课都以线下教学方式进行，由于疫情原因，第二学期的课程全部改为线上教学。作为唯一一届同时经历过线上与线下教学的学生，问卷中有75.2%的19 级同学选择了线下教学模式。因此，对于统计学的专业基础课来说，线下授课方式更适用于目前的教学。在线下授课过程中，课堂气氛相对轻松，教师对于学生的学习状况和心理状态有直观的感受，在授课时可以解析问题的思路，并将课程思政内容融入其中，令学生潜移默化地受到知识与思想上的双重熏陶。

在对19 级学生的调查问卷中，有93.55%的同学选择了需要开设习题课辅助教学。统计学的专业基础课多为数学类课程，对于刚入大学的新生来说，课程体系与高中截然不同，大多数同学在短期内很难通过自学适应这个转变。以当前的课时量来说，在课堂上开设习题课难度较大，如果在课后开设线下习题课，学生的时间又难以协调。因此经过协商，我们从20 级开始设置了线上习题课，以QQ 群课堂为载体向学生定期直播讲解习题，时间冲突的同学可以在方便的时候回看，较好地解决了学生对于补充习题课的要求。同时还安排定期及不定期答疑，由任课老师安排课外时间对同学们进行答疑解惑。调查结果显示，20 级同学中有74.14%表示线上习题与答疑课对自己的学习有帮助，87.72%的同学希望老师在习题课上能讲解作业题目或学生指定的题目。

从调查反馈中可看出，“线下授课+线上习题课+答疑课”的混合式教学模式比较适用于统计学专业基础课。这种教学模式的优势是，线下教学模块适用于难度大、逻辑性强的专业基础课程，保留了线下教学互动性强、师生关系亲密的特点；线上模块部分主要用于讲解习题及答疑，向有需求的同学传道授业解惑，因材施教的同时也提高了课堂效率。这种教学模式的实施对教师要求较高，线上习题课安排在教师的非工作时间，备课及讲解需花费大量的时间与精力；答疑课期间学生可能问到非课程甚至非专业的问题，需要教师具有大量的知识储备及一定的人格魅力。

（三）把握课程深度，拓宽课程广度

统计学是经国务院学位委员会批准的一级学科，本身具有完备的理论基础与专有的研究领域，学生在学习时首先应深入了解统计学专业知识。作为应用型学科，统计方法被广泛用于其他领域，因此授课时除了深挖专业知识，还应注重知识的拓展性，体现课程的广度。这部分工作可从下述4 个方面进行。

1.注重“数形结合”

几何与代数这门课程将高等代数与解析几何内容杂糅在一起，课程内容主要以高等代数为主，代数思想大多数以抽象著称，为了加深学生的理解，在授课期间可用解析几何的图形来辅助代数知识的讲解。例如，在讲解二次型化为标准形的知识点时，学生通常无法理解为何一定要变换一个多项式的形式，此时教师先给出一个非标准型的3 元多项式，要求学生辨别其图形，学生表示看不出来，教师用Matlab 软件展示其图形为一个空间中倾斜的椭球，学生表示通过具体图形可以分辨其形状，但从多项式的原本形式看不出，由此我们引出化二次型为标准形的原因，这种数形结合的教学方法会给学生留下深刻印象，启发学生在后续学习中触类旁通。

2.学习简单计算软件及统计软件

在应用上述数形结合的教学方法时，会应用到数学软件或专业统计软件，对于大一的学生，还未开设专门的软件课程教学，因此可推荐学生自学一些简单的数学计算软件或SPSS 等初级统计软件。在课程后续的学习中除了画图，也应学会用软件处理一些计算过程，以便将精力集中于知识本身而非繁琐的计算上。例如，在学习若尔当标准形的时候，为了将一个方阵化为若尔当标准形，应先计算其特征值和特征向量，这个过程需要求解几个线性方程组，很多同学在方程组求解过程消耗了大量的精力，反而未把注意力放在最重要的若尔当标准形方面，完全是本末倒置。为减少这种学习上的内耗，我们可以先讲授一些用于矩阵计算的软件知识，这样学生可以把大量的计算工作交给软件处理，将更多精力聚焦到课程本身。

3.课程间的交互拓展

作为统计学的专业基础课，几何与代数的课程内容几乎可以应用于后续全部专业课程上，甚至也可广泛用于计算机及其他专业的理科课程上。为拓宽学生的眼界，我们可以在授课时进行适当的推广，讲述所学知识点与其他课程的联系。例如，在讲解拉格朗日多项式时，可以延伸到拉格朗日插值法，并简要介绍其在计算机图形学方面的应用。但在进行课程间的拓展时，需注意到其他课程的教学进度。比如，在讲解多项式特点时，介绍多项式最显著的一个特点是容易求值，这个特征在数学分析课程中的Taylor 公式处得到充分的应用，但是从教学进度上看，数学分析的Taylor 公式部分的教学晚于几何与代数课程多项式内容，因此此处仅需做简要介绍，或者留到后续再详细讲解。此部分工作可以在课堂上进行，也可以在雨课堂系统中加入一些课程应用的内容介绍，供于感兴趣的同学自学。

介绍课程间的交叉内容，可以令学生理解统计学专业的课程整体性，同时也帮助同学们将思想从一门课程扩大到整个学科。几何与代数之所以被列为专业基础课，就是因为其是后续所有专业课程的学习基础，也是同学们统计思想建立的基础，因此无论是任课老师还是同学，都应在这门课程上付出自己最大的努力，除学好课程内容外，还应放宽眼界，了解代数知识在其他学科的应用。

4.推进学科竞赛及科普讲座

除了以线下授课及线上资源形式提供课程拓展知识，学科竞赛也是拓宽课程广度的一个好机会。统计学科希望培养既有理论研究能力，又具备实际应用能力的创新型人才，参与各类竞赛可将同学们平时所学的理论知识应用于实际问题，是大学生展示能力的最佳平台。目前适合本专业的学科竞赛主要有以应用为主的“正大杯”全国大学生市场调查与分析大赛、统计建模大赛，以及更强调理论创新的全国大学生数学建模竞赛。参与比赛的同学在收集资料、准备文档的过程中学会应用专业知识解决实际问题，个人能力得到了全面提升。

多数大学生因受到专业细分的影响，在创新思维方面有一定的局限。学科专家具有开阔的眼光、丰富的学识与经验，他们所作的科普讲座可令学生加深对本专业的了解，增进对专业的兴趣，同时会介绍新的研究及应用方向，有助学生提升创造力与建立创新思维。在后疫情时代，专家的线上讲座资源非常丰富，教师可以选择合适的讲座推荐给学生，帮助学生进行课程的横向拓展。

四、结束语

统计学的专业基础课是学科体系的基础，也是学生学习的基础，扎实掌握专业基础课的知识，后续课程的学习将会事半功倍。为此，我们应该尝试摸索新的教学模式，不断丰富教学资源，发挥线上线下混合式教学的优势，突破传统教学模式在时间上的限制，通过现代教育技术与网络资源为学生构建友好的教学环境，促进学生的学习能力，拓宽学生的知识面，提高学生解决问题的能力，从而培养出更多创新型统计学人才。