含临界非局部项的Schrödinger-Poisson系统解的存在性

李文敏，张家锋

（贵州民族大学 数据科学与信息工程学院,贵州 贵阳 550025）

考虑如下的Schrödinger-Poisson系统

其中V,K∈C(RN, R)，f是连续函数，l(x)是有界非负连续函数，V、K是非负函数，可在无穷远处消失，η> 0,是参数，N≥6。

近年来，有关Schrödinger-Poisson 系统的研究很多，获得了很多很有趣的结果[1-10]，但是很少有文献研究具有临界非局部项的Schrödinger-Poisson系统。文献[7]在R3中通过山路定理和截断函数的方法研究了临界非局部项的Schrödinger-Poisson系统，得到了方程在两种情况下都至少有一个非平凡解的存在性结果。

在文献[8]中，Sun等研究了径向位势在无穷远处消失的渐进线性Schrödinger-Poisson系统：

在λ很小、非线性f最大线性增长、位势V(x)在无穷远处消失时得到了一个正解，并且还得到了时的非平凡正解的不存在性。

文献[9]在R3中研究了如下广义线性Schrödinger-Poisson系统：

利用山路定理和集中紧性原理得到了其有一个正解的结果。

在上述工作的基础上，本文证明了具有临界非局部项且位势在无穷远处消失的系统（1）的非平凡解的存在性。由于临界增长项的存在导致缺乏紧性，要获得非平凡解的存在性更加困难，而且V(x)在无穷远处是势消失的，使得研究更加有趣，本文利用截断函数巧妙地和无穷远处消失的位势联系起来进行了求解。

如果V(x)和K(x)满足以下情况，则称(V,K) ∈K：

(VK1)对所有的x∈RN，有V(x)> 0,K(x)> 0，其中，K∈L∞(RN)。

(VK2) 如果{An}n⊂RN是一个Borel序列集，使得Lebesgue meas(An) ≤R,对n∈N和R> 0, 则

此外，V(x)和K(x)还需要满足下列情况之一：

(VK3)∈L∞(RN)。

(VK4)存在p0∈(2 , 2*)，使得

关于函数V和K的假设(VK1)～(VK4)在文献[10]中被首次引入，并将系统（1）定性为零质量问题，有关零质量问题的研究参考文献[11-12]。

最后，假设连续函数f: R →R在原点和无穷远处的增长条件为

(f1)如果(VK3)成立，有；如果(VK4)成立，有。

(f2)。。

(f3) 存在θ∈(2, 2*)，使得0 ≤θF(t) ≤tf(t)，t∈R，其中F(u) =

此外，我们还对l(x)做了以下假设：

(l1) 存在x0，使得l(x0)=。

(l2)l(x)=l(x0)+O(|x-x0|α)，α∈(N- 2,N)，x→x0。

1 预备知识

D1,2(RN)表示“绝对光滑”空间C∞(RN)的完备化空间。

现在，给出我们的工作空间为E={u∈D1,2(RN):∫RNV(x)|u|2dx<+∞},其中D1,2(RN) ={u∈L2*(RN):∇u∈L2(RN)}，E对应的范数为。

利用Lax-Milgram 定理可知，对于每一个u∈E，由于系统（1）的第二个方程存在唯一解ϕu∈E，我们将ϕu带入系统（1），则系统（1）变为

方程（2）对应的能量泛函J:E→R为

对任意φ∈E，u是方程（2）的弱解，当且仅当

定义所有可测函数u:RN→R构成的Lebesgue空间(RN)，且

对应的范数为

用Bρ(0)表示以原点为中心且半径为ρ> 0的球，S是最佳Sobolev常数，即

Selection of drainage system based on analytic hierarchy process and fuzzy comprehensive evaluation

下面陈述文献[10]的两个重要结果（参考文献[10]里的引理2.1和引理2.2）。

命题1.1 假设(V,K) ∈K，如果(VK3)成立，对所有p∈(2, 2*)，则E紧嵌入到(RN)；如果(VK4)成立,则E紧嵌入到(RN)。

命题1.2 假设f满足(f1)～(f2)且(V,K) ∈K,设{vn}在E中使得vn⇀v,则

和

引理1.1[6]对每一个u∈E，存在唯一解ϕu在RN中满足-Δϕ=|u|2∗-1，并且有以下性质：

2 主要结果与证明

定理2.1 假定(V,K) ∈K，且f满足(f1)～(f3),l(x)满足(l1)和(l2)。

注记2.1 很多作者研究的都是具有次临界非局部项Schrödinger-Poisson 系统，研究具有临界非局部项的Schrödinger-Poisson系统的很少，而本文研究的Schrödinger-Poisson系统是含临界非局部项的。与文献[9]相比，本文的非局部项是不一样的，并且文献[9]是在R3中研究的，而本文研究的Schrödinger-Poisson 系统是在RN中进行研究的，因此，本文可以看作是文献[9]的一个有益补充。

引理2.1 假定(V,K) ∈K，p∈[2,2*]，存在C> 0使得, ∀u∈E。

证明证明分为两部分，即首先证明在(VK3)的假设下引理2.1成立，然后再证明在(VK4)的假设下引理2.1成立。假设(VK3)成立，对于p∈(2,2*)，定义，那么p= 2m+ 2*(1 -m)，因此有

综上所述，引理2.1得证。

引理2.2 泛函J满足下列结论：

i) 存在ρ,α> 0，使得当‖u‖E=ρ时，有J(u) ≥α。

ii) 存在e∈Bρ(0)，使得J(e) < 0。

证明i)分两种情况讨论

情况1 假设(VK3)成立，对任意ε> 0，从(f1)和(f2)可以得到存在Cε> 0使得