上非自治Schrdinger 格点系统的随机一致指数吸引子

林 柔，赵 敏，张金璐

(温州大学数理学院，浙江 温州 325035)

动力系统实际上会受随机因素的影响，随机动力系统（Random Dynamical Systems, RDS）引起了广泛研究，如自治随机动力系统的随机吸引子[1-4]、非自治随机动力系统（Non-autonomous Random Dynamical Systems, NRDS）的随机拉回吸引子[5-8]和随机一致吸引子[9].这些吸引子吸引轨道的速度可能很慢，维数可能是无穷维的，不利于数值估计和应用.为解决这些问题，有学者研究了RDS 的随机指数吸引子的存在性[10-15]，该吸引子指数率吸引随机集且分形维数有限.Shirikyan 等在文献[10]中研究了自治RDS 的随机指数吸引子的存在性.Zhou 在文献[11]中给出了NRDS 的随机指数吸引子存在性条件并应用于一阶格点系统.Han 等在文献[12]中给出了NRDS随机一致指数吸引子的存在性准则并应用于一阶格点系统.

非线性Schrödinger 方程可以描述微观粒子的状态随时间变化的运动规律，是量子力学中基本方程之一，广泛应用于固体物理与核物理等领域[16].本文主要考虑ℤN上带拟周期外力和可乘白噪声的Schrödinger 格点系统（1）的随机一致指数吸引子的存在性.

其中，i 表示虚数单位；σ∈Tl，σ～(t) =(xt+σ)mod( Tl)∈Tl，x=(x1, …,xl)∈Rl是固定向量，x1, … ,xl是有理独立的；a,b∈R；A是线性耦合算子，A=A1+A2+ …+AN，(A ju)k=2u(k1,k2,…,kN)-u(k1,…,kj-1,…,kN)-u(k1,…,kj+1,…,kN)，j= 1,…,N；k=(k1,k2, …,kN)∈ℤN，λk> 0，u k,gk∈C,表示uk的模长，∈ R.W(t)是概率空间( Ω, F, P)上的双边实值维纳过程，其中Ω={ω∈C( R , RN):ω(0) =0}.F 是Ω 的紧开拓扑诱导的Borel-σ代数，P为F 上的维纳测度[1].对∀ω∈Ω，W(t,ω)=ω(t).u k◦W˙表示Stratonovich 意义下的随机项.

当系统（1）中k∈ℤN，即N= 1时，对于自治确定性系统（1）（gk(σ(t))=gk∈R,a=b= 0），Karachalios 等在文献[17]中证明了其全局吸引子的存在性，周盛凡等在文献[18]中进一步证明了其指数吸引子的存在性，Chen 等在文献[19]中得到了其带时滞项时全局吸引子的存在性.对于非自治确定性系统（1）（gk(σ(t))=g k(t)∈C,a=b= 0），周盛凡等在文献[20]中证明了其拉回指数吸引子和一致指数吸引子的存在性.对于自治随机系统（1）（gk(σ(t))=gk∈R,a∈R,b= 0），崔红珍等在文献[4]中证明了其随机吸引子的存在性.对于非自治随机系统（1）（gk(σ(t))=g k(t)∈C,a∈R,b= 0），江旭莹等在文献[13]中证明了其随机指数吸引子的存在性.对于非自治随机系统（1），Zhang 等在文献[15]中证明了其随机一致指数吸引子的存在性.当系统（1）中k∈ℤN(N≥2)时，对于自治确定性系统（1），Karachalios 等在文献[21]中证明了其全局吸引子的存在性.对于受到非线性噪声扰动的系统，Wang 等在文献[8]中证明了其弱拉回随机吸引子的存在性.对于 ℤN(N≥2)上系统（1）的随机一致指数吸引子未见任何研究.

本文结合文献[12]来证明系统（1）在 ℤN(N≥2)上存在随机一致指数吸引子，得到该吸引子的分形维数上界，该上界与N有关.

1 系统（1）的随机一致指数吸引子

系统（1）可以写成如下等价的向量形式：

为了方便，在下文中将Ω～ 记为Ω.

2）对任意ω∈Ω，

其中， Γ ()· 是Gamma 函数，E 表示期望.

对（1）中的kλ，gk，f，a作如下的假设：

其中，D是 ℓ2的随机有界集.

接下来证明连续余圈φ的D-随机一致指数吸引子的存在性.

2 一致吸收集

其中，

3 解在 ℓ 2中的尾估计

对任意ω∈Ω，令T*(ω)=T(ω,B0)，记：

其中，π 是由φ和ϑ生成的斜积余圈.

其中γ1,I在下文中给出.

在[0,t] 上对（12）式应用Gronwall 不等式，结合（9）式，有：

4 随机一致指数吸引子

对任意ω∈Ω，s≥0 和e>0 ，记：

为得到φ的随机一致指数吸引子的存在性，需要证明π 存在随机指数吸引子.接下来验证π的Lipschitz 连续性.对任意r≥ 0，ω∈Ω，{σi}×∈B(θ-tω)，i=1,2，令：

引理4 说明了π 在B 上的Lipschitz 连续性.

引理4 对任意r≥ 0，t≥ 0，ω∈Ω 和{σi}×∈B(θ-tω)，i=1,2，存在随机变量C1(ω) ≥ 0，使得下面的不等式成立.

证明：在 ℓ2中对（18）式和y(r)取内积，可得：

由B 的性质1）―3），可得：

由（20）式―（24）式可知：

证毕.

引理5 对任意t≥ 0，ω∈Ω 和I( ≥ 1)∈ N，存在随机变量C2(ω),C3(ω) ≥ 0和投影Pl+(8I+1)N:Tl× ℓ2→ Tl×，使得对任意{σi}×∈B(θ-tω)，i=1,2，有：

在 ℓ2中对（18）式和q取内积，有：

计算可得：

由（15）式和（17）式，对I( ≥ 1)∈N 有：

因此，对M≥2I，可得：

由（25）式、（27）式―（31）式，对M≥2I，有：

证毕.

根据（3）式―（4）式和（34）式，有：

证毕.

定理1 假设（A1）―（A4）、（34）式和（35）式成立，则{φ(t,ω,σ)}t≥0,ω∈Ω,σ∈Tl存在D-随机一致指数吸引子{M (ω)}ω∈Ω，并具有以下性质：