加权Core EP分解下的矩阵加权Drazin逆Ad,W的逼近计算*

胡春梅

(丽江师范高等专科学校 数学与信息技术学院， 云南 丽江 674199)

1 引言与引理

1958年Drazin首先在可结合环和半群上引进了一种拟逆的概念，后来学者们把它称为Drazin逆.1980年Cline和Greville将此概念推广到长方矩阵，提出长方矩阵加W权Drazin逆的概念.之后许多学者对这两种逆都做了大量的研究.Drazin逆主要应用于Markov过程、线性微分方程组、差分方程组和最优控制等方面.

文献[1]在2018年将core EP分解应用到长方矩阵，得到了一种新的分解式，称作W-加权core EP分解.文献[2]将此结果推广到矩阵对{A,W},得到了加权core EP分解下的矩阵加权Drazin逆Ad,W的一种新的表示.本文将主要研究这种新的表示下的Ad,W的逼近计算公式，并讨论其收敛的充要条件.

下面给出本文采用的记号和术语.

令Cm×n表示所有m×n阶复矩阵的全体，若m=n,则记Cm×n=Cm.用R(A)、N(A)、ρ(A)和Ind(A)分别表示矩阵A的值域、零空间、谱半径和指标.对任意矩阵A,称满足BAB=B的矩阵B为A的(2)逆，记为B=A(2).

定义1[3]设A∈Cn,A的指标为k.若存在矩阵G∈Cn,使得下列方程组成立：

(1)AkGA=Ak； (2)GAG=G； (3)AG=GA.

则称矩阵A为Drazin可逆矩阵，G为A的Drazin逆，记作G=Ad.

定义2[4]设A∈Cm×n,W∈Cn×m,T∈Cm×n称为矩阵A的加权Drazin逆，如果T满足：

(1) (AW)k+1TW=(AW)k;(2)TWAWT=T;(3)AWT=TWA.

若T存在，则唯一，且记T=Ad,W.其中k=max{Ind(AW),Ind(WA)}.

定义3[1]设A∈Cm×n，W∈Cn×m,且k=max{Ind(AW),Ind(WA)},则A和W具有以下矩阵形式

其中，P∈Cm,Q∈Cn为酉矩阵，A11∈Ct,W11∈Ct为可逆矩阵.且(A22W22)k=0,(W22A22)k=0.称上述分解为{A,W}的W-加权core EP分解.

下面给出本文需用到的引理和推论.

引理1[4]A∈Cm×n,L和M是Cn的闭子空间，且有Cn=L⊕M,PL,M为沿M到L上的投影矩阵，则

(1)PL,MA=A⟺R(A)⊂L; (2)APL,M=A⟺N(A)⊃M.

引理2[4]设矩阵A∈Cm×n,W∈Cn×m,l=max{Ind(AW),Ind(WA)},若Ad,W存在，则它是唯一的，且

引理3[5]设矩阵A∈Cm×n,W∈Cn×m,l=max{Ind(AW),Ind(WA)},若Ad,W存在，则

(1)Ad,W=(AW)dA(WA)d=[(AW)d]2A=A[(WA)d]2；

(2)R(Ad,W)=R((AW)d)=R((AW)l),N(Ad,W)=N((WA)d)=N((WA)l).

引理4[6]设矩阵A∈Cn, Ind(A)=k,则

(1)R(Ad)=R(Ak),N(Ad)=N(Ak);

(2)AAd=AdA=PR(Ad),N(Ad)=PR(Ak),N(Ak).

推论1[7]设矩阵A∈Cm×n,W∈Cn×m,l=max{Ind(AW),Ind(WA)},若Ad,W存在，则

(1)PWA=WA(WA)d=(WA)dWA=PR(WA)d,R(WA)d=PR(WA)l,R(WA)l;

(2)PAW=AW(AW)d=(AW)dAW=PR(AW)d,R(AW)d=PR(AW)l,R(AW)l.

2 主要结果

定理1设A∈Cm×n,W∈Cn×m,且Ad,W存在，R(x0)=R((AW)l),l=max{Ind(AW),Ind(WA)}.定义计算公式

Mk=PWA-WAWxk,xk+1=xk(I+Mk),k=0,1,2,…；

(1)

则公式(1)收敛到Ad,W当且仅当ρ(M0)<1,其中ρ(M0)为M0的谱半径.

证明显然由引理1，条件R(x0)=R((AW)l)等价于PAWx0=x0，则可由数学归纳法证明：对一切非负整数k,有PAWxk=xk.

假设PAWxk=xk,则PAWxk+1=PAWxk(I+Mk)=xk(I+Mk)=xk+1.又PWAMk=PWA(PWA-WAWxk)=PWA-WAWPAWxk=PWA-WAWxk=Mk.从而

Mk=PWA-WAWxk=PWA-WAWxk-1(I+Mk-1)=PWA-WAWxk-1-

WAWxk-1Mk-1=Mk-WAWxk-1Mk-1=(PWA-WAWxk-1)Mk-1=Mk-12.

以此类推，计算得Mk=Mk-12=Mk-222=…=M02k.

由引理1和引理3，得Ad,WPWA=Ad,W.

(ⅰ)充分性.若ρ(M0)<1,则M02k→0(k→∞).

又Ad,W-xk=Ad,W-PAWxk=Ad,W-AW(AW)dxk=Ad,W-AWAd,WWxk=Ad,W-Ad,WWAWxk=Ad,W(PWA-WAWxk)=Ad,WMk=Ad,WM02k，故xk收敛到Ad,W.

(ⅱ)必要性.若limxk=Ad,W,则

Mk=PWA-WAWxk→PWA-WAWAd,W=PWA-WA(WA)d=0,

即M02k→0,ρ(M0)<1.

定理2设A∈Cm×n,W∈Cn×m,且Ad,W存在，R(x0)=R((AW)l),l=max{Ind(AW),Ind(WA)}.定义计算公式

Mk=PWA-WAWxk,xk+1=xk(I+Mk+…+Mkp-1),k=0,1,2,…;

(2)

则公式(2)收敛到Ad,W当且仅当ρ(M0)<1,其中ρ(M0)为M0的谱半径.

证明类似定理1，有

PAWxk=xk,Ad,WPWA=Ad,W,PWAMk=Mk,k≥0.

而

Mk=PWA-WAWxk=PWA-WAWxk-1(I+Mk-1+…+Mk-1p-1)=

PWA-WAWxk-1-WAWxk-1Mk-1(I+Mk-1+…+Mk-1p-2)=

Mk-1-WAWxk-1Mk-1-WAWxk-1Mk-12(I+Mk-1+…+Mk-1p-3)=

(PWA-WAWxk-1)Mk-1-WAWxk-1Mk-12(I+Mk-1+…+Mk-1p-3)=

Mk-12-WAWxk-1Mk-12(I+Mk-1+…+Mk-1p-3)=…=Mk-1p=M0pk-1.

(ⅰ)充分性.类似定理1，有

Ad,W-xk=Ad,W-PAWxk=Ad,WMk=Ad,WM0pk-1,

若ρ(M0)<1,则M0pk-1→0(k→∞),故xk收敛到Ad,W.

(ⅱ)必要性.若limxk=Ad,W,则

Mk=PWA-WAWxk→PWA-WAWAd,W=PWA-WA(WA)d=0,即M0pk-1→0,ρ(M0)<1.

定理3设A∈Cm×n,W∈Cn×m,且Ad,W存在，R(x0)=R((AW)l),l=max{Ind(AW),Ind(WA)}.定义计算公式

Mk=PWA-WAWxk,xk+1=xkM0+x0,k=0,1,2,…;

(3)

则公式(3)收敛到Ad,W当且仅当ρ(M0)<1,其中ρ(M0)为M0的谱半径.

证明类似定理1，有

PAWxk=xk,Ad,WPWA=Ad,W,PWAMk=Mk,k≥0.

而Mk=PWA-WAWxk=PWA-WAW(xk-1M0+x0)=PWA-WAWx0-WAWxk-1M0=M0-WAWxk-1M0=(PWA-WAWxk-1)M0=Mk-1M0=…=M0k.

(ⅰ)充分性.类似定理1，有

Ad,W-xk=Ad,W-PAWxk=Ad,WMk=Ad,WM0k.

若ρ(M0)<1,则M0k→0(k→∞)xk收敛到Ad,W.

(ⅱ)必要性.若limxk=Ad,W,则

Mk=PWA-WAWxk→PWA-WAWAd,W=PWA-WA(WA)d=0,即ρ(M0)<1.

根据定理1、2和3，同理可以得到以下结论.

定理4设A∈Cm×n,W∈Cn×m,且Ad,W存在，N(x0)=N((AW)l)，l=max{Ind(AW),Ind(WA)}.定义计算公式

Mk=PAW-xkWAW,xk+1=(I+Mk)xk,k=0,1,2,…；

(4)

则公式(4)收敛到Ad,W当且仅当ρ(M0)<1,其中ρ(M0)为M0的谱半径.

定理5设A∈Cm×n,W∈Cn×m,且Ad,W存在，N(x0)=N((AW)l),l=max{Ind(AW),Ind(WA)}.定义计算公式

Mk=PAW-xkWAW,xk+1=(I+Mk+…+Mkp-1)xk,k=0,1,2,…；

(5)

则公式(5)收敛到Ad,W当且仅当ρ(M0)<1,其中ρ(M0)为M0的谱半径.

定理6设A∈Cm×n,W∈Cn×m,且Ad,W存在，N(x0)=N((AW)l),l=max{Ind(AW),Ind(WA)}.定义计算公式

Mk=PAW-xkWAW,xk+1=M0xk+x0,k=0,1,2,…;

(6)

则公式(6)收敛到Ad,W当且仅当ρ(M0)<1,其中ρ(M0)为M0的谱半径.