基于双曲函数的通用型荷控忆阻器电路等效模型分析

孙军伟 杨建领 刘 鹏 王延峰

(郑州轻工业大学电气信息工程学院 郑州 450000)

1 引言

1971年，美国加州大学的蔡少棠(Leon O.Chua)教授[1]从数学对称性的角度推测存在第4种无源元件，并且将其命名为忆阻器。2008年，惠普(Hewlett Packard, HP)实验室[2]将电阻开关元件与记忆电阻理论联系起来，首次制作出忆阻器物理实体，掀起了忆阻器研究的热潮。随着技术的发展，各种材料制成的忆阻器被相继发现[3–5]。如文献[3]和[4]中提到的Standford-PKU模型，该模型在HfO2和HfOx / TiOx双层器件材料中得到了验证。为了进一步拓展忆阻器的应用，提出了一种TEAM(threshold adaptive)忆阻器模型[5]。随着对忆阻器研究的不断深入，忆阻器所具有的低能耗、非易失性、体积小等特性逐渐被发现。利用这些特性，忆阻器被应用到许多领域。例如：联想记忆[6–8]、人工神经网络[9,10]、混沌电路[11,12]、情感学习[13,14]等。但由于制作实体忆阻器条件的苛刻性，短时间内大量制备忆阻器实体是不现实的。为解决此难题，研究者开始用现有的、可大量制备的物理元件搭建忆阻器电路模拟模型。不仅降低了制备忆阻器的成本，还有助于减少复杂环境对忆阻器产生的影响。

基于此，越来越多的忆阻器模拟器被实现。根据电路理论，忆阻器可分为磁控型和荷控型两类。由于大多数运算放大器、乘法器等器件容易实现电压的数学运算，且接入外部电路而不改变外部电路电气性能，因此磁控忆阻器的电路实现比较容易。例如：Yu等人[15]提出了基于变容二极管的3次磁控忆阻器模型。洪庆辉等人[16]在惠普忆阻器的基础上，用基本元件搭建了磁控和荷控忆阻器等效电路。实际上，惠普实验室[2]制作出的第1个忆阻器实体元件是一种荷控忆阻器。相比于磁控忆阻器，荷控忆阻器较符合物理实际，较容易应用到实际中。例如：Yang等人[17]利用惠普忆阻器模型，搭建的基于忆阻器的识别、分类以及召回电路。忆阻器具有的可塑性使其在神经网络类脑电路的实现过程中具有重要意义，也是目前忆阻器最具有发展潜力的研究方向。而神经元激活函数是神经网络中一种重要的具有上界和下界的单调可微函数，通常把双曲正切函数作为神经元激活函数。因此，Bao等人[18]提出了一种基于双曲正切函数的磁控忆阻器模型，并将其应用到Hopfield神经网络。闵富红等人[19]提出一种基于双曲余弦函数的磁控忆阻器模型，并进行了忆阻混沌电路动力学分析。Corinto等人[20]利用二极管搭建桥式电路以及电容、电阻和电感等元件，搭建了一种双曲函数型的荷控忆阻器模型。Barboni[21]在此基础上，提出了一种双曲正弦函数无源荷控忆阻器模拟器。但至今未有人提出实现多种双曲函数的通用荷控忆阻器模型，双曲函数型的忆阻器模型有助于拓展忆阻器在神经网络中的应用。因此，对荷控型忆阻器以及通用型双曲函数忆阻器进行研究对拓宽未来忆阻器的应用场景具有重要意义。

本文提出一种基于双曲函数的通用型荷控忆阻器模拟器。首先提出该忆阻器模拟器对应的数学模型，再利用运算放大器、乘法器等元件并结合3种双曲函数之间的特点，搭建出对应的电路模型。电路模拟器主要由加减法电路、指数电路、除法电路等模块组成。荷控忆阻器等效电路通过控制电路中开关的闭合改变接入电路中的电路模块，分别实现双曲正弦型、双曲余弦型以及双曲正切型的荷控忆阻器模拟器。所设计的模拟器符合记忆元件的3个本质特性，验证了模型的合理性。

对比文献[15,16,19–21]，本文具有以下特点：首先，在多种忆阻器数学模型的基础上，提出3种不同双曲函数对应的忆阻器数学模型。接着，根据提出的3种双曲函数荷控忆阻器的数学模型结合荷控忆阻器电路模型的特点，设计了基于双曲函数的荷控忆阻器电路模型。最后，结合3种双曲函数之间的相互联系，搭建对应的通用型忆阻器电路模拟器模型，并对其进行仿真验证。该通用型荷控忆阻器模拟器通过改变接入电路中的部分模块，分别实现基于双曲正弦、双曲余弦以及双曲正切函数的荷控忆阻器，拓宽了忆阻器模拟器应用范围。

2 双曲荷控忆阻器数学模型

忆阻器元件分为磁控型忆阻器和荷控型忆阻器。对于荷控型忆阻器元件，其两端的电压和通过的电流可以表示为

M(q)代表忆阻器元件的阻值，单位为欧姆(Ω)。电荷量q(t)为荷控忆阻器元件的内部状态变量。本文提出了一种双曲荷控忆阻器模型，对应忆阻值表达式如式(2)。

其中，a,b,c,d,p均为参数，且c,d的值不同时为零，a>0，p>0。式(2)中双曲正弦函数可以替换成双曲余弦以及双曲正切函数(双曲正切函数时，不含常数p)。由电路理论知，电荷量等于电流对时间的积分，即

q(0)表示通过忆阻器电荷量的初始量，这里假设其初值为0。根据式(2)，荷控忆阻器的输出不仅与此刻的输入信号有关，而且与之前的输入信号有关，体现了忆阻器的“记忆”特性。

为了验证模型的正确性，对忆阻器数学模型进行仿真。设输入信号为正弦周期信号，其表达式如式(4)

图1对应双曲正弦、双曲余弦以及双曲正切函数型的荷控忆阻器模型在给定上述参数下的伏安特性曲线。由该图可以看出，相同参数条件下，不同双曲函数对应的忆阻器模型呈现不同的斜8字形，但图形均位于第1、第3象限，且在原点处相交。当参数b,c,d分别取不同的值时(c,d不同时为0)，对应双曲函数荷控忆阻器数学模型中电荷量的多项式也不相同。双曲正弦、双曲余弦以及双曲正切函数荷控忆阻器模型在不同参数下数学模型和电路模型分别见表1—表3。

图1 伏安特性曲线图

表1 双曲正弦荷控忆阻器数学模型和电路模型

表3 双曲正切荷控忆阻器数学模型和电路模型

3 通用型双曲荷控忆阻器电路模型

通用型双曲函数荷控忆阻器模型的电路实现结构如图2所示。首先，将输入电压信号通过电压-电流转换电路变成电流信号接着对产生的电流信号进行积分处理，得到荷控忆阻器模型的内部状态变量q。接着通过函数信号产生电路，得到3种双曲函数对应的电荷量关系式，B代表放大倍数，最终得到双曲函数荷控忆阻器模型。

图2 通用双曲函数荷控忆阻器模型结构框图

搭建的通用型双曲荷控忆阻器等效电路模型，如图3、图4所示。电路中运算放大器U1, U3, U4的型号为AD844AN，U10, U11为741运算放大器，其他运算放大器的型号为3354AM。T1和T2为2N2102三极管，M1-M4采用AD633JN模拟乘法器。

图3左侧为电压-电流转换电路，右侧为模型等效电路图。输入电压信号通过电压-电流转换电路，将电压信号Vin变成电流信号Iout，Iout分为3路输入模型等效电路。图4是函数信号产生电路，主要作用是产生双曲函数型的电荷量信号。

在图3中的电压-电流转换电路中，电阻Rz6为负载电阻，在一定的允许范围内进行变化。当电路满足Rz1=Rz3, Rz2=Rz4相等时，该电路的输入电压和输出电流的关系为

图3 双曲荷控忆阻器模型电路图

电流信号Iout=i，i作为模型等效电路的输入信号。电阻R1, R2, 电容C1以及运算放大器U1组成电流积分电路，电阻R3和运算放大器U2组成电压电流转换电路，其输入和输出关系分别表示为式(7)和式(8)

输出电压信号V2=Va，Va为函数处理电路的输入信号。函数信号产生电路如图4所示。函数信号产生电路的作用是，切换电路中开关的闭合状态，得到相应的双曲函数信号。电流信号i流经由U3和电阻R4, R5构成的电流-电压转换电路，输出信号变成电压信号V3，表达式为

同理，运算放大器U4的输出信号为V4=i·R7。M1为乘法器，其输入信号为U3的输出信号和函数信号产生电路的输出信号Vb。输出信号VM1为

其中，K代表乘法器M1的比例系数，取K=1(本文所有乘法器的比例系数均为1，且均用K表示)。电阻R8, R9, R10和运算放大器U5组成反相加法器，其输出电压V5为

电阻R11, R12, R13以及运算放大器U6，构成反相放大电路，输入和输出的关系式为

函数信号产生电路如图4所示，该部分主要完成对输入电荷量的指数、除法、加减法等计算，产生最终的双曲函数型电荷量信号。电阻R14～R17和运算放大器U7组成反相加法电路，电阻R18, R19以及运算放大器U8组成反相放大电路。当开关S1和开关S2闭合，加入直流电压源u1的值不为0时。其输入信号和输出信号关系为

图4 函数信号产生电路

图4中的指数电路，左侧为温度补偿电路，右侧为指数运算电路。T1和T2是特性完全一致的三极管，C2为反馈电容。其输入和输出信号的关系为

UT是三极管的PN结温度电压当量，一般取常温(300 K)下为UT=26 mV。电阻R20, R21, R22，运算放大器U9以及乘法器M3组成除法电路，完成指数信号的取倒数计算。输入电压和输出电压的关系为

反相加法电路由电阻R29-R31及运算放大器U12组成，电阻R34-R37和运算放大器U14组成同相减法电路，输出表达式为式(16)

根据运算放大器U14正负极的虚短和虚断条件得到m和n的值为

当开关S1, S2, S6, S7, S8, S9闭合，开关S3, S4,S5, S10断开的时候，函数信号电路产生的信号为

将式(19)和式(2)进行对比，得b,c,d的值分别为

图4中，开关S1, S2的状态决定了该荷控忆阻器数学模型中对应的关于电荷量q的多项式。开关S3-S10的状态决定了该通用型荷控忆阻器模型对应的双曲函数类型，开关的具体位置和初始状态见图4。下面以双曲正弦荷控忆阻器模型为例进行说明。当S, S6, S7, S8, S9全部闭合，S3, S4, S5, S10全部断开，对应双曲正弦荷控忆阻器模型。联立式(8)—式(12)，式(21)得

上述为S1, S2闭合，u1不为0时，双曲正弦荷控忆阻器对应的电路模型公式，其他情况下双曲正弦荷控忆阻器的数学模型和电路模型见表1。为了避免开关状态切换过程中的误操作，开关S3和S4,S5和S6, S7和S8以及S9和S10均设置为联动状态，即同时打开(闭合)，或者保持两个开关处于不同的状态，开关S为常闭状态，如图4所示。当S, S3, S4,S6, S9全部闭合，S5, S7, S8, S10全部断开，电路模型为双曲余弦荷控忆阻器；当S3, S4, S5, S7, S8,S10全部闭合，S, S6, S9全部断开，电路模型为双曲正切荷控忆阻器。具体的数学模型和电路模型表达式分别见表2，表3。

表2 双曲余弦荷控忆阻器数学模型和电路模型

表1中a,b,c,d,p,ρ均为参数，且c,d的值不同时为零，若二者同时为0，电路实现的是阻值固定的电阻，不再是忆阻器元件。a 的取值范围为：a>0，且a不等于0，a若为0，电路的实现的是一个阻值为p的电阻。p是参数，其值只有对应电路模型为双曲正切荷控忆阻器模型时为0，其余情况取值均大于0。

表2中的参数需要满足条件

4 实验验证

本文利用Multisim14.0对搭建的电路进行验证。设给定输入电流信号i(t)=A·sin(2πft)，元件的数值设置为Rz1=Rz3=500 kΩ, R1=0.01 Ω,Rz2=Rz4=200 kΩ, Rz5=100 Ω, R2=50 kΩ,Rz6=200 Ω, R3～R7为2 kΩ，R8, R9, R11-R19均为20 kΩ，R23=15.7 kΩ, R24=1 kΩ, R25=150 kΩ，R20～R22, R27-R42均为10 kΩ，C1=250 μF，C2=100 nF，u1=0.01 V，u2=0.5 V，u3=15 V。在开关S, S1, S2, S6, S7, S8, S9全部闭合，S3, S4,S5, S10全部断开，u1不为0时的条件下(对应双曲正切函数时，S断开)，3种双曲荷控忆阻器模型的对应不同输入信号幅值以及不同输入信号频率下的仿真结果分别如图5—图7所示。

图5 双曲正弦荷控忆阻器模型仿真图

图7 双曲正切荷控忆阻器模型仿真图

由图5—图7得，该双曲函数荷控忆阻器模拟器的伏安特性曲线均呈斜8字形，且位于第1、第3象限，过坐标原点。该伏安特性曲线的形状和加入的交流电流源频率有关，随着频率的升高，对应伏安特性曲线形成的面积越小。分别对3种双曲函数忆阻器模型取不同的幅值和频率。加入交流电源的幅值越大，伏安特性曲线形成的面积越大。当频率趋于无穷大时，伏安特性曲线逐渐收缩为一条倾斜的直线，此时该模拟器也不再具有忆阻特性，而是一个定值电阻。综上，该忆阻器模拟器符合记忆元件的3个基本特性，因此可以被认为是一个忆阻器元件。表1—表3中其他情况下的荷控忆阻器模型均可验证。

5 结束语

本文将双曲函数和荷控忆阻器模型结合起来，搭建了一种基于双曲函数通用型荷控忆阻器模型。该模拟器可以实现基于双曲正弦，双曲余弦以及双曲正切函数的荷控忆阻器。通过分析该模拟器在不同幅值以及不同频率下的伏安特性曲线得出，该模拟器基本符合记忆元件的3个基本特征，由此验证了模拟器的正确性。所设计的通用型双曲荷控忆阻器模拟器，将双曲函数型的忆阻器模拟器和荷控忆阻器结合，有望使基于双曲函数的通用型荷控忆阻器元件作为类脑神经网络的神经元关键元件，大大降低了制备实体电路的难度，促进忆阻器在神经网络类脑电路方向的进一步发展。