以学生为中心的复变函数教学研究

唐 丽

(绵阳师范学院数理学院，绵阳四川 621000)

0 引言

复变函数是高等院校数学专业的专业必修课，具有知识点多、难度大的特点.传统的教学方法往往着眼于知识本身的传授，教学方法单一，且过于强调教师在课堂上的主导地位，忽视了学生的主观能动性，使学生处于被动的学习地位，抑制了学生创新意识、创新能力的培养，导致学生对这门课学习兴趣不高，教学效果不理想.在全面实施素质教育，以培养创新精神和实践能力为核心的大环境下，需不断地推进复变函数教学改革，适应国家对人才培养的要求，是目前教师必须深思的一个课题.

近年来，OBE(Outcomes-based Education)的教育理念深入到高等教育的各个方面与各门课程中.而这一理念凸显了以学生为中心，产出为导向.如何在各科课程教学中做到以学生为中心，则是所有教师应重点考虑的问题.近年来，大量的教学法应用在教学实践中，比如任务驱动法[1]、直观教学法、研究性教学法[2-3]、对比教学法[4]、类比教学法[5]、案例教学法、PLB(Problem-Based Learning)法等.结合多年的教学经验，笔者认为：尽管上述教学法都各有优势，但若是在教学过程中，课堂没有能引起学习者兴趣的学习环境，虽然采取了不同教学方法的融合，但其教学结果同样会不尽人意.

本文(1)探讨了教师如何创设能引起学习者经验的学习环境，且这种经验能促进学习者的知识产生变化；(2)讨论了如何根据教学内容的要求将几种不同教学法融为一体的运用在复变函数课堂，有助于培养和造就学生的认知能力、创新能力，并能使学生将“知识”迅速转化为“能力”；(3)说明了如何激发学生与环境互动来创造各种经验，以引起自身知识的变化.

1 复变函数教学研究

在复变函数教学研究的环节中，以“学生为中心”，本文从以下三方面来进行讨论：首先是创造能引起学生经验的学习环境，把学生引入一种与学习主题有关的情景中；其次，通过对比、类比等教学方法的运用，让学习者能更深入理解课堂知识；最后，激发学习者与环境的互动.

1.1 创造能引起学生经验的学习环境

这里所讲的学习环境，不是学习者周围是否安静这类通常意义上的外在环境，而是与动态的学习进程紧紧联系在一起的一个动态概念，是学习活动展开的过程中赖以持续的情况和条件[6].在动态学习环境中，教学者创设有利于学习者对所学内容的主体进行理解的情景——创设问题情景，从而制造 “不协调”，把学生引入一种与问题相关的情景的过程，达到一种从“不协调—探究—深思—发现—解决问题”的一个自觉的过程.比如，为了让学生理解并深入理解复变函数连续的概念，教师先考虑实函数(两个变量之间的问题)连续的概念.针对实函数连续的定义，侯世达[7]把它想象成一个以点(x0,f(x0))为中心的“小方盒”，本文称它为“如意小方盒”(当学习者首次听到“如意小方盒”的概念，就是疑惑：与今天的学习内容有关吗？)无论学习者希望f(x)多么靠近f(x0)(这一想法都可以转化成一个矮盒子的形象，其中函数值在垂直方向非常近，即|f(x)-f(x0)|<ε)，最后都可以把盒子想象得非常窄(∃δ)，窄到所需条件在其中任何地方都成立(这一条件可以转化为|x-x0|<δ)，最终一切都聚焦到尺度任意小的函数图像上.换言之，矮盒子的形象非常具体的把实函数连续的定义以动态的形式呈现出来.当课堂中教师通过动态图展式这一变化过程时，学习者对连续的概念有了不一样的理解：原来，在连续概念中，变量x的变化可以对应到如意小方盒的宽窄，函数值的变化则可以对应到小方盒的高矮.因此，在实函数连续概念这一学习环境中，进而学生在学习复变函数(四个变量之间的问题)连续的概念时就变得顺理成章.有学习者提问：既然函数值的变化能影响到小方盒的高矮，那这个小方盒的变化也可以影响到另一个小方盒.可不可以利用两个“如意小方盒”来解决复变函数连续的问题呢？ 这就是学习者的知识在不知不觉中产生了变化.

为了创设更好的学习环境，教师可以利用发达的移动通讯设备，结合学习者喜欢玩手机的心态，在线发布预习试题进行预习检验.当然，这一手段的创设，是为了更好地调动学生的积极性，同时也对即将学习的内容起到承上启下的作用.并且通过这种手段，可以对学习者的学习起到监督的作用.当然，这些在线发布的测试题不能过于难，否则会打击学习者的积极性.

1.2 对比、类比教学法

“概念获得”是Bruner(1973)提出的一种教学策略，Joyce和Weil(1986)予以普及开来：“它能通过让学生比较与对照两种不同的例子(范例)——包含概念属性和不包含概念属性的例子，帮助学生获得一个概念”[8].为学生提供了有利的学习环境后，根据教学内容的不同，教师可以采取不同的教学方法进行适当融合.由于本文主要是针对概念教学，因此主要就对比、类比的教学方法的融合进行详细介绍.对比就是通过运用对照的方法来明确事物之间的相同点和不同点的思维过程的方法.因此需要在知识深度和广度的基础上，以比较为基础，找出两个不同对象之间的相同点和不同点.然后以此作为依据，将有关知识和理论平移到另一对象上.作为思考之源和思维之火的类比，是指由一类事物所具有的某种属性，可以推测与其类似的事物也应具有这种相同属性的推理.类比思想是理解新情境和构建新概念的关键.在我们刚开始接触到新的知识时，比较好的方式是利用朴素类比[7]来理解科学概念.朴素类比是把新环境比作熟悉的东西，可以让我们对新环境至少有一个大体上的理解，与通过构建情境之间的映射经由刻意思考完成的标准类比是不同的.朴素类比直接指向结论，而没有考虑其他选择，并且不会产生任何不确定的结论或疑虑[7].比如实函数连续的概念[9-10]：

定义1函数y=f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内有定义，若对任给的ε>0，存在正数δ(ε)，使得当|x-x0|<δ(ε)时，有|f(x)-f(x0)|<ε

相较于实函数连续的定义，有复变函数连续的定义[11-12]：

定义2设函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在集E上确定，并且集E上的聚点z0∈E，如果对任给ε>0，可以找到一个与ε有关的正数δ=δ(ε)，使得当z∈E，并且|z-z0|<δ时，有

|f(z)-f(z0)|<ε

为了让学生能深入理解复变函数连续概念，在教学中采取对比和类比同时进行.同时教师还通过网络实时发布相应的测试题让学习者进行练习；并且可以根据在线测试的结果，教师可以及时对课堂教学进度进行调整.

1.2.1 对比教学法 从实变函数与复变函数连续定义的形式来看，除个别字母表示不同之外，二者形式上完全一样.如果复变函数连续的定义用文字叙述进行讲解，初学者则有可能产生思维定势，直接把数学分析或高等数学中的实变函数连续概念照搬过来进行理解，有的同学还从左右连续的概念来理解复变函数连续的概念.如果是这样的学习效果，则是没有弄清楚实函数与复变函数连续的区别.当然，在创造能引起学生经验的学习环境后，这种情况应该不会发生.此时，采用对比教学法从几何的角度来处理这两个概念，就会使得二者的差异性不言而喻.

图1 y=f(x)的几何意义Fig.1 The geometric significance of y=f(x)

首先，从几何方面来进行对比.

图1、图2实函数与复变函数连续的几何意义进行对比：图1的实函数是在一张平面上来处理它的几何意义，而图2的复变函数是在两张平面上来处理它的几何意义；其次，结合“如意小方盒”，实函数对应的是一个如意小方盒，而复变函数对应的是两个“如意小方盒”.通过这样的对比，生动形象，差异性直观且可视化，两个概念的区别也就直观形象，这对学生而言会产生更加深刻的视频印象，这是对比带给学生的效果.

图2 w=f(z)的几何意义Fig.2 The geometric significance of w=f(z)

图3 望远镜Fig.3 A telescope

1.2.2 类比教学法 在采取了对比的方式之后，为了进一步加深学生的印象，能否利用学习者熟悉的事物来理解这些抽象概念？侯世达[6]把实变函数连续想象成一个以点(x0,f(x0))为中心的小方盒，进而与熟悉的事物相关联，例如放大镜、显微镜等.而要想彻底理解复变函数连续几何意义，前提是要理解复变函数的几何意义.但由于复变函数涉及到4个变量，若画图则需要在四维空间处理，显然目前没法具体操作，因此把它们放在两张平面上.但对于在两张平面上理解这个概念学习者依然觉得很难，以至于对复变函数映射的概念学习者总是觉得很抽象.因此，利用学习者提出的“两个如意小方盒来解决复变函数连续的事情”进行深入讨论.借鉴于侯世达所讲的如放大镜、显微镜这类的熟悉物体，因此，采用望远镜这一物体来处理复变函数的连续.如图3可以把它想象成分别以z0为中心的物镜，和以f(z0)为中心的目镜的望远镜.无论希望f(z)多么靠近f(z0)或者说多么想看清楚距离f(z0)无穷近的地方f(z)物体的特点，都可以在以z0为中心的物镜上，一个半径(∃δ)短到所需条件在圆域里任何地方都成立.同样地，最终一切都聚焦到尺度任意小的函数图像上.

显然，大家通过日常所熟悉的经历(物镜和目镜)对复变函数概念进行类比，进而理解这些知识点，可以很快消化吸收在课堂上所学习的知识，同时扩展学生思考思维.这样的类比，比纯粹的实函数与复函数的连续定义的对比要来得生动，同学们有身边的事物可以进行联想和联系，同时也会让同学们更加容易解释这些概念背后的东西，让同学们得到启发：既然连续的概念可以这样进行联系，那么复变函数可导的定义也可以尝试这样的朴素类比，让同学们能够迅速掌握这类概念和定理.

由此可见，在创造了合适的学习环境后，通过对比类比，帮助学生获得了一个概念.

1.3 激发学习者与环境互动

通常说，兴趣是学习最好的老师.可是兴趣从哪里来呢？教育者应该考虑在互动中如何让学习者有成就感？比如，在一堂新课中，如何让学习者能感到他已有的知识对这堂课是有帮助的？只要是学习者，无论小朋友还是大朋友，只要让学习者感到在脑力劳动中取得“乐”的喜悦，而这个“乐”也就是孔子所讲的“不亦说乎”，那么学习者就会因为这个“喜悦的成就感”而有兴趣.这样的课堂效率才高.因此，在复变函数课堂中，教育者抓住学习者乐玩手机的特点，让他们在手机上做一些与学习、课堂有关的事情——在线测试题就是其中之一，让他们能从中得到真正的“成就感”，从而推动了复变函数课堂的教学.

除此之外，若是在一堂课让学习者感觉这个事情不难，容易做到，也会为学习者带来“喜悦的成就感”.因此，教师可以在课堂中适当插入复变函数相应的历史发展，让学生了解数学家究竟是怎么做出这些伟大的成就，从而增强学习的信心.比如，当初复变函数理论还没有建立之前，高斯在和威索(Wessel)通信讨论复变函数时写到，既然复数有了函数的概念，那它有没有类似微积分的结论呢？(那个时候实变函数的微积分理论已经建立).因此，数学家沿着实函数微积分理论的道路研究复变函数，开辟了复变函数理论.这样让学生了解数学家创立复变函数理论的过程.并且，教学中可以通过实变函数的连续概念推广到复变函数的连续概念，向学生进一步展示数学家创造数学概念的过程即通过对比已有的概念，来猜测建立新的东西.这个过程对学习者具有启发作用，让其感受科研工作究竟可以怎么来做；有助于培养学生的创新意识和探索精神，同时有助于学生创新素质的养成.

2 复变函数连续中的思政

今天的课堂，要求教育者不仅传授知识，而且还要传递情感.而思政是一个很好的手段.思政，不是教条式说无用的鼓励话，而是可以让学习者更主动地参与学习，主动参与课堂.因为关于人的动机和主动参与，有一个高效的促进因式——自我系统[13],而自我系统由客我和主我所构成[14-15],其中客我是一种正在运作的自我概念，能在特定的情境中产生各种动机和自我调节策略.也就是说，思政可以让学习者在课堂中产生一种主动性.通过对比和类比知道，实变函数连续概念中的变量x从左右两边趋近于定点x0到复变函数连续概念中变量z从四面八方趋近于定点z0的变化方式可以看出，复变函数的环境发生了翻天覆地的变化.于人而言，虽然有“条条大路通罗马”，但无论哪条路，人要想让自己更上一层楼，则必须通过改善自己的生存环境或更加适应生存环境来实现自己的目标.因此，教师暗示这个概念学习者完全可以学得很好，使得学习者产生共鸣：认为自己有能力在这堂课中表现得很好，那么课堂所介绍的主题是可以激起学习者的学习主动性.正所谓，读数学就是读人生.

3 结束语

以学生为中心的课堂，从学习者角度来设计教学方法，才是有效的教学方法.教师需站在学习者的角度，针对不同的知识点采取合适的教学策略和方法，即使是几种教学方法融为一体的来处理课堂知识，只要能引起学生的注意，能调动学习者主动加入到课堂中来，能使学习者更好理解知识，那么这种教学设计就是好的.在本课堂中，以复变函数连续概念为知识点，首先从大家熟悉的知识点入手，通过几何对比，让学习者理解得更透彻；再利用学习者熟悉的事物类比阐述这个概念，让学生在自己的亲身经历中进行知识的学习.这样的处理，使抽象知识具体化，使得学生能体会到知识在我们生活中的实际运用.总体而言，我们在研究各种适合的教学方法时，创新地把学习者手中的移动通讯工具合理的利用起来，并且能让学习者主动点开相应的APP进行学习，有效的调动了学习者的积极性；其次，让学习者在课堂不知不觉地体会研究离我们普通人也是很近的；最后，思政也可以让学习者更主动地参与课堂，并有一种成就感.

正是采用这样一种“以学生为中心”的教学策略，使得面对难度系数很大的复变函数课程，学习者依然还能积极主动地进行学习，并且能主动地对其中的一些知识和数学分析的知识进行对比、类比，找出它们的相同点和不同点.最后，从学习通统计数据可以看出，98%以上的学生能主动进行学习，且能按要求完成80%以上的教学内容的学习；从最后的教学结果可以看出，学生对复变函数的基本概念、基本方法和基本理论的掌握要明显好于以往，甚至出现了满分的情况.