嵌入输入凸神经网络的静态电压稳定控制替代建模方法及其解析算法

刘友波，王天翔，邱 高，魏 巍，周 波，刘挺坚，刘俊勇，梅生伟

（1.四川大学 电气工程学院，四川 成都 610065；2.国网四川省电力公司电力科学研究院，四川 成都 610041；3.清华大学 电机工程与应用电子技术系，北京 100084）

0 引言

随着电网规模、负荷以及不确定性的增大，电力系统运行更加接近安全稳定极限点，电压崩溃风险增加［1-2］，亟需研究针对静态电压稳定（static voltage stability，SVS）的态势评估及防控方法。然而，SVS问题具有较强的非线性和非凸性，其控制效率和精度难以平衡。

目前，针对SVS控制已开展较多研究，主要方法为灵敏度方法和最优潮流（optimal power flow，OPF）法。灵敏度方法通过推演电压稳定裕度与控制变量间的直接灵敏度关系实现预防控制［3-5］，但该方法依赖于局部线性化假设，可能会造成电压稳定的欠调或过调，导致控制精度下降。OPF法直接将精准的电压稳定评估模型嵌入预防控制模型中，并采用启发式算法［6-7］、非线性规划算法［8-9］进行求解，以制定电压稳定裕度提升策略。文献［6］利用亚临界霍普夫分岔值表征系统电压稳定裕度，将其作为OPF的优化目标，但该方法未考虑控制成本。文献［7］考虑系统发电成本、柔性交流输电系统（flexible AC transmission system，FACTS）设备成本、负荷切除量等，构建多目标优化模型以改善系统电压稳定，最终利用多目标差分进化算法进行求解。但将启发式算法的随机搜索求解方式应用于大电网时计算效率偏低，且在鞍结分岔点附近电压稳定约束的病态可能导致不收敛。文献［8］基于负荷裕度期望值构建电压稳定约束，并嵌入预防控制模型，但设定的期望值偏大时模型求解可能不收敛。文献［9］构建含大量预想故障电压稳定约束的最优潮流模型，并结合Benders分解算法和连续潮流（continuation power flow，CPF）模型进行求解。CPF模型虽能直观地进行系统SVS分析［10］，但其较重的计算负担降低了控制策略的生成效率。总体而言，灵敏度方法以牺牲控制精度为代价来提高控制效率，而基于OPF法构建的预防控制模型虽然清晰，但复杂且非凸，现有方法难以平衡SVS问题的控制效率和精度。

数据驱动的替代建模技术已在电力系统中得到广泛应用［11-15］，其利用机器学习模型替代非线性系统的复杂机理分析过程，以简化、缩减高维非线性控制中最复杂的部分，实现控制提效。该技术已成为处理复杂高维非线性控制的有效方法，其中线性回归和决策树（decision tree，DT）因具有易解析的特点而受到关注。文献［11］构建弹性网络线性回归模型，将其作为替代模型定量描述系统电压的不确定性，并将其嵌入线性规划模型以实现储能配置。文献［12］基于DT模型识别关键线路，并生成关键线路串补策略以保证系统电压稳定性。但上述模型属于浅层学习，难以挖掘数据深层特征，泛化能力有限，且单一线性模型在非线性安全边界附近的性能可能陡降。为此，大量研究引入泛化能力更强的深度学习（deep learning，DL）来构建替代模型，且模型表现出优良的性能［13-15］。文献［13］使用基于贝叶斯神经网络的替代模型构建考虑暂态稳定约束的OPF模型，并采用无梯度贝叶斯优化制定预防控制策略。文献［14］基于深度信念网络和进化算法进行暂态稳定预防控制。虽然替代建模简化了原始模型，但元启发式求解策略仍存在“维数灾”问题，基于梯度的求解算法能在目标最速下降的方向上搜索可行解，更适合求解高维非线性的安全预防控制问题［15］，但传统DL的非凸性将造成梯度算法收敛性的下降。

输入凸神经网络（input convex neural network，ICNN）能以非线性凸函数形式精准地参数化输出与输入特征的关联规则，构建出凸且紧致的安全边界，可有效避免利用非凸安全边界约束导致的模型收敛困难或局部最优问题出现［16-17］。相较于传统神经网络，ICNN可以严格证明凸性，且其构造的凸超参边界更适合与快速梯度决策算法进行耦合。本文引入ICNN来替代CPF，在不丢失非线性的前提下，建立电压稳定裕度快速精准凸控制模型。同时，基于ICNN参数化规则，通过推导电压稳定裕度对控制变量的雅可比矩阵和海森矩阵，得到稳定裕度的控制梯度信息，从而有效耦合内点法（interior point method，IPM）来实现利用最速下降策略求解控制模型。最后，以IEEE 14节点系统和IEEE 118节点系统验证所提方法，结果表明，相较于传统灵敏度方法和非凸神经网络的替代建模方法，所提数据驱动的电压稳定凸控制模型可更优地权衡控制效率和精度。

1 电力系统SVS预防控制模型

本文SVS预防控制模型的主要目标为以最小的成本调节电压稳定裕度至设定水平，数学模型如下。

1.1 目标函数

考虑的控制变量包括发电机出力、发电机机端电压以及并联电容器无功补偿功率，目标则综合考虑运行成本最小化。目标函数为：

式中：F为控制模型的目标函数；PGi、QCn分别为节点i的发电机有功出力和节点n的并联电容器组无功补偿功率；ΩG、ΩC分别为发电机节点集合和无功补偿节点集合；CPi(PGi)、CCn(QCn)分别为节点i的发电机运行成本计算函数和节点n的无功补偿成本计算函数，分别如式（2）、（3）所示。式中：ai、bi、ci为节点i的发电机有功出力成本系数；cs为单台电容器可用投切次数的单次平均成本；Ps为单台电容器投入的无功补偿功率。

1.2 约束条件

1）潮流等式约束，即：

式中：i∈ΩB，ΩB为系统节点集合；PLi、QLi分别为节点i的有功负荷和无功负荷；Vi为节点i的电压幅值；θij为节点i、j电压间的相角差；QGi为节点i的发电机无功出力；Gij、Bij分别为节点i、j对应的导纳矩阵中元素的实部和虚部。

2）运行不等式约束。

（1）发电机出力上、下限约束，即：

（2）无功补偿上、下限约束，即：

（3）电压约束，即：

（4）线路潮流约束，即：

式中：Pij为线路ij传输的有功功率；gij、bij分别为线路ij的电导和电纳；kij为线路ij上变压器的变比、ij分别为线路ij传输有功功率的上、下限。

（5）SVS裕度约束，即：

式中：λcr为负荷裕度，其值通过CPF模型式（11）进行计算；cr为设定的负荷裕度下限。

式中：λ为负荷增长参数；i∈ΩB；nGi、nPLi、nQLi分别为节点i的发电机有功出力、有功负荷和无功负荷的增长方向；s(x)≤0为系统安全约束，x为系统状态变量。区别于常规潮流计算，CPF将λ作为系统负荷增长参数，构建参数化潮流方程。通过递增参数λ来重复计算系统潮流，直至潮流雅可比矩阵奇异，求得系统负荷裕度λcr，从而量化系统的SVS［18］，但该方法对系统规模较敏感，计算难度较大，同时，在上述电压稳定控制模型的求解过程中，反复利用CPF评估电压稳定裕度将消耗大量的计算成本。为此，本文将考虑基于DL构建CPF的替代模型，实现电压稳定的快速辅助决策。

2 电压稳定控制策略的ICNN替代建模

基于式（11）求解负荷裕度存在收敛性与效率问题，当系统规模较大时，式（1）—（11）的变量维度较高，为此，引入ICNN作为替代模型，建立负荷裕度与决策变量间的精准凸关联规则，并对式（11）进行去模型（model-free）变式，生成数据驱动下的电压稳定凸优化控制模型，有效地保证控制效率与控制精度。

2.1 ICNN结构

ICNN包含大量非线性激活元，可在超参空间准确构建凸非线性电压稳定安全边界，解决传统机器学习在优化控制模型中的非凸性导致的收敛 问 题［17］。附录A图A1给 出了含k层隐藏层 的ICNN结构。图中：ICNN为全连接结构；X、Y分别为ICNN的输入特征和标签，本文采用的输入特征X=[PGi，VGi，QCn，PLj]，VGi为发电机节点i的机端电压，标签Y为负荷裕度λcr；δ为激活函数；wℓ(ℓ=1，2，…，k+1)为各层间的权重参数；Tℓ(ℓ=1，2，…，k-1)为第ℓ+1层隐藏层与输入层间的权重参数；zℓ(ℓ=1，2，…，k)为第ℓ层隐藏层的输出。ICNN的凸性以及非线性拟合能力可由如下定理1和定理2保证［17］。

定理1 ICNN结构中的权重w2—wk为非负数且激活函数δ为非减凸函数，这可以保证模型中的输出Y为输入X的凸函数，且该凸函数的海森矩阵（计算方法见附录A式（A1）—（A3））正定。

定理2 ICNN函数fICNN：Rd→R能逼近紧凑域（compact domain）中的任意利普希茨凸函数f：Rd→R（Rd为d维欧氏空间），即存在极小数ε，使得对于紧凑域中的任意X，均有|fICNN(X)-f(X)|≤ε。

定理1对网络权重进行了非负限制，弱化了网络的表达能力，因此，ICNN在输入层与隐藏层神经元之间增加“直通”层（passthrough layer）以强化深度神经网络的学习能力，有效提升电压稳定评估能力。第ℓ层隐藏层输出zℓ为：

2.2 替代模型的构建

作为一种监督学习模型，ICNN基于结构风险以及先验分布下的离散抽样样本进行训练。对于本文所研究的电压稳定预防控制问题，基于离线生成的以负荷裕度为标签的样本集对ICNN进行训练。

2.2.1 样本生成方法

监督学习的样本组织结构由输入特征和目标特征构成。输入特征为发电机有功出力、发电机机端电压、系统无功补偿量、负荷有功功率。目标特征（标签）为负荷裕度，可通过式（11）求解。

在上述样本组织结构下，通过在电网运行变量上、下限构成的先验分布下随机抽样生成大量运行点集合，提取各运行点的输入特征，计算各运行点的负荷裕度并将其作为目标特征（标签），即可形成用于ICNN训练和测试的样本集合。考虑到拉丁超立方抽样（Latin hypercube sampling，LHS）采样效率高［19］，本文采用LHS作为随机抽样方法。电网运行的先验分布根据如下经验和设备标称限额进行确定：发电机机端电压波动范围为0.94～1.06 p.u.；发电机有功出力范围按照式（5）给出的上、下限确定；并联电容器组无功补偿范围为0～10 Mvar；负荷水平范围为某典型运行日负荷水平的90 %～130 %。

2.2.2 ICNN损失函数及训练

为清晰地显示ICNN数学结构，定义如下函数来展现ICNN层间的连接关系：

式中：Yℓ(zℓ-1)、Dℓ-1(X)分别为第ℓ层隐藏层中来自前一隐藏层和输入层的输入；Nℓ为ICNN第ℓ层隐藏层的神经元个数，N0为输入特征的维度，Nk+1为标签的维度；、b（m=1，2，…，Nℓ）分别为第ℓ层隐藏层的第m维神经元与前一层输出相连接的权重和偏置；T1、b（m=1，2，…，Nℓ）分别为第ℓ层隐藏层的第m维神经元与输入特征相连接的权重和偏置。根据ICNN特性，选取隐藏层激活函数δ(xz)为CeLu函数，具体表达式为：

式中：xz为隐藏层输入；α为系数。

对附录A图A1所示的ICNN进行解析，其输出为：

式中：Φθ(X)为ICNN的负荷裕度估计值，θ为ICNN超参数；Yk+1()zk为ICNN输出层的输出。在损失函数的构建中引入L2正则化策略，防止训练结果的过拟合，得到ICNN的结构风险损失为：

式中：LICNN为ICNN的损失函数；HФ为不包含正则化项的损失函数参数；Hw、HT为正则化参数。则式（17）可以通过如式（18）所示的投射梯度下降方法进行训练。

式中：θt为第t-1次迭代后的ICNN超参数；∇θLICNN为ICNN损失函数的梯度；γ为步长；Лw2：k≥0(θt′)为中间变量θt′在超参空间域的投射。

训练后的ICNN可表示为：

式中：argmin表示使得函数最小的变量取值；θ*为训练后使ICNN损失函数最小的超参数；为由替代模型估计的负荷裕度。

2.3 嵌入ICNN的电压稳定控制模型

2.2节构建的ICNN模型可以不失非线性地实现电压稳定快速评估，因此，利用式（19）替代第1节电压稳定控制模型中的负荷裕度计算模型式（11），得到嵌入ICNN的电压稳定控制模型为：

构建的电压稳定凸优化控制模型式（20）可有效地保证控制效率与控制精度。为进一步保证大规模ICNN替代优化模型的求解效率，需要在最速下降方向搜索策略。为此，引入非线性规划（nonlinear programming，NLP）方法，但ICNN模型存在天然隐式特征，这导致传统规划算法难以处理耦合ICNN的优化模型。因此，本文提出ICNN解析方法，推导雅可比矩阵和海森矩阵，为内点法提供深度替代模型的梯度信息，从而有效耦合ICNN约束与非线性规划。ICNN整体应用流程如图1所示。

图1 ICNN的整体应用流程Fig.1 Overall application flowchart of ICNN

3 内点法与ICNN求导结合的解析算法

3.1 内点法

内点法通过在原始目标中添加障碍函数处理模型不等式约束，并将模型转化为拉格朗日函数进行求解。基于变量的所有控制梯度信息，易求得满足拉格朗日函数极值的控制变量最优解。因此，通过解析ICNN模型，推导出电压稳定裕度对电网控制变量的超参化梯度信息，可实现利用内点法快速生成电压稳定的最优控制策略。内点法求解步骤如下。

1）将模型式（20）表示为一般形式，即：

式中：F(x)为预防控制模型的目标函数，待求解变量x=[PGi，QGi，QCn，Vj，θj]（i∈ΩG，n∈ΩC，j∈ΩB），θj为节点j的电压相角；g(x)为等式约束；h(x)为不等式约束；(x)、(x)分别为不等式约束的上、下限。利用不等式约束上、下限以及松弛变量u=[u1，u2，…，ur]T、l=[l1，l2，…，lr]T将不等式约束转换为等式约束，并利用障碍常数μ构造障碍函数。其中r为不等式约束数量，uc、lc(c=1，2，…，r)分别为第c个不等式约束的上限和下限松弛变量。最终采用拉格朗日乘子法构建的拉格朗日函数L为：

式中：y=[y1，y2，…，y2NB]T为等式约束的拉格朗日乘子，NB为系统节点数，ys（s=1，2，…，2NB）为第s个等式 约 束 的 拉 格 朗 日 乘 子；z=[z1，z2，…，zr]T、e=[e1，e2，…，er]T分别为由不等式约束下限和上限所构造等式约束的拉格朗日乘子，zc、ec(c=1，2，…，r)分别为由第c个不等式约束下限和上限所构造等式约束的拉格朗日乘子。

2）采用牛顿-拉夫逊法迭代求解拉格朗日函数，得到x、y的修正量Δx、Δy的修正方程为：

式 中：“·”表 示 矩 阵 点 乘；L=diag(l1，l2，…，lr)；U=diag(u1，u2，…，ur)；Z=diag(z1，z2，…，zr)；E=diag(e1，e2，…，er)；Θ=[1，1，…，1]T，维度为r；Lz、Le分别为拉格朗日函数对拉格朗日乘子z、e的偏导。该步骤利用了ICNN的控制梯度信息，可实现模型求解。

3）求取z、l、e、u的修正量Δz、Δl、Δe、Δu，即：

4）基于修正量和式（27）求得第τ+1次迭代的变量修正结果。

式中：αp、αd为步长。

5）更新障碍参数μ，即：

式中：σ∈（0，1）为中心参数；GIPM为对偶间隙，当GIPM＞ζ（ζ为设定的收敛值）时，重复步骤2）—4），直到GIPM收敛。

求解算法流程图见附录A图A2。

3.2 替代模型解析

为耦合内点法，推导出ICNN控制梯度，先将式（16）重写为如下形式：

式中：Ok为ICNN的输出；O（ll=1，2，…，k-1）为第l+1层隐藏层的输入；Γ(t)为ICNN的输出。式（30）更清晰地展示了具有k层隐藏层的ICNN完整的前馈过程。结合式（30），利用链式求导法可快速推导ICNN输出Γ(t)对输入特征X(t)的雅可比矩阵和海森矩阵，具体步骤如下。

1）推导激活函数CeLu的一次和二次导数，即：

2）基于链式求导法则和激活函数的一次导数，推导Ol（l=1，2，…，k-1）和Γ()t对ICNN输入特征X的一阶导数，即：

3）结合2.2.2节内容，对式（33）逐层求解并回代，得到ICNN的雅可比矩阵求解式为：

4 算例分析

本 文 采 用 附 录A图A3、A4所 示IEEE 14和IEEE 118节点测试系统。对于负荷裕度计算，在MATLAB上使用Matpower工具箱进行仿真。对于替代模型构建，在Python平台上基于PyTorch建立ICNN，基于scikit-learn库搭建对比替代模型，即DT模型和混合逻辑斯特回归（mixed logistic regression，MLR）模型。

4.1 替代模型的构建及测试

2个测试系统均采用如下测试方法：首先，根据2.2.1节的样本生成方法，生成8 000个样本，将其中6 400个样本划分为训练集，将其余1 600个样本划分为测试集；然后，搭建含有6层隐藏层的ICNN模型，并基于训练集构建ICNN输入特征与负荷裕度之间的凸关联规则；最后，通过与DT、MLR、传统反向传播神经网络（back propagation neural network，BPNN）（含6层隐藏层）模型进行对比，验证ICNN对负荷裕度的拟合精度与泛化能力。由于IEEE 118节点系统规模较大，因此在构建ICNN模型时，隐藏层神经元数量需适当多于IEEE 14节点系统，以保证模型的学习能力。测试结果如表1所示。表中：平方相关系数（square correlation coefficient，SCC）的表征对象为负荷裕度真实值与替代模型估计值；均方误差（mean square error，MSE）计算公式如式（37）所示，为标幺值。

表1 测试结果Table 1 Test results

式中：MSM为替代模型的MSE；Ntest为样本测试集大小；ΩI为样本测试集；λcri、λ～cri分别为样本测试集中第i个样本的负荷裕度真实值和替代模型估计值。

由表1可知，IEEE 14节点系统中，ICNN的MSE为3.887 0×10-5p.u.，测试集误差的均方差为0.006 2 p.u.，IEEE 118节点系统中，ICNN的MSE为7.476 6×10-5p.u.，测试集误差的均方差为0.008 6 p.u.，均优于DT、MLR、BPNN模型。图2更直观地展示了ICNN在各测试系统中的性能表现（图中预测值、实际值、误差均为标幺值）。上述结果表明：基于ICNN构建的电压稳定评估模型的拟合精度高且模型具有较强的泛化能力，能够有效保留CPF模型的非线性，可进一步用于后续电压稳定控制。

图2 ICNN在测试集上的性能可视化Fig.2 Visualization of ICNN performance on test set

4.2 所提预防控制模型的测试

为了较直观地展示测试工况的运行状态，本文根据负荷裕度将需要进行预防控制的系统运行状态分为Ⅰ类状态、Ⅱ类状态和Ⅲ类状态，如表2所示。

表2 运行状态分类Table 2 Classification of operation conditions

本文设定预防控制目标为将负荷裕度提升至80 %。同时，为验证并分析嵌入ICNN的电压稳定控制模型的控制效率与控制精度，在本文构建的电压稳定预防控制模型的基础上，基于如下2种对比方法构建替代模型，并利用内点法进行求解：对比方法1，基于传统灵敏度分析方法［3-4］，推演出负荷裕度与控制量的灵敏度关系，构建电压稳定替代模型；对比方法2，选取4.1节中构建的BPNN模型（非凸神经网络）作为电压稳定替代模型。此外，设置对比方法3，即采用多目标遗传算法求解未经替代的原始SVS控制模型。

首先，选取4.1节中构建的ICNN作为替代模型，在IEEE 14节点系统中测试本文方法的有效性。本文方法能将Ⅲ类状态的负荷裕度提升至预防控制目标，但受限于系统可调资源，无法将Ⅰ类状态和Ⅱ类状态的负荷裕度提升至预防控制目标。因此，在上述每类运行状态中各选取100组测试工况，通过与灵敏度方法的对比来测试本文方法的有效性，结果如表3所示。

表3 IEEE 14节点系统测试结果Table 3 Test results of IEEE 14-bus system

由表3可知，本文方法能有效提升系统负荷裕度，且在对Ⅰ类状态和Ⅱ类状态进行预防控制时，本文方法的平均计算时间分别为0.028 7 s和0.030 5 s，均优于传统灵敏度方法，本文方法展现出较高的控制效率。为进一步分析本文方法的控制精度、控制效率以及在较大系统中的应用能力，将本文方法应用于IEEE 118节点系统中，得到的测试结果如附录A表A1所示。由表可知，在IEEE 118节点系统中，所提方法仍展现出较高的控制精度与控制效率，在提升系统负荷裕度的同时，使计算时间保持在5 s左右。为了便于解释所提模型的控制策略，图3—5给出了该测试系统下将负荷裕度从32.55 % 提升至80.43 % 的预防控制策略（图5中电压为标幺值）。

图3 发电机有功出力调控Fig.3 Adjustment and control of active power for generators

图4 无功功率补偿Fig.4 Reactive power compensation

图5 机端电压调控Fig.5 Adjustment and control of terminal voltage for generators

上述结果表明，本文方法能够有效识别系统关键补偿点并制定补偿策略，且通过综合考虑无功补偿成本和发电机出力成本制定出的发电机有功出力、发电机机端电压和无功补偿调控策略能够精准地控制系统负荷裕度至目标水平。

4.3 方法对比

为进一步分析本文方法的控制精度与控制效率，首先将本文方法与对比方法1、对比方法2应用于IEEE 118节点系统，得到的测试结果如附录A图A5所示。结果表明，相较于对比方法1和对比方法2，本文方法具有最高的控制精度，能够对负荷裕度低于80 % 的测试工况进行更加有效的预防控制（100 % 的场景控制成功率），而对比方法1、对比方法2的场景控制成功率分别为72.5 %、85 %。

进一步，附录A表A2给出了不同对比方法对3个典型测试工况控制成功后的计算时间和运行成本。综合比较可知，本文方法具有较高的控制效率。结合图A3中测试场景预防控制成功后的平均运行成 本（ICNN为4.322 4×105元，非 凸 神 经 网 络 为4.327 3×105元，灵敏度方法为4.329 8×105元）可知，本文方法能有效地保证控制策略成本的最优性。

综上，与传统方法相比，所提嵌入ICNN的电压稳定控制替代建模方法及其解析算法，不仅具有较高的计算效率和控制精度，而且更能保证控制策略的成本最优。

5 结论

本文提出一种嵌入ICNN的SVS控制替代建模方法及其解析算法，通过IEEE 14节点系统及IEEE 118节点系统对所提方法进行分析，得到如下结论：

1）构建的ICNN模型不仅能快速准确地评估系统SVS，而且能正确判断运行变量与负荷裕度的灵敏度关系，快速辅助生成最优策略；

2）通过经验学习，ICNN能精准地刻画系统运行变量与SVS边界的凸关联规则；

3）利用本文方法能发现系统运行变量与电压稳定边界存在的凸非线性关系，这表明人工智能方法具有直觉引导的可能。

所提ICNN凸非线性驱动的SVS控制方法具有以下优势：

1）区别于机理计算模型，ICNN可实现去迭代、高并行的实时电压稳定计算，且其在超参数空间的计算可有效规避变量空间下的高维度机理建模；

2）ICNN参数化的凸稳定边界保证了物理机理约束的可靠凸耦合，进而保证了快速非线性梯度算法求解的收敛性；

3）在超参空间下解析ICNN，得到电压稳定控制的精确灵敏度，可有效缩减优化变量维度；

4）所提数据驱动与物理建模凸耦合的优化方法具有一定的推广性，可用于其他包含高维复杂、非凸非线性、计算耗时约束的优化问题。

附录见本刊网络版（http：//www.epae.cn）。