MFC驱动主动反射器形面的有限时间动态变形控制

2023-02-27 13:14卢志荣王晓明周文雅

振动与冲击 2023年4期

卢志荣，王晓明，周文雅

(1. 广州大学机械与电气工程学院，广州 510006； 2. 大连理工大学航空航天学院，辽宁大连 116024)

卫星通信、空间探索以及射电天文学等领域的飞速发展，对反射器天线的辐射频率和增益提出了越来越高的要求[1]。为实现高增益信号传输，需要天线反射器形面具有很高的几何精度[2]。然而，天线反射器易受制造装配误差、在轨热载荷等复杂因素影响，产生形面变形，从而极大影响信号传输精度[3-5]。为此，结合智能驱动器(如压电材料)实现反射器在轨形面主动控制，已经成为提高反射器性能的关键技术之一。

国内外学者在利用压电作动器进行反射器的静态形面主动控制方面开展了研究工作。孙国钟等研究了一种基于前馈补偿算法提高压电纤维执行器控制抛物面天线的精度的控制方法。黄志荣等[6]对可调整反射器方向的研究进行调研，并对三种结构形式的可调整反射器和三种调整点布置方法进行分析。宋祥帅等[7]研究了一种通过影响系数矩阵法(influence coefficient matrix, ICM)与最小二乘法并用压电陶瓷作动器使主控格栅反射器的均方根误差最小的主动控制方法。伍科等[8]提出了一种使CFPR格栅反射器残余误差最小的形面控制器设计方法，并对PZT作动器的布置及电压进行了优化。张顺琦等[9]建立了压电智能薄壁结构在强致动电压的条件下的大转角变形的非线性模型，并通过仿真发现电致材料的非线性因素在强致动电压下对结构变形有重要影响。Jiang等[10]提出了一种形状记忆索网的结构，并研究了一种运用该结构提高索网天线在轨的表面精度的主动控制方法。Xun等[11]提出了一种用压电陶瓷作动器对大型索网天线的主动控制方案，该方案采用了一种针对大尺寸形状控制问题的新型快速模型预测控制算法。Song等[12]提出了一种提高压电陶瓷作动器对天线反射面的主动控制精度的方案，该方案采用了一种基于影响系数矩阵模型的闭环迭代形状控制方法。Song等[13]提出了一种反馈误差学习(feedback error learning,FEL)的形状控制方法，该算法能有效提高运用压电陶瓷作动器控制天线反射面的形状精度，与运用影响系数矩阵模型的方法相比，降低了模型误差对形状控制精度的影响。Huang等[14]提出了一种天线反射面的主动控制方法，该方法采用径向基函数(radial basis function,RBF)神经网络进行误差分析，能在短时间内减小反射器的形状误差。

需要指出的是，目前的反射器形面主动控制大多聚焦于静态或准静态形面控制，而较少考虑形面控制的动态过程。随着天线尺寸增大、材料变轻，反射器整体结构柔性效应愈加显著，从而导致一些简单、随意性的控制电压加载方式(如阶跃式、斜坡式信号等)反而会激发附加的或者伴随的结构瞬态振动，并产生明显的残余振动[15-16]。另一方面，当前的对地观测、卫星通讯等对控制过程的时效性提出了更高的要求，通常期望反射器能在尽量短的有限时间内完成形面精度调整，这就使得传统基于渐进稳定理论的无限时间控制理论(如LQR等)难以满足控制需求[17]。因此，设计面向反射器动态形面的有限时间控制律，并保证形面调节过程附加振动的最小化，是一项新的研究课题。王晓明等前期研究了基于二次规划的有限时间开环控制算法，验证了可通过优化作动器电压加载轨迹减小附加振动的可行性，但纯开环控制系统的抗干扰性较差，有必要引入闭环控制环节。这对于反射器形面的动态变形控制律设计提出了新的要求。

本文以基于分布式压电纤维驱动器的抛物面形主动反射器为例，开展有限时间动态形面控制问题研究。基本思路是，建立面向控制的主动反射器动力学方程，并将动态形面控制问题转化为有限时间的时变LQ终端和跟踪控制问题，进而通过求解对应的微分Riccati方程，得到时变控制律；最后，通过仿真算例验证控制算法的有效性。

1 MFC驱动固面反射器有限元建模

1.1 模型描述

反射器结构的模型如图1(a)所示。反射器本体为抛物面形结构，中心区域为固定约束区域。采用宏纤维复合材料(macro fiber composite，MFC)[18]作为压电驱动器，其内部结构如图1(b)所示。在反射器下表面沿径向粘贴8个P1型MFC压电纤维作动器，因此其压电纤维朝向为径向。此外，为便于测量反射器形面变形和反馈控制，在结构上表面粘贴应变传感器。反射器模型与MFC压电作动器的几何、材料参数，如表1所示。

图1 反射器结构图与MFC作动器Fig.1 Reflector structure diagram and MFC actuator

表1 反射器模型与MFC作动器参数Tab.1 Parameters of reflector modal and MFC actuator

1.2 反射器有限元模型

研究中结合有限元法、压电驱动的载荷比拟法、均匀化方法等手段，建立主动反射器的动力学模型。结构整体有限元网格如图2所示。此外，由于铺设的分布式MFC作动器会改变了反射器局部的刚度和质量特性，研究中利用复合材料层合板理论计算含MFC铺层单元的刚度矩阵和质量矩阵[19]。

图2 反射器结构有限元网格Fig.2 Finite element mesh of reflector structure

根据哈密顿原理可以导出单元的动力学方程[20]。其中不含MFC铺层单元和含MFC铺层单元的动力学方程可分别表示为

(1)

(2)

Fp=KuφV

(3)

其中

(4)

式中：B1与B2分别为应变-位移矩阵和电场-电势矩阵;V为电压值；e为压电应力系数矩阵。于是，采用等效比拟载荷后，在结构模型中只需考虑压电材料的力学特性，将等效载荷施加到单元边界即可，从可以减少有限元单元规模、提高计算效率。

总体刚度矩阵和质量矩阵由不含MFC铺层单元与含MFC铺层单元的刚度矩阵和质量矩阵构成。通过对所有单元的刚度矩阵和质量矩阵进行组装，整体的有限元方程可表示为

(5)

式中：d为节点位移向量;M,K分别为整体质量矩阵和刚度矩阵;Fu为作动器电压-载荷矩阵;u为作动器加载的电压向量。令m为所用模态数，n为MFC作动器数量，k为反射器模型未固定的节点数，M,K皆为维数6k×6k矩阵，Fu为维数6k×n矩阵，d为维数6k×1矩阵。

1.3 状态空间模型

由于有限元模型的节点数与单元数过多，致使质量矩阵与刚度矩阵的阶数过大，不便于进行控制律设计。研究中引入模态坐标变换，运用模态分解法对模型进行降阶处理，即

d=Φq

(6)

式中：Φ为振型矩阵；q为广义坐标向量，即对应模态在动力学响应中的分量。Φ为维数6k×m矩阵，q为维数m×1矩阵。

将上式代入式(5)，并在式子的两端左乘ΦT，再进行整理可得

(7)

(8)

式中：A和B分别为系统性质矩阵和控制输入矩阵，A为维数2m×2m矩阵,B为维数2m×n矩阵;x为维数2m×1矩阵;u为维数n×1矩阵。

为便于观测反射器形面变形状态，研究中以结构边缘节点P(见图1)的挠度为控制输入出量

z=C1x

(9)

式中：z为节点P的挠度;C1为输出矩阵。C1为维数1×2m矩阵。

此外，为构成闭环控制，将应变传感器信号作为反馈量，即

y=C2x

(10)

式中：y为传感器反馈信号列阵；C2为对应输出矩阵。

2 反射器静态形面控制

在轨运行过程中，天线反射器易受装配误差、热载荷、辐射等因素影响，产生结构变形和形面误差，从而降低天线传输信号的精度。因此，可以通过主动控制方式消除不利变形、恢复或提高形面精度；另一方面，也可以通过主动地驱动反射器结构变形，实现调节反馈增益、覆盖面积等可重构天线功能。不论对于哪种控制需求，其目的均是将反射器形面从一个初始变形状态x0转移至另一个预期变形状态xf。为便于开展分析和对比，研究中将反射器初始条件定义为未变形状态，以结构第一阶模态为变形形式，并通过边缘节点P的面外挠度值作为观测量。

设节点P的预期挠度为zf，根据式(8)和式(9)得出作动器终端加载电压的计算式为

uf=-(C1A-1B)†zf

(11)

式中：“†”为矩阵的伪逆;uf为作动器终端稳态加载电压值。

设预期挠度为zf=0.5 mm，则各MFC作动器的终端稳态电压值为

uf=[449.2 96.8 -448.4 -96.6
335.2 96.8 -448.2 -97]T

(12)

由于观测点为边缘节点P，作动器的电压加载量呈对称式分布。根据图1(a)与式(12)可看出，2,8、3，7和4，6的作动器电压相对应。

图3给出了控制前后的反射器形面变形云图。可以看出，在MFC作动器的驱动下，实现了预期的变形状态。需要注意的是，实际控制过程中可以以整体形面误差RMS为控制需求，计算作动器稳态电压，其计算过程与上述类似。

需要注意的是，上述静态形面控制仅考虑了系统初始和终端两个状态，而没有考虑系统的动态响应过程，即不考虑时间因素的影响。然而，如前所述，随着天线尺寸增大、材料变轻，反射器结构柔性效应愈加显著，在变形调节过程中极易产生非期望的附加瞬态动力学响应和残余振动。图4分别给出了阶跃式、斜坡式和正弦式电压加载信号，以及对应加载信号下反射器边缘节点P挠度的时间响应历程。可以看出，在阶跃式电压输入下，结构产生了剧烈的周期性振荡；采用斜坡式、正弦式电压输入后，结构振动幅值一定程度减小，但仍然存在明显瞬态或残余振动。由于在轨环境阻尼小，结构振动难以短时间内得到消除或衰减，不仅难以达到提高形面精度目的，甚至会降低整体反射性能和系统稳定性。因此，对于高精度、大柔性的反射器结构形面控制，必须考虑变形过程的时间因素，即设计动态形面控制律，实现快速、平稳的控制效果。

图3 反射器静态形面变形控制的初态与终态Fig.3 Initial and final states of reflector static surface deformation control

图4 不同电压加载方式的动态响应Fig.4 Dynamic response of different voltage loading mode

3 有限时间的时变LQ控制算法

反射器动态形面控制是一个有限时间控制问题，控制过程不存在基准状态，因此有别于常规的基于无限时间的定常控制律(如LQR)设计。为此，研究中采用有限时间的时变LQ终端控制和跟踪算法设计动态控制律。

3.1 终端控制

时变LQ终端控制可以描述为寻求最优的电压加载轨迹u(t)使得系统在终端时刻tf达到预期状态xf，并极小化如下性能指标

(13)

式中：Q,R为正定加权矩阵;tf为系统到达终态的时间。Q为状态量的加权矩阵，R为控制输入量的加权矩阵，通过调节Q和R能够使系统在动态控制效果与耗能之间进行权衡。可以看出，LQ终端控制问题的性能指标与常规LQR调节问题的主要区别在于目标函数的积分上限为tf，而非无限时间。

为了确保系统能精确地到达终端状态，引入终端条件的误差变量ef=x(tf)-xf，并将其作为惩罚项加入性能指标J式(13)中，可得

(14)

式中，Qf为终端误差的正定加权矩阵，Qf越大，系统在tf时与所期望的终端状态量越接近。

通过采用Riccati矩阵变化的方法，求得反馈-前馈的控制输入如下

u(t)=-Kx(t)x(t)+Kψ(t)ψ=

-Kx(t)x(t)+uf(t)

(15)

式中：uf(t)KΨ(t)Ψ;Kx(t)为反馈矩阵;uf(t)为前馈矩阵，其中

(16)

式中：N为状态量与输入量的均衡加权矩阵;S(t)与Fm(t)为矩阵微分Riccati方程的解

(17)

(18)

3.2 跟踪控制

另一方面，可以通过预设一条平滑的变形轨迹作为参考，使得变形过程跟踪该轨迹，同样可实现快速、平滑的动态形面控制效果。

时变LQ跟踪控制可以描述为寻求最优的电压加载轨迹u(t)使得系统控制输出序列z(t)跟踪预设参考轨迹zr(t)，其性能指标可表示为

(19)

式中,v(t)zr(t)-z(t)为控制过程中的输出误差，zr(t)为预设的输出轨迹。

同样，通过采用Riccati矩阵变化的方法，求得反馈-前馈的控制输入为

u(t)=uf(t)-K(t)x(t)

(20)

式中：K(t)为反馈增益矩阵的时间序列;uf(t)为前馈矩阵的时间序列。

可见，有限时间时变LQ控制问题的关键在于求解微分Riccati方程组，相比定常控制律，设计中的代数Riccati方程求解，其求解难度更大。为此，研究中采用精细积分算法进行求解[23];另一方面，可以看出，有限时间时变LQ终端控制律和跟踪控制律，均由反馈增益和前馈信号组成，且均为时间的函数。因此，相比定常控制律，时变控制律能够实现更快速、稳定的动态控制效果，且几乎没有超调量。

3.3 Kalman滤波器

为构成闭环控制系统，研究中采用Kalman滤波器设计状态观测器。Kalman滤波是一种状态最优估计方法，它从一系列的不完全及包含噪声的测量中，利用所有测量数据对当前时刻动态系统的状态量进行估计。通过反射器内侧的应变传感器测量出系统的动态输出量，利用Kalman滤波得出系统状态量的估计值。滤波公式为

(21)

(22)

式中：B1为系统干扰输入矩阵；P为相应矩阵微分Riccati方程的解。

(23)

综上所述，基于有限时间LQ控制算法的反射器动态形面控制系统构成如图5所示。

图5 控制系统框图Fig.5 Diagram of control system

4 反射器动态形面控制算例

本章算例的控制需求与第2章静态形面控制相同，但要求节点P的挠度能够在tf=1 s内达到预期挠度，并保证动态变形过程平滑、连续。

4.1 终端控制

时变LQ终端控制律设计中的权系数选取为

Q=104I2m,R=10-8In,Qf=108I2m

(24)

式中：I2m为2m阶单位矩阵;In为n阶单位矩阵。

通过终端控制优化得出作动器的电压加载历程如图6所示。通过终端控制优化后的控制效果如图7所示。可以看出在整个控制过程中，节点P的挠度变化平滑稳定，无振荡，同时在tf时刻达到预期的变形状态。相较于图4中简单的电压加载方式，利用有限时间时变LQ终端控制算法可有效消除变形过程的瞬态振动，同时满足控制的时效性。