压电致动柔性结构的迟滞建模与精密控制技术研究*

金爱国 ，郭德强 ，金贵阳

（宁波职业技术学院智能装备研究所，浙江 宁波 315800）

在过去的几十年里，许多人致力于压电致动柔性结构的建模和控制，研究了压电致动柔性结构的各种迟滞模型和控制方法。但是关于压电致动柔性结构的迟滞建模和控制的专门综述类文章很少。Hassani等[1]对智能材料的迟滞建模和控制进行了相关综述，Gu 等[2]专注于压电驱动纳米定位台的建模和控制，但这些研究都没有直接关注压电致动柔性结构的建模和控制。本文以压电致动柔性结构为研究对象，对其非线性迟滞建模与控制进行了综述，并在此基础上，提出了压电致动柔性结构迟滞建模的新类型和控制方法，对不同的迟滞模型和控制方法进行了比较。

1 压电致动柔性结构迟滞特性

压电致动柔性结构基于逆压电效应实现高精度的定位，逆压电效应指的是压电材料在外加电场的作用下会产生相应的变形[3]。此外，在外加电场的作用下，压电致动柔性结构还存在铁电效应和电致伸缩效应，这些特性使其具有了迟滞非线性[4]。迟滞一词最早是由物理学家Alfred 对其进行了定义，迟滞现象是压电材料所受电压与输出位移之间的一种多值映射的非线性现象[5]。

迟滞模型通常可以分为物理迟滞模型和唯象迟滞模型。其中，物理迟滞模型是通过确立位移、能量和应力应变之间的关系来揭示迟滞现象，从而描述迟滞现象的一种模型；而唯象迟滞模型则是采用数学模型来表示迟滞现象。由于压电材料迟滞现象的物理成因较为复杂，难以精准分析，根据物理成因进行建模难度较大，所以唯象迟滞模型得到了广泛的应用，其中包含静态迟滞模型和动态迟滞模型两大类。

2 压电致动柔性结构迟滞建模

2.1 压电致动柔性结构静态迟滞建模

2.1.1 Preisach模型

Preisach 模型是由德国物理学家F. Preisach 提出的，用于描述铁磁化现象中的迟滞特性。后经苏联数学家对其进行物理含义的剥离，推广应用于描述压电材料的迟滞行为。经典的Preisach 模型采用Relay 算子γαβ[v(t)]和密度函数µ(α,β)来描述输入与输出之间的关系。模型表达式如下：

式中，v(t)和y(t)分别表示迟滞模型的输入与输出，α和β为Relay算子的两个阈值且α≥β。

Preisach 模型广泛应用于智能材料的滞回建模，该模型在空载情况下能较好地表征迟滞。但是随着预加载力和执行器输入频率的增加，Preisach 模型的精度将逐渐降低[6]。为了提高Preisach 模型的精度，Mayergoyz 等[7]提出了引入积分函数的广义Preisach模型。通过拟合一阶和二阶过渡曲线，使得模型具有更高的精度。在上述研究的基础上，Ge 等[8]进一步优化了广义Preisach 模型，在主上升回路上定义了一个特殊的滞回值，结果表明其对滞回输出的预测效果较好。

2.1.2 Krasnosel’skii-Pokrovskii(KP)模型

在F. Preisach 提出Preisach 模型后，俄罗斯数学家Krasnosel’skii 将Preisach 模型引入到一个纯形式化的数学形式中，其中的迟滞现象通过迟滞算子的线性组合来建模[9]。其主要区别在于改进了Play 算子kp[v,ξ(ρ)](t)取代了Preisach模型中的传统Relay 算子。改进的Play算子如下所示：

从KP 模型的数学表达式可以发现，该模型与Preisach 模型有很大的相似性，可以看作是一个增强的Preisach 模型。相比于Relay 算子，KP 算子多了一个斜率参数，这使得它在描述复杂的迟滞现象时会更加准确，但仍没摆脱双重积分运算，导致其在求逆时很难得到解析解。为了克服Preisach 模型和KP 模型的缺陷，PI 模型作为Preisach 模型的子集被引入，与Preisach 模型和KP 模型相比，PI 模型具有更简单的数学结构。

2.1.3 Prandtl-Ishlinskii(PI)模型

经典的Prandtl-Ishlinskii(PI)模型是由Preisach 模型演化而来的。主要区别在于Preisach 模型采用的是单积分器，而PI 模型采用的是双积分器。PI 模型的结构具有低复杂度的优点，便于求逆运算，因而广泛应用于在线逆控制器。此外，算子也有所不同，KP模型采用Play 算子，PI 模型采用Stop 算子和Play 算子。Stop算子和Play算子满足如下表达式：

式中，r和v(t)分别表示阈值和输入电压，Sr[v](t)和Pr[v](t)分别表示Stop算子和Play算子的输出值。

由上式可知，Stop 算子和Play 算子是非常相似的，它们只是两种不同的表达方法，在PI 模型中主要采用Play 算子。假设输入电压v(t)在[0,ts]时间域上是单调连续的，同时将其划分为n个子区域，且满足0=t0≤t1≤…≤tn=ts。对于阈值r≥0的Play算子Pr表示为：

式中，y(t)表示算子的输出且满足fr(v,y)=max(v-r,min(v+r,y))。

当密度函数pr为负数时，经典PI 模型难以求得逆模型。为了解决这一问题，Tan 等[10]提出了一种扩展的PI 算子，将滞后映射到具有良好反转特性的区域，然后求逆权值以确定前馈控制器的逆滞后模型。此外，考虑到PI模型参数确定方面的困难，Dong等[11]将广义间隙算子（GBO）作为初等算子引入到模型中，使模型对复杂滞后的建模更加灵活。此外，采用Levenberg-Marquardt算法对模型参数进行估计。

2.1.4 Maxwell模型

Maxwell 模型最初用于描述弹簧系统中力与位移的非线性关系。随后，将其推广到压电致动柔性结构的非线性迟滞行为。在Maxwell 模型中，输出可以看作是多个弹性元件的组合，每个弹性元件由一个无质量滑块和一个无质量线性弹簧组成。该模型的表达式如下：

式中，x为输入位移，F为输出力，k为弹簧刚度，fi和ki为弹性有关参数。滑块摩擦力为f=µN，µ为摩擦系数，xbi为第i个单元滑块的初始位置。

基于Maxwell 模型，Yeh 等[12]提出了一种建模方法，引入了一种基于非线性弹簧元件的Maxwell 模型。为了表示气动人工肌肉致动器的非线性特性，Vo-Minh 等[13]开发了用作集总参数准静态模型的Maxwell-slip 模型。此外，还有一些基于Maxwell 模型的建模方法和补偿控制。与Preisach 模型和PI 模型相比，Maxwell模型的表达式更简单，没有积分器。因为Maxwell 模型是一个率无关的迟滞模型，它不考虑输入频率和速率。

2.2 压电致动柔性结构动态迟滞建模

动态迟滞建模受驱动电压频率影响，随着频率的增加，迟滞非线性现象也会愈发明显。动态迟滞建模方法通常可以分为整体式动态迟滞建模和分离式动态迟滞建模。

2.2.1 整体式动态迟滞建模

整体式动态迟滞建模是将可以表征输入信号速率的参数引入静态迟滞模型中，从而建立可用于描述动态迟滞现象的一种建模方法。Wei 等[14]将迟滞加载曲线的斜率和速率之间的关系简化为线性函数，使Play 算子由率无关变为率相关，得到了动态调整的PI模型。Yang 等[15]通过引入动态包络函数，使算子的阈值和权值在静态的情况下，具有表征动态迟滞现象的能力。整体式动态迟滞模型能较好地表示压电致动柔性结构动态迟滞现象，但是因为引入了导数的概念，使得算子和密度函数表达式更加复杂，提高了参数辨识和补偿控制器设计的难度。

2.2.2 分离式动态迟滞建模

分离式动态迟滞建模将被控对象的动态迟滞现象分为静态迟滞部分和时不变部分，再将两者串联，从而实现对被控对象的动态迟滞建模。相较于整体式动态建模方法，分离式动态建模方法不但能够充分继承静态迟滞建模的优点，而且建模较为简单，深受研究者们的喜爱。王钰锋等[16]将改进的PI 模型作为静态迟滞非线性部分，将外因输入自回归模型作为动态部分，建立了准备描述压电致动柔性结构的动态迟滞模型。

3 压电致动系统控制策略研究

建立了准确的压电致动柔性结构迟滞模型之后，如何精准控制并尽可能地降低迟滞现象显得尤为重要。常见的方法有两种，第一种是把迟滞非线性当作干扰来设计控制器从而进行补偿，第二种则是将迟滞模型求逆后串联在系统前作为前馈补偿器进行补偿。

3.1 无迟滞逆模型的控制方法

无迟滞逆模型的控制方法相对较为简单，不考虑电压迟滞特性，避免了迟滞系统建模难的问题，仅考虑输出信号设计控制器对迟滞系统进行补偿控制。Tan 等[17]在不建立非线性系统模型的基础上，设计了一种非线性PID 控制器，并通过仿真实验证明了控制器的有效性。Xu 等[18]建立了一种离散时间输出积分滑模控制方法，能够对压电电机驱动的直线运动实现精准控制。李朋志等[19]利用TS 模糊规则与PI 控制设计了一种动态模糊前馈+PI 的复合控制方法，并对不同的波形进行了轨迹跟踪实验，验证了所提方法的有效性。

3.2 基于迟滞逆模型的控制方法

基于迟滞逆模型建立的控制器能够在一定程度上对迟滞非线性现象进行补偿，但是由于是开环控制系统，具有抗干扰能力不强、误差受数学模型精度影响大的特点。为了弥补这些不足，学者们陆续提出了复合控制方法，即在前馈控制的基础上增加如PID、神经网络、鲁棒等控制，从而提高系统的跟踪精度。郭咏新等[20]提出了超磁致伸缩致动器的动态迟滞模型，并引入PID 算法实现反馈控制，实验结果表明效果良好。Huang 等[21]采用模型预测控制算法作为反馈控制环节，在模型精度欠佳的情况下依旧具有较好的控制效果。虽然常规的复合控制能够实现对被控对象的轨迹跟踪，但由于其结构相对复杂，使得系统不可避免地会出现滞后现象，这也将影响系统的控制精度。为克服上述不足，又衍生出了迭代学习。相较于传统的控制方法，迭代学习控制具有自学习的能力，能重复运行周期性的控制程序。此外，对于模型的精度要求也不是特别高，这使其在动态模型难以精准建立的场合具有重大的应用价值。目前，此方法广受学者们的喜爱，应用领域广阔，取得了不错的控制效果。

4 结束语

本文对压电致动柔性结构的迟滞建模与精密控制技术的相关研究进行了综述，首先分析了压电材料的迟滞特性，将迟滞模型分为物理迟滞模型和唯象迟滞模型。重点对唯象迟滞模型进行了探讨，其又可以分为静态迟滞模型和动态迟滞模型。静态迟滞建模部分罗列了4 种广泛应用的模型，并对比分析了其各自的优缺点及适用场合。动态迟滞建模分为整体式和分离式两类，其中，分离式动态建模方法不但能够充分继承静态迟滞建模的优点，而且建模较为简单，得到了广泛应用。最后，阐述了无迟滞逆模型和基于迟滞逆模型的控制策略，指出自适应迭代学习综合控制性能较好，广受学者们的喜爱，应用前景广阔。