于平凡处见功底——聚焦统计案例求解

李文斌

(甘肃省庆城县陇东中学)

新高考注重对数学核心素养进行考查,概率与统计能较好地考查数学应用能力和创新意识,是高考的重点和热点.数学建模思想也在考试中成了考查的重点,这类解答题往往题干比较长,条件比较多,文字和表格较复杂,对学生的审题阅读、识图用图、直观想象等都有较高的要求,当然也是容易失分的一个知识点.下面从试题的背景、考查的知识点、试题的形式对统计案例中的几个问题加以剖析.

1 以生产、生活为背景,进行相关性分析

例1为有效防控疫情,于2021年9月开始,多省份相继启动新冠疫苗加强免疫接种工作.某市开展加强免疫接种工作以来,某一周的接种人数(单位:万人)如表1所示.

表1

设天数为x(x＝1,2,3,4,5,6,7),规定星期一为x＝1,余类推.

(1)若y与x(x＝1,2,3,4)具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;

(2)根据(1)中所求的线性回归方程分别计算星期五、星期六的预报值^y,并与当日接种人数的真实值y进行比较.若都满足|^y－y|≤0.1,则可用此线性回归方程预测以后的接种人数.请判断(1)中所求的线性回归方程是否可以预测以后的接种人数? 若可预测,请预测星期日的接种人数a;若不可预测,请说明理由.参考公式:

2 以知识交会处为切入口,增加内容的层次性

例2为迎接2022年北京冬奥会,践行“更快、更高、更强”的奥林匹克格言,落实全民健身国家战略.某校高二年级发起了“发扬奥林匹克精神,锻炼健康体魄”的年度主题活动,经过一段时间后,学生的身体素质明显提高.

(1)为了解活动效果,该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查,调查结果统计如图1所示,根据这个散点图可以认为散点集中在曲线y＝ebx＋a的附近,请根据表2中的数据求出该年级体重超重人数y与月份x之间的回归方程(系数a和b的最终结果精确到0.01),并预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10 人以下?

图1

表2

(2)在某次足球训练课上,球首先由A队员控制,此后足球仅在A,B,C三名队员之间传递,假设每名队员控球时传给其他队员的概率如表3所示.

表3

若传球3次,B队员控球次数的期望值是C队员控球次数的期望值的两倍,求实数m的值.

参考数据:

(2)设随机变量X,Y分别表示B,C队员的控球次数,由题意得X的可能取值为0,1,2.

所以X的分布列如表4所示.

表4

同理,可得Y的分布列如表5所示.

表5

随着对应用意识的重视程度的不断提高,概率统计具有较强的现实背景和较强的实践性.通过对最近五年高考命题趋势分析,在备考统计概率这部分知识时,应以教材为基础,在日常学习中注意梳理基本知识点、基本概念及其简单应用,形成知识结构和脉络,逐渐熟悉统计概率在实际中的应用,增强应用意识,不断提高灵活处理问题的能力.

(完)