应用重力场模型二阶位系数及新近岁差率约束火星内核大小及密度组成*

钟振 文麒麟 梁金福

(贵州师范大学物理与电子科学学院,贵阳 550025)

针对当前InSight 数据无法检测火星固态内核是否存在的问题,提出利用火星平均密度和平均惯性矩因子估算火星固态内核的大小及其密度组成.根据火星高阶重力场模型JGMRO120f 和GMM3-120 以及最新火星岁差率,推导了观测数据下的火星平均密度和平均惯性矩因子;参考火星内部结构的4 层模型以及不同自由参数(壳层密度、幔层密度、外核密度、内核大小和内核密度),求解了火星平均密度和平均惯性矩因子的模型值.利用观测值与模型值最小残差平方和作为约束条件,大批量统计结果表明: 1)两个重力场模型求解的自由参数具有相同的分布特征,自由参数的最优值基本一致;2)火星壳层密度、幔层密度和外核密度接近其他研究结果,表明统计结果有一定的参考价值;3)火星可能存在840 km 左右的固态内核,其密度约为6950 kg⋅m–3.内核密度大小表明火星内核不由纯铁物质组成,该结果与火星核富集轻元素物质的近期研究一致,计算结果具有一定的参考价值.由于反演结果的非唯一性,未来随着InSight 火星星震数据处理技术的提高,有望进一步约束火星内核的大小及其组成.

1 引言

作为岩石质天体的火星,其南半球高地火星壳内存在的剩磁,揭示了火星核早期存在发电机效应[1].通过研究火星核的大小及密度组成,可以探究岩石质行星自吸积形成后的早期分异、行星核发电机效应和行星幔热演化模式等,进而从比较行星学的角度推测岩石质天体的演化历程[2].由于早期缺乏直接观测数据,特别是全球性的火星物理数据,火星核的大小及组成在早期主要由陨石成分间接进行估算[3].通过陨石分析,结合火星物理模型,特别是黏弹性热动力学模型,推测火星存在液态核的可能性较大,火星核的大小在1730—1840 km 之间[4,5].类似地,Bagheri 等[6]利用流体模型仿真火星内部的黏弹性潮汐响应,发现火星核可能为液态,其大小在1750—1890 km 之间.随着越来越多火星探测器的成功发射,利用众多探测器(例如,海盗号(Viking),火星探路者号(Mars Pathfinder),火星全球勘测探测器(Mars global surveyor,MGS),火星奥德赛探测器(Mars Odyssey,ODY)和火星勘测轨道器 (Mars reconnaissance orbiter,MRO))轨道跟踪数据反演火星核的大小及密度组成也成为可能[7,8].Rivoldini等[9]利用火星探测器轨道跟踪估算的平均惯量矩和平均密度,发现火星核为液态的可能性较大,火星核的大小在1794 km 左右.Konopliv 等[10]利用火星探测器多年的轨道跟踪数据,发现火星存在类似地球的钱德勒摆动(Chandler wobble),并利用钱德勒摆动推测火星核的大小约为1790 km.

无论从陨石数据着手的热动力学模型,还是基于火星探测器轨道跟踪数据的力学模型,尽管推测火星液态核的大小在1800 km 左右,但还不能最终确定火星核的大小和状态.随着火星洞察号InSight (the interior exploration using seismic investigations,geodesy,and heat transport)任务的成功实施,Stähler 等[11]利用InSight 任务期间积累的火星星震数据,最终确定液态火星核的大小在1830 km 左右,但还不能确定火星内核的大小.利用平均惯性矩因子,结合火星平均密度,为估算火星内核大小及密度组成提供了一条有效的解决之路,Sohl 等[12]曾利用这种办法估算了火星核的大小及密度分布.随着众多火星探测器轨道跟踪数据的加入,火星平均惯性矩因子的可靠性不断增强,Kahan 等[13]结合以往探测器和InSight 轨道跟踪数据,推算了最新的火星岁差变化率.参考文献[12,14]的方法,可以通过火星岁差变化率推算较新的平均惯性矩因子,结合火星平均密度,可以推测火星内核大小及密度组成,进而为火星内部结构研究提供一定的参考.

2 火星平均密度和平均惯性矩因子

当前,火星主要高阶重力场是JGMRO120d[8]和GMM3-120[7],这两个模型的最大展开阶次均为120 阶次.其中,JGMRO120d 主要依据MRO以及部分MGS 的轨道跟踪数据求解而来,被广泛应用于后续科学研究中[15,16],目前数据更新后的模型为JGMRO120f[17].GMM3-120 除了参考MRO和MGS的轨道跟踪数据外,还参考了ODY 的轨道跟踪数据.在GMM3-120 基础上,结合火星地形数据MarsTopo2600[18],还产生了新的火星重力场模型GMM3-rm1-lambda-100[19].由于GMM3-rm1-lambda-100参考了地形数据,其高阶位系数与模型GMM3-120 存在差异,而低阶位系数没有变化.鉴于上述缘由,本文只对JGMRO120f 和GMM3-120的低阶位系数进行研究分析,这两个模型规格化的低阶系数见表1.根据重力场模型提供的火星常数GM,同时参考引力常数G的最新结果[20],可以得到火星的平均质量M.依据求解的火星总质量M以及火星平均参考半径R,可以求解火星的平均密度ρ¯ .不同重力场模型求解的火星总质量M略有差别,以致估算的平均密度ρ¯ 也略有差别,但不同模型估算值的偏差不超过10–3kg.火星平均密度偏差在10–1kg 内对火星内核估算的影响几乎可以忽略不计[12],考虑2 个重力场模型求解的平均密度在10–3kg 内完全一致,表1 给出了该范围内的火星平均密度.

为了约束火星核的大小及其密度组成,需要估算火星的平均惯性矩I.平均惯性矩I和极轴惯性矩C之间的关系为[12]

其中,M和R分别表示火星总质量和火星平均参考半径,C20表示重力场模型规格化的二阶位系数,如表1 所列.为了方便,这里称I/(MR2) 为平均惯性矩因子,称C/(MR2) 为极轴惯性矩因子.在计算平均惯性矩时,需考虑火星塔尔西斯山群(Tharsis)对平均惯性矩的改正[12,21].考虑Tharsis 改正的火星平均惯性矩C有如下关系[12]:

表1 参数取值Table 1.Values of the parameters used in calculation.

结合(2)式和(4)式,可以求解不同重力场模型的平均惯性矩因子(表1).

3 火星内部圈层结构与控制方程

Stähler 等[11]利用最新的InSight 火星星震数据,最终确定火星液态外核的大小为1830 km,该研究进一步表明火星不存在相当稠密且绝热的下火星幔.Knapmeyer-Endrun 等[23]利用InSight 数据,发现火星壳存在2 层或3 层结构,平均厚度在24—72 km 之间.研究表明利用惯性矩因子和平均密度约束内核结构而言,内核结构对火星壳厚度不敏感[12,24].取文献[15]的火星壳平均厚度50 km作为固定值,整个火星内部圈层结构如图1 所示.

假设图1 模型的平均惯性矩为Imod,则模型平均惯性矩因子为Imod/(MR2) .由图1 可推导出该模型平均密度ρmod和平均惯性矩因子Imod/(MR2)分别为

图1 火星内部圈层结构Fig.1.Sketch of Martian internal structure with various layers.

式中,rm和ρm分别表示火星幔顶部参考半径和火星幔密度,rco和ρco分别表示火星外核顶部参考半径和火星外核密度,rci和ρci分别表示火星内核顶部参考半径和火星内核密度.由(5)式和(6)式可以求解得到不同待估参数的平均密度ρmod和平均惯性矩因子乘数将这两个模型值分别与表1平均密度测量值ρ¯ 及平均惯性矩因子测量值做差,以它们的最小平方和f作为判据,即可以得到待估参数的最优值.该反演问题的目标函数f的表达式为[25]

在本文参数估算中,以目标函数f<0.1 作为最优参数选取的判断条件.如图1 所示,R表示火星平均半径[11,12],取值见表1,火星外核项部半径和火星壳的厚度设为固定值,其余参数为待估值,固定值与待估值范围见表2.为了评估待求参数x对目标函数(7)式的敏感度S,将S定义为[24]

表2 火星内部结构固定参数与待求参数Table 2.Fixed and free parameters of the Martian inner structure.

其中,x表示包括火星内核半径、火星壳密度、火星幔密度、火星外核密度以及火星内核密度的待求参数.相关参数的偏导数可由(5)式和(6)式求出.

4 结果与分析

为了估算火星内核大小及其密度的组成,以(7)式作为最优值的判据,使用粒子群算法[25]对表2 中5 个自由参数进行反演.这5 个自由参数分别为火星内核半径rci,火星壳密度ρs,火星幔密度ρm,火星外核密度ρco,火星内核密度ρci.在计算过程中,选取粒子群种群规模mp=1500 个粒子,每次迭代次数nmax=500 次.由于只有(5)式和(6)式作为约束条件,而自由参数个数高于约束方程的数量,对此类欠定问题而言,反演结果存在非唯一性.为了降低反演结果的不稳定性,使用粒子群估算10000 次,类似大批量的估算结果不但稳定,而且还具有一定的统计意义.表2 待估参数的分布如图2 和图3 所示,图2 表示(6)式平均惯性矩因子参考重力场模型JGMRO120f 的结果(表1),图3表示平均惯性矩因子参考重力场模型GMM3-120的结果.图2(a)和图3(a)显示极大概率下的火星内核密度ρci约为6950 kg⋅m–3,表明火星内核不由纯铁物质组成,应该包含其他轻元素物质.该结果与文献[3,26]的结果较一致,文献[3]认为火星核富集硫元素,文献[26]认为除硫元素外,火星核可能存在一定量的碳和硅等轻元素物质.图2(b)和图3(b)表明火星内核大小在840 km 左右,其大小不到整个火星核体积的10%,这可能是当前InSight数据无法检测出火星固态内核的原因[11].

图2 由重力场模型JGMRO120f 推算的质量、平均惯性矩因子和二阶位系数反演的相关参数Fig.2.Parameters estimated from the calculated Martian mass,mean moment of inertia factor and gravitation coefficient of degree 2 of the gravity field model JGMRO120f.

图3 由重力场模型GMM3-120 推算的质量、平均惯性矩因子和二阶位系数反演的相关参数Fig.3.Parameters estimated from the calculated Martian mass,mean moment of inertia factor and gravitation coefficient of degree 2 of the gravity field model GMM3-120.

图2(c)和图3(c)表明极大概率下的火星幔ρm=3477 kg⋅m–3,该密度的大小在近期研究结果的范围内(3100—3650 kg⋅m–3)[27],接近于矿物学研究结果3550 kg⋅m–3[28].若考虑火星幔氧化铁的低含量特征[29],本文所估算的火星幔密度具有一定的合理性.图2(d)和图3(d)表明极大概率下的火星液态外核密度ρco=6400 kg⋅m–3,大于文献[11]所给范围的最大值6200 kg⋅m–3.Stähler 等[11]在估算火星液态外核密度范围时,没有考虑火星固态内核的情况,若顾及文献[11]不考虑火星固态内核产生的差异,本文反演结果具有一定的参考价值.图2(e)和图3(e)表明极大概率下的火星壳密度ρc=3000 kg⋅m–3,在Wieczorek 等[30]所给出的范围内(2700—3100 kg⋅m–3),接近该范围的平均值2900 kg⋅m–3.文献[31]利用InSight 数据,约束了火星北半球低地和南半球高地的火星壳密度范围(2850—3100 kg⋅m–3).根据图1 模型,可知本文估算的火星壳密度为壳层密度的全球平均值,很显然本研究结果(3000 kg⋅m–3)接近最新火星壳密度范围(2850—3100 kg⋅m–3)的平均值(2950 kg⋅m–3),表明本研究结果具有一定的参考价值.

为了进一步确保估算结果的有效性,有必要分析目标函数f对不同待求参数的敏感度S.通过(5)式和(6)式可以求得平均密度和平均惯性矩因子参数对不同待求参数的偏导数,结合本文估算的待求参数最优值,以及(8)式可以估算出目标函数对不同待求参数的敏感度.根据前文对图2 和图3的分析,取不同待求参数的最优值:ρci=6950 kg⋅m–3,rci=840 km,ρm=3477 kg⋅m–3,ρco=6400 kg⋅m–3和ρc=3000 kg⋅m–3,目标函数f对不同待求参数的敏感度见表3.表3 表明两个高阶重力场模型下,目标函数f对同一待求参数的敏感度几乎一致,这与两个重力场模型平均惯性矩因子的差异较小有关(平均惯性矩因子见表1).目标函数f对火星幔ρm的敏感度最大,对火星外核密度ρco的敏感度次之,对火星壳密度ρc和火星内核密度ρci的敏感度类似,而对火星内核大小rci的敏感度较小.参考表3 目标函数f对火星内核大小的敏感度(约为–2.65)以及(8)式敏感度的定义,可知火星内核大小变化1%时,会导致目标函数减小2.65%,火星内核大小的变化对目标函数的影响将不能忽略.因此,本文估算的火星内核大小仍然具有一定的参考价值.

表3 目标函数f 对不同待求参数的敏感度STable 3.Sensitivity of various parameters S to the objective function f.

5 结论

利用火星120 阶次高阶重力场模型JGMRO120f和GMM3-120 的二阶位系数,结合InSight 数据求解的火星最新岁差率,基于火星5 层内部结构模型以及火星平均密度和平均惯性矩因子,应用非线性粒子群算法对火星核的大小和组成进行了估算.统计结果表明: 1)尽管重力场模型JGMRO120f和GMM3-120 求解的平均惯性矩因子存在一定差别,但依据两个模型推导的平均惯性矩因子,结合火星平均密度反演的待估参数具有类似的分布特征,大概率情况下自由参数的最优值基本一致;2)火星壳密度ρc的全球平均值约为3000 kg⋅m–3,接近InSight数据求解的平均值2950 kg⋅m–3;3)火星幔密度ρm的极大概率分布值约为3477 kg⋅m–3,约小于矿物学研究结果3550 kg⋅m–3;4)以InSight数据估算的火星外核大小(rco=1840 km)作为约束条件,最优反演的火星外核密度ρco约为6400 kg⋅m–3,约大于近期不考虑固态内核的估算值6200 kg⋅m–3;5)火星可能存在840 km 的固态内核,最优估算的内核密度ρci约为6950 kg⋅m–3,表明火星内核不由纯铁物质组成,该结果与火星核富集轻元素物质的近期研究一致.综合考虑最优估算的火星壳密度、火星幔密度和火星外核密度,研究得出的火星内核大小及其密度组成具有一定的参考价值.鉴于约束方程较少以及反演结果的非唯一性,未来随着InSight 火星星震数据处理技术的提高,有望进一步约束火星内核的大小及其组成.