万飞
本章是在小学数学“图形与几何”知识基础上的进一步探究,是初中几何学习的入门知识。下面,我们以几个常见问题为载体,借助数学思想方法的渗透,帮助同学们更好地攻克本章的几个难点。
问题一:与线段中点有关的分类讨论
例1 在一条直线上有A、B、C三个点,M为AB的中点,N为BC的中点,若AB=a,BC=b,试用a、b的代数式表示MN的长度。
【解析】因为题目没有给出图形,画出线段AB后,点C的位置不明确,所以要分点C在线段AB上、点C在线段AB的延长线上、点C在线段BA的延长线上这三种情况进行讨论。
解:①如图1,点C在线段AB上,MN=MB-NB=½(a-b)。
②如图2,点C在AB的延长线上,MN=MB+NB=½(a+b)。
③如图3,点C在BA的延长线上,MN=NB-MB=½(b-a)。
综上:MN的长度为½(a-b)或½(a+b)或½(b-a)。
问题二:角度计算中的分类讨论
例2 已知∠AOB=60°,∠AOB=3∠AOC,射线OD平分∠BOC,求∠COD的度数。
【解析】本题同样没有给出图形,因此不知道OC在∠AOB内还是∠AOB外,所以需要分类讨论。
解:①如图4,OC在∠AOB内,此时,∠BOC=∠AOB-∠AOC=60°-20°=40°,所以∠COD=½∠BOC=20°。
②如图5,OC在∠AOB外,此时,∠BOC=∠AOB+∠AOC=60°+20°=80°,所以∠COD=½∠BOC=40°。
综上:∠COD的度数为20°或40°。
在没有给出图形的题目中,一般会有多种情况,需要分类讨论。上面两题可放在一起用类比的思想进行研究,难点在于怎样准确地画出所有图形。
问题三:互余、互补概念辨析
例3 下列说法中,哪些是正确的?请说明理由。
(1)互余且相等的兩个角各是45°;
(2)一个角的余角一定小于这个角的补角;
(3)如果∠1+∠2=∠3,那么∠1的余角与∠2的余角的和等于∠3的余角;
(4)如果∠1+∠2=∠3,那么∠1的余角与∠2的余角的和等于∠3的补角。
【解析】(1)45°+45°=90°,正确;
(2)设这个角为α,则它的余角为90°-α,补角为180°-α,补角比余角大90°,正确;
(3)∠1的余角为90°-∠1,∠2的余角为90°-∠2,∠1的余角与∠2的余角之和为180°-∠1-∠2=180°-(∠1+∠2)=180°-∠3,错误;
(4)由(3)的解析可知结论正确。
综上:(1)(2)(4)正确。
互为余角、互为补角是指两个角之间的数量关系,不涉及位置关系,所以只要借助数量关系判断即可。紧扣定义还可以知道,1个角或超过2个角不存在互余或互补关系。
问题四:时针、分针的夹角
例4 时钟在9点20分时,时针和分针的夹角为_______°。
【解析】借助钟的表面我们可以知道,分针每分钟转6°,时针每分钟转0.5°。9点时,时针与分针的夹角为90°。20分钟后,分针从数字12开始转了120°,时针从数字9开始转了10°。此题可借助图形,利用数形结合的数学思想进行研究。
解:9点时,时针和分针的夹角为90°,到9点20分时,分针转了20×6°=120°,时针转了20×0.5°=10°,此时它们的夹角为:360°-120°-90°+10°=160°。
华罗庚曾经说过:“数缺形时少直观,形少数时难入微;数形结合百般好,隔离分家万事休。”所以,在解决几何问题时,我们一定要多思考、多画图,借助数形结合或分类讨论等思想方法,做到不漏解、不多解。
(作者单位:江苏省无锡市高新区金桥外国语学校)