分类讨论思想在初中数学解题教学中的渗透

袁健风

(江苏省南通市海门区德胜初级中学,江苏 南通 226100)

在传统的初中数学解题教学中,许多教师的教育思想滞后,没有掌握有效的教学指导方法,只是针对习题的本身进行讲解,没有让学生了解问题解决中涉及的数学思想与方法,从而导致学生虽然在教师的讲解中解决了当下面对的问题,却在后续遇到同类问题的时候无从下手.在数学解题教学中渗透分类讨论思想,目的在于达到“授之以渔”的教学效果,侧重于在解题教学中引领学生掌握数学思想方法和数学问题解答的窍门.解题教学一直以来都是初中数学教学工作中的重点与难点,学生的解题水平一方面反映了其对数学知识的理解与吸收情况,另一方面也体现出学生的数学知识应用能力.将分类讨论思想渗透于解题教学中,可以有效引导学生找到解题思路,降低解题的难度,促进学生解题能力的发展.

1 分类讨论思想概述

1.1 分类讨论思想的内涵

数学思想的形成是学生掌握数学方法的核心所在,可以促使学生在数学问题的解决中运用数学方法高效且正确地解决问题,因为数学思想与数学方法密不可分且相互影响,因此人们常常将其合称为数学思想方法,常见的数学思想方法有分类讨论思想、数形结合思想、化归与转化思想以及函数与方程思想等[1].

在“新课改”的背景下,广大一线教师加强了对分类讨论思想的重视程度,在对分类讨论思想的研究中提出了一些见解.比如,顾泠沅教授认为分类讨论思想中的“分类”是指划分,在划分中需要学生按照数学对象的共性与差异性,将数学对象划分成若干类别的操作过程,在遇到不能统一的问题时,将问题分成若干种情况,然后分别解决,最终完整地解决问题;吕美英教授认为分类讨论是指在面对需要解决的问题时,学生按照一定的特点或要求,将原问题分成几个问题,再按照不同情形进行分析问题,逐个加以解决的数学思维.

由此可见,分类讨论思想既是一种数学思想,又是解决问题的有效方法,其核心是根据数学对象的本质属性特征,按照一定的标准,将复杂的问题分拆、逐个击破并解决的过程,起到化繁为简的作用.

1.2 分类讨论的基本步骤

1.2.1确定分类对象

在分类讨论之前,需要学生解决“对什么分类”的问题,确定分类对象有助于学生找出分类的原因,并在解题中把握问题的本质.学生在这个过程中,找准哪一个对象是不确定导致分类结果的多样性,认识到只有找准分类的对象,才能为分类讨论指明方向.

1.2.2选择分类标准

“按照什么标准分类”也是分类讨论的一个至关重要的因素.在确定分类对象后,需要按照科学合理的标准进行分类,无论是教师还是学生都应该遵循同一性、完整性、互斥性的原则,能够在解题前罗列出分类对象的所有可能情况.

1.2.3逐类讨论获得初步结果

在这个环节中,需要将分类对象的所有情况罗列出来,按照一定的层次,对每一种情况做出清晰的讨论,应用所需的知识与相关的定理、公式,解出每一类的结果.

1.2.4归纳整合写出结论

在得出了初步的结果后,还需要对每一种情况的结果做出归纳与总结,整理出解决问题的最终结果,避免最终结果出现错误.一般来说,学生可以采取并集整合、交集整合与并列整合三种方式,对各类结果进行分析,得出最终的结论.

2 分类讨论思想在初中数学解题教学中的渗透路径

2.1 激发分类讨论的兴趣

正所谓“学起于思”,分类讨论思想的形成需要以学生具备浓厚的学习兴趣为前提,通过教师的指导引领学生树立分类讨论的意识,打开其求知的天窗,让学生在数学问题的解答中主动地从分类讨论的视角出发,对问题进行积极思考.数学问题的解答必然需要学生运用到数学概念、运算法则等知识,掌握基础知识对于提升学生的解题能力有着重要的作用.概念、定理、运算法则等知识本身就是分类定义的,那么在数学解题教学中,教师可以提供问题情境创设的方式,引发学生对问题的思考,引领学生从特定的情境中对不确定的情况产生疑问,激发其分类讨论的兴趣,形成分类讨论意识,为分类讨论思想的形成奠定基础.

比如,在七年级的《有理数》单元中,学生通过第一课的学习了解了“正数”与“负数”,在此基础上进一步延伸出了“有理数”和“无理数”,这是本单元的第二课内容,扩大了“数”的范围.从这两节课的学习中,学生认识到正数与负数的性质,表示运算的符号“+”“-”,“-”还能表示相反数的意义.因此,数的范围扩大,学生在数的计算上难度有所增加,在问题解答中不仅要考虑到运算符号的使用,还需要考虑绝对值的问题,这就需要教师在问题解答中引领学生对多种情况做出分析.比如,教师给学生布置了这样一个习题:“小明从家出发,沿着东西方向的路走了5米,后返回3米,若是以小明家为原点,以东为正方向,画一条数轴,表示出小明的位置,请说明小明家在什么方向,距离家几米?”以问题的提出引发学生的思考,促使其结合生活经验分析运动方向的多种可能性,再结合学习过的数轴知识,完成直观的数轴绘制任务并列出算式.以此引导学生意识到在数学问题解答中遇到问题不确定的情况时,就需要使用分类讨论的方法,进而为学生的分类讨论思想的形成打造一个良好的开端.

2.2 在分类讨论中理解题意

大部分初中生在数学问题解答中存在题意不明的情况,因此,无法理清题干中的关键信息,不能使用具体的标准进行数学问题类型的划分,是阻碍学生顺利解答数学问题的不利因素.对此,教师应在解题教学中,引领学生根据统一的分类标准对习题中的不同情况做出具体细致的讨论,进而提高学生的题意理解能力以及分析归纳能力.

比如,在“一元二次方程的解法”教学中,教师给学生布置了这样一道习题:“已知等腰三角形的底边长9,腰长为方程x2-10x+24=0的一个根,求此三角形的周长”.在问题的解答前,教师应先引导学生从题干中确定条件,并提供统一的分类标准,让学生可以在思考中认识到一元二次方程有两个实数根,因此,在题干中并未指明哪一个方程的根才是等腰三角形的腰长,这就需要学生考虑到两个根都有可能,想要确定就需要继续讨论.又想到在以往的三角形知识学习中,有三角形的任意两边之和大于第三边,将方程的根带到后续的推理讨论中,由此确定分类讨论的标准是必须满足二倍的情况下大于9,才能认定为等腰三角形的腰长,以此帮助学生理清题意,找到问题解决的有效途径.

2.3 运用分类讨论思想求解

让学生学会使用分类讨论思想求解,是解题教学中的关键环节.在初中数学教学中,方程是学生最难以掌握的知识点之一,学生普遍认为解方程具有一定的难度.而在方程题的解答中使用分类讨论思想,可以将复杂的问题简单化,帮助学生轻松地攻克解方程的难关,如解方程或解方程组问题、求解含参方程中的参数值问题以及用方程解决实际问题等.

学生在解方程组的习题中,经常会因为字母系数及绝对值而产生不同的答案,因此在此类习题的解答中,需要学生对其中存在的不确定因素展开分类讨论.在含有参数的方程问题解答中,往往因为一个参数的变化而引起参数方程性质的变化,面对此类问题就需要学生对参数展开分类讨论.如教师给学生出示了这样一个习题:“已知关于x的方程zx2-(z+2)x+2=0只有一个解,那么z等于多少?”在此题的解答中,学生要认识到只有对参数z值的不同展开分类讨论,才能够顺利地解答习题.因为,当z的值发生变化时,很可能会影响方程形式发生变化,促使学生理解参数z对于方程产生的影响.对二次项系数含有参数的情况未作出说明时,也要讨论参数.当z=0时,方程zx2-(z+2)x+2=0转化为-2x+2=0,x=1;当z≠0时,zx2-(z+2)x+2=0转化[-(z+2)]2-8z=0,经过计算z=2,由此得出z=0或z=2.学生在方程题的解答中使用分类讨论思想,可以在很大程度上降低方程题的解答难度,进而快速地找到答案.

2.4 养成主动分类讨论的习惯

在数学学习中会涉及大量的平面几何知识以及代数知识,教师不仅要关注学生代数与几何知识点的掌握情况,还要注意帮助学生纠正问题解答中容易忽视或常见的错误点,渗透分类讨论思想打破学生的固化思维,促使学生养成主动分类的习惯.在以往的初中数学解题教学中,我们会发现许多学生看似掌握了分类讨论思想,但是在问题解答中却不能主动地应用,若是教师在旁提醒学生“需要使用分类讨论的方法”,学生就会出现茅塞顿开的现象,从中可以看出,学生并不是没有掌握分类讨论的方法,只是没有养成分类讨论的习惯.面对这种情况,教师要予以指导,让学生在多次的锻炼中形成分类讨论的意识,还要在面对数学问题时,自觉进行分类讨论.

比如,在平面几何教学中,教师出示习题:“从三角形ABC的顶点A,向它所对的边BC所在的直线画垂线,垂足为D,所得线段AD叫作BC的高,请学生画出BC边上的高AD的位置可能在哪里?”这个习题属于平面几何范畴,教师应引导学生基于平面几何对“三角形的高”形成多样化的认知,促使学生在问题解答中发散思维,利用图形多样化的性质探索问题的答案,提升思维的多样化与灵活性.在此题的讲解之后,还要继续给学生出示几个类似的平面几何问题,让学生经历从特殊到一般的推理过程,做到能熟练地使用分类讨论方法解答问题,在潜移默化中锻炼学生的空间想象能力与问题解答能力,形成良好的学习习惯.

综上所述,分类讨论思想在初中数学解题教学中有重要的应用价值,教师应深入地研究分类讨论思想,帮助学生掌握分类讨论思想的内涵及其基本步骤.教师还应结合解题教学的目标以及初中生的数学学习需求,巧妙地融入分类讨论思想,增强学生的分类讨论意识,引导学生学会使用分类讨论的方法解决问题.以此,形成良好的解题习惯,拓展数学解题思维,提升学生的数学解题能力,满足其多元化发展需求,为初中阶段的数学学习打下基础.