非交换剩余格上的直觉模糊滤子

左卫兵，宋金繁

（华北水利水电大学数学与统计学院，河南 郑州 450046）

为了给不确定性信息处理理论提供可靠、 合理的逻辑基础，许多学者研究了各种非经典逻辑系统。各种逻辑代数作为非经典逻辑系统的语义系统， 也受到了广泛关注，这些逻辑代数包括剩余格、MTL 代数、BL 代数、MV 代数和R0代数等，也包括诸如非交换剩余格、伪MTL 代数、伪BL 代数、伪MV 代数等它们的非交换推广形式［1-5］。 在逻辑代数中，剩余格和非交换剩余格是最基本和重要的代数结构， 其他逻辑代数均是它们的特殊情况。

滤子理论在逻辑代数中起着非常重要的作用。 目前，人们已将诸如蕴涵滤子、奇异滤子、正则滤子和固执滤子等一些特殊滤子引入非交换剩余格和其他逻辑代数，并获得了许多重要的结果［6-12］。

K. T. Atanassov［13］给出直觉模糊集以后，直觉模糊集理论得到了迅速发展。 S. Boudaoud 等［14］研究了格上的直觉模糊滤子及其等价刻画， 给出了主直觉模糊滤子。 M. A. Kologani 等［15］给出了Hoop 代数上的直觉模糊滤子，证明了所有直觉模糊滤子能构成有界分配格。Z. A. Xue 等［16］将直觉模糊集引入BL 代数，研究了直觉模糊滤子的性质。 S. Ghorbani［17］将直觉模糊集的概念应用于剩余格，引入剩余格的直觉模糊滤子，并研究了它的一些相关性质。 H.R. Zhang 等［18］在剩余格中定义了与文献［17］不同的直觉模糊滤子，研究了剩余格上几种直觉模糊滤子之间的关系。

在文献［17-18］的基础上，我们在非交换剩余格上定义了直觉模糊滤子， 给出了它们的基本性质及几种等价刻画， 找到了由直觉模糊集生成直觉模糊滤子的方法， 证明了非交换剩余格上由全体直觉模糊滤子能构成有界完备分配格。

1 预备知识

定义1［4］：设(L, ∧, ∨, ⊗ ,→,0,1)是一个2,2,0,0)-型代数， 称L 为非交换剩余格要求L 满足以下条件：（1）(L, ∧, ∨,0,1)是一个有界格；（2）(L, ⊗,1)是非交换幺半群；（3）对于任意的x∈L,y∈L,z∈L,且x⊗y≤z,有x≤y→z⇔y≤。

注1：在本文中，设定L为非交换剩余格。

性质1［5］：设L是一个非交换剩余格，对于任意的x∈L,y∈L,z∈L,有以下性质成立：

1.x≤y⇔x→y= 1⇔xy=1;

2.(x→y)⊗x≤y,x⊗(xy)≤y;

3.若x≤y,则有x⊗z≤y⊗z,z⊗x≤z⊗y;

4.x→y≤ (y→z)(x→z),xy≤(yz)→ (xz);

5.z→ (x∧y) = (z→x) ∧ (z→y),z(x∧y)=(zx) ∧(zy);

6.x→(y→z) = (x⊗y)→z,x(yz)=(y⊗x)z。

定义2［5］：设F是L的一个非空子集，称F为滤子要求F满足以下条件：

（1）若x∈L,y∈L,x≤y,且x∈F,则有y∈F;

（2）如果x∈F,y∈F,则有x⊗y∈F。

定理1［5］：设F是L上的非空子集，则以下结论等价：

1.F是滤子；

2. 1∈F,对于任意的x∈L,y∈L,若x,x→y∈F,则有y∈F;

3. 1∈F,对于任意的x∈L,y∈L,若x,xy∈F,则有y∈F。

定义3［11］：µ:X→[0,1]是L上的模糊集，对于任意的x∈L,y∈L,称µ为L的模糊滤子要求µ满足以下条件：

（1）若x≤y,则有µ(x)≤µ(y);

（2）µ(x)∧µ(y)≤µ(x⊗y)。

定理2［12］：若µ是L上的模糊集，则以下结论等价：

1.µ是模糊滤子；

2. 对于任意的x∈L,y∈L,有µ(x)≤µ(1),µ(x)∧µ(x→y)≤µ(y);

3. 对于任意的x∈L,y∈L,有µ(x)≤µ(1),µ(x)∧µ(xy)≤µ(y)。

定义4［11］：设X是一个非空集合，µ是非空集合X上的模糊集，对于任意的t∈[0,1]，定义µ的水平截集为(µ)t= {x∈L:µ(x) ≥t} 。

定理3［11］：L上的模糊集µ为模糊滤子的充要条件是对于任意的t∈[0,1],µ的水平截集(µ)t={x∈L:µ(x) ≥t}是L的滤子。

2 非交换剩余格上的直觉模糊滤子

定义5［13］：设X是非空集合，对于任意的x∈X,若映射A=(µA,νA):X→[0,1] ×[0,1]满足0≤µ(x)+ν(x) ≤1,则称映射A=(µ A,νA)是X上的一个直觉模糊集，其中映射µA:X→[0,1]和νA:X→[0,1]分别为x属于A的隶属度(µA(x))与非隶属度(νA(x))。直觉模糊空集记为0∼=(0x,1x),直觉模糊全集记为1∼=(1x, 0x)，其中 0x和 1x分别表示常值为0 和1 的模糊子集。

定义6［13］：设X是非空集合，A=(µA,νA)和B=(µ B,νB)是L上的直觉模糊集。 对于任意的x∈X,y∈X,定义如下运算：

（1）A⊆B⇔µA(x)≤µB(x),νA(x)≥νB(x);

（2）A∩B=(µA∩B(x),νA∩B(x)) =(µA(x)∧µB(x),νA(x)∨νB(x));

（3）A∪B=(µA∪B(x),νA∪B(x)) =(µA(x)∨µB(x),νA(x)∧νB(x));

定义7：设A=(µ A,νA)是L上的直觉模糊集，若对于任意的t1∈[0,1],t2∈[0,1],且t1+t2≤1,(µA)t1和要么为空集，要么为L的滤子，则称A是直觉模糊滤子，其中= 1−νA。

定义8： 设A=(µA,νA)是非交换剩余格L上的直觉模糊集，若A对于任意的x∈L,y∈L,有（1）µA(x)≤µA(1),νA(x)≥νA(1),（2）µA(y)≥µA(x)∧µA(x→y),νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y),（3）µA(y)≥µA(x)∧µA(xy),νA(y)≤νA(x)∨νA(xy),则称A=(µA,νA)是L上的直觉模糊滤子。

定理4：定义7 与定义8 是等价的。

证明：证明由定义8 推出定义7。假设A是直觉模糊滤子，对于任意t1∈[0,1],t2∈[0,1],且t1+t2≤1,(µA)t1和要么为空集， 要么为L的滤子，则对于任意的x∈L,有x∈µAµ(x)和x∈,即µAµ(x)和是L的滤子。 由于1( )(),则有µA(x)≤µA(1),≤(1),即νA(x)≥νA(1)。

对于任意的x∈L,y∈L,设η=µA(x)∧µA(x→y),则有x,x→y∈(µA)η，故有y∈(µA)η,即µA(y)≥η=µA(x)∧µA(x→y)。同理可得µA(y)≥µA(x)∧µA(xy)。

设γ=(x)∧(xy),则有x,xy∈()γ,故有y∈,因而(y)≥γ=(x)∧(xy),即νA(y)≤νA(x)∨νA(xy)。同理可得νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y)。

证明由定义7 推出定义8。 假设对于任意t1∈[0,1],t2∈[0,1],t1+t2≤1,(µA)t1和不是空集，则存在x∈L,使得x∈(µA)t1和x∈。由t1≤µA(x)≤µA(1)和1−t2≤(x)≤(1)可得，1∈和1∈。假设x,x→y∈(µA)t1和x,x→y∈,则有µA(x)≥t1,µA(x→y)≥t1,和(x)≥ 1−t2,(x→y)≥ 1−t2。因此有µA(y)≥µA(x)∧µA(x→y)≥t1,νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y)≤t2,即(y)≥(x)∧(x→y) ≥ 1−t2。设x,xy∈(µA)t1和x,xy∈,则有µA(y)≥µA(x)∧µA(xy)≥t1,(y)≥(x)∧(xy) ≥ 1−t2。因此，有y∈(µA)t1和y∈,故(µA)t1和是L 的滤子。

例1：设L1={0,a,b,c,1}是一个格，其中0≤a≤b≤c≤1。分别定义二元算子⊗、→和如下：

由文献［10］可知L1是一个非交换剩余格。设A=(µA,νA)是L 上的直觉模糊集，其中µA(0) =0.1,µA(a)=µA(b) =0.2,µA(c) =0.4,µA(1) =0.85,νA(0)=0.8,νA(a)=νA(b) =0.7,νA(c) =0.45,νA(1) =0.1,可以验证，A 是L1上的直觉模糊滤子。

定理5：若直觉模糊集A=(µA,νA)是L 上的直觉模糊滤子，则对于任意的x∈L,y∈L,有以下结论成立：

1.若x≤y,则有µA(x)≤µA(y),νA(x)≥νA(y)。

2.µA(x∧y)=µA(x)∧µA(y),νA(x∧y)=νA(x)∨νA(y)。

证明：证明第一个结论。 因为x≤y,所以有xy=1。由定义8 可得µA(y)≥µA(x)∧µA(xy)=µA(x)∧µA(1)=µA(x),νA(y)≤νA(x)∨νA(xy)=νA(x)∨νA(1)=νA(x)。类似地，由x→y=1可推得µA(x)≤µA(y),νA(x)≥νA(y)。

证明第二个结论。 一方面，由x∧y≤x,x∧y≤y及第一个结论可得µA(x∧y)≤µA(x)∧µA(y),νA(x∧y)≥νA(x)∨νA(y)。另一方面，有µA(x∧y)≥µA(x→ (x∧y))∧µA(x)=µA((x→x)∧ (x→y))∧µA(x)=µA(x→y)∧µA(x)≥(µA(y(x→y))∧µA(y))∧µA(x)=µA(x)∧µA(y),又有νA(x∧y)≤νA(x→(x∧y))∨νA(x)=νA(x→y)∨νA(x)≤(νA(y(x→y))∨νA(y))∨νA(x)=νA(x)∨νA(y)。

综合上述，有µA(x∧y)=µA(x)∧µA(y),νA(x∧y)=νA(x)∨νA(y)。

定理6： 直觉模糊集A=(µA,νA)为L 上直觉模糊滤子的充要条件是模糊集µA和为L 上的模糊滤子，其中= 1−νA。

证明：证明必要性。 因为A 是直觉模糊滤子，所以有µA(x)≤µA(1),µA(y)≥µA(x)∧µA(x→y),?(y)≥µA(x)∧µA(xy)。由定理2可知，模糊集是模糊滤子。对于任意的x∈L,y∈L,有(1)=1−νA(1) ≥ 1−νA(x)=(x),即(1)≥(x)。由于(y) = 1−νA(y) ≥ 1 −(νA(x)∨νA(x→y)) = (1−νA(x))∧ (1−νA(x→y))=(x)∧(x→y),则有(y)≥(x)∧(x→y)。同理可得(y)≥(x)∧(xy)。由以上证明过程可知，模糊集是模糊滤子。

证明充分性。 设µA和是L 上的模糊滤子，则对于任意的x∈L,有µA(x)≤µA(1)。由(x)≤(1)可得1−νA(x) ≤ 1−νA(1),即νA(x)≥νA(1)。

因为对于任意的x∈L,y∈L,有µA(y)≥µA(x)∧µA(x→y),µA(y)≥µA(x)∧µA(xy),(y)≥(x)∧(x→y),所以有1−νA(y) ≥ (1−νA(x))∧(1−νA(x→y)) = 1−(νA(x)∨νA(x→y)),即νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y)。用类似的方法，由(y)≥(x)∧(xy)可推出νA(y)≤νA(x)∨νA(xy)。因此由定义8 可知A 是L 上的直觉模糊滤子。

定理7：设A=(µA,νA)是L 上的直觉模糊集，A 为直觉模糊滤子的充分必要条件是A1=(µ A,)和为直觉模糊滤子，其中= 1−νA。

证明：证明必要性。 设A 是直觉模糊滤子，对于任意的x∈X,有0≤µA(x)+νA(x) ≤1。因为µ A+=1,+νA=1,所以A1和A2是直觉模糊集。 由于µA(x)≤µA(1),故有即

由于对于任意的x∈L,y∈L,有µA(y)≥µA(x)∧µA(x→y),故有(y) ≤ 1 −(µA(x)∧µA(x→y))=(1−µA(x)) ∨ (1−µA(x→y))=(x)∨(x→y)。同理，由µA(y)≥µA(x)∧µA(xy)可以推出(y)≤因此由定义8 可知是L上的直觉模糊滤子。 用同样的方法可以证明A2=是L上的直觉模糊滤子。

证明充分性。 设A1和A2是L上的直觉模糊滤子，则由A1可知，对于任意的x∈L,y∈L,有(1)≥µxµy≥µx∧µx→yµy≥µ(x)∧µA(xy)。由A2可知，对于任意的x∈L,y∈L,有νA(1)≤νA(x),νA(y)≤νA(x)∨νA(x→y),νA(y)≤νA(x)∨νA(xy)。因此，由定义8 可知直觉模糊集A=(µA,νA)是L上的直觉模糊滤子。

定理8：设F是L的非空子集，A=(µ A,νA)是L上的直觉模糊集，µA(x)和νA(x)分别为

其中，mi∈[0,1],ni∈[0,1],m0>m1,n1>n0,且有mi+ni≤ 1(i=0,1),则A为直觉模糊滤子的充分必要条件是F为滤子。

证明：因为A=(µA,νA)是直觉模糊集，所以有

其中：t1∈[0,1],t2∈[0,1],t1+t2≤1;mi∈[0,1],ni∈[0,1],且有m0>m1,n0

推论1： 设F是L的非空子集， 则F为滤子的充分条件是(χ χc)为L上的直觉模糊滤子。特别地，(χ{1},1−χ{1})是L上的直觉模糊滤子。

定理9： 设A=(µA,νA)是L上的一个直觉模糊集，则A为一个直觉模糊滤子的充分必要条件是对于任意的x∈L,y∈L,z∈L,且当x≤y→z或x≤yz时，有µA(z)≥µA(x)∧µA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。

证明：证明必要性。 设A是直觉模糊滤子，由定义8 可得µA(y→z)≥µA(x)∧µA(x(y→z)) ,νA(y→z)≤νA(x)∨νA(x(y→z))。对于任意的x∈L,y∈L,z∈L,x≤y→z,有x(y→z) =1,则有µA(y→z)≥µA(x)∧µA(1)=µA(x),νA(y→z)≤νA(x)∨νA(1)=νA(x),则µA(z)≥µA(y)∧µA(y→z)≥µA(y)∧µA(x),νA(z)≤νA(y)∨νA(yz)≤νA(y)∨νA(x),即µA(z)≥µA(x)∧µA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。同理，由x≤yz可得µA(z)≥µA(x)∧µA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。

证明充分性。 由于对于任意的x∈L，有x≤x→1和x≤x1,因而有µA(1)≥µA(x)∧µA(x)=µA(x),νA(1)≤νA(x)∨νA(x)=νA(x)。又由于对于任意的x∈L,y∈L,有x→y≤x→y,xy≤xy,因而有µA(y)≥µA(x→y)∧µA(x),νA(y)≤νA(x→y)∨νA(x)和µA(y)≥µA(xy)∧µA(x),νA(y)≤νA(xy)∨νA(x)成立。 综合以上证明过程，由定义8 可知A为L上的直觉模糊滤子。

推论2： 设A=(µA,νA)是L上的一个直觉模糊集，则A为直觉模糊滤子的充分必要条件是对于任意的x∈L,y∈L,z∈L,若x⊗y≤z或y⊗x≤z,则有µA(z)≥µA(x)∧µA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。

证明：对于任意的x∈L,y∈L,z∈L,若x⊗y≤z或y⊗x≤z，则由性质1 和定理9 即可得结论。

定理10：若A=(µA,νA)是L上的直觉模糊滤子，则有以下结论：

证明：由x→y≤ (y→z)(x→z),xy≤(yz) →(xz)可得(x→y)((y→z)(x→z))=1和(xy)→((yz) →(xz)) =1,再由定理9 即可得结论。

定理11： 设A=(µ A,νA)是L上的直觉模糊集，A为直觉模糊滤子的充分必要条件是对于任意的x∈L,y∈L,有以下条件成立:（1）若x≤y,则有µA(x)≤µA(y),νA(x)≥νA(y);（2）µA(x⊗y)≥µA(x)∧µA(y);（3）νA(x⊗y)≤νA(x)∨νA(y)。

证明：证明必要性。 假设A是直觉模糊滤子，则由定义8 可知，对于任意的x∈L,y∈L,当x≤y时，有µA(x)≤µA(y),νA(x)≥νA(y)。由于x⊗y≤x⊗y,故由推论2 可得µA(x⊗y)≥µA(x)∧µA(y),νA(x⊗y)≤νA(x)∨νA(y)。

证明充分性。 由x≤1可得µA(x)≤µA(1),νA(x)≥νA(1)。由 (x→y)⊗x≤y和x⊗(xy)≤y可得µA(y)≥µA((x→y)⊗x)≥µA(x)∧µA(x→y),µA(y)≥µA(x⊗(xy))≥µA(x)∧µA(xy)与νA(y)≤νA((x→y)⊗x)≤νA(x)∨νA(x→y),νA(y)≤νA(x⊗(xy))≤νA(x)∨νA(xy)成立。 由定义8可知，A是L上的直觉模糊滤子。

推论3：设A=(µA,νA)是L上的直觉模糊集，若A是直觉模糊滤子，则有µA(x⊗y)=µA(x)∧µA(y),νA(x⊗y)=νA(x)∨νA(y)。

证明：由定理11 与由定理5 即可得结论。

定理12： 若A=(µA,νA)和B=(µB,νB)是L上的直觉模糊滤子，A∩B也是L上的直觉模糊滤子。

证明：由于A和B都是直觉模糊滤子，若对于任意的x∈L,y∈L,z∈L,有x≤yz或x≤y→z,因而有µA(z)≥µA(x)∧µA(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)和µB(z)≥µB(x)∧µB(y),νA(z)≤νA(x)∨νA(y)。因此，有µA∩B(z)=µA(z)∧µB(z)≥µA(x)∧µA(y)∧µB(x)∧µB(y) =(µA(x)∧µB(x)) ∧(µA(y)∧µB(y))=µA∩B(x)∧µA∩B(y),νA∩B(z)=νA(z)∨νB(z) ≤(νA(x)∨νB(x))∨(νA(y)∨νB(y))=νA∩B(x)∨νA∩B(y)。由定理9 可知，A∩B是直觉模糊滤子。

推论4：若Ai(i∈I)是L上的直觉模糊滤子，那么也是L上的直觉模糊滤子。

3 非交换剩余格上直觉模糊滤子的结构

定义9：设A=(µA,νA)是L上的直觉模糊集，B=(µB,νB)是L上的直觉模糊滤子，A⊆B对,于L上的直觉模糊滤子C，如果由A⊆C可以推出B⊆C， 则称B是由A生成的直觉模糊滤子，记作。

定理13：设A=(µA,νA)是L上的直觉模糊集，对于任意的x∈L，令

证明：假设B=(µB,νB),其中

下面证明B是L上的直觉模糊滤子。 由B的定义可知，对于任意的x∈L,显然有µB(1)=µA(1)≥µB(1),νB(1)=νA(1)≤νB(x)。设x∈L,y∈L,任取c1∈L,c2∈L,…,cn∈L,d1∈L,d2∈L,…,d m∈L,其中n∈N*,m∈N*,使得x≥c1⊗c2⊗ …⊗cn,x→y≥d1⊗d2⊗ …⊗dm,于是，有y≥ (x→y)⊗x≥c1⊗c2⊗ …⊗cn⊗d1⊗d2⊗… ⊗dm,因而有由于µB(x)∧µB(x→y)d1⊗d2⊗ …⊗dm},故由µB(y)的定义可知µB(y)≥µB(x)∧µB(x→y)。同理可证νB(y)≤νB(x)∨νB(x→y)。用类似的方法，也可以证明µB(y)≥µB(x)∧µB(xy),νB(y)≤νB(x)∧νB(xy)。因此， 由定义8 可知B是L上的直觉模糊滤子。 由B的定义可知，A⊆B显然成立。 假设C是L上的直觉模糊滤子，且A⊆C,则对于任意的x∈L,有x≥a1⊗…⊗an}=νC(x),因此，有B⊆C,则B是由A生成的直觉模糊滤子。

定理14：若A=(µA,νA)和B=(µB,νB)是L上的直觉模糊滤子， 则〈A∪B〉也是L上的直觉模糊滤子。

证明：因为A和B都是L上的直觉模糊滤子， 所以对于任意的x∈L,有µA(x) ≤ 1−νA(x),µB(x)≤ 1−νB(x)。因此，有µA∪B(x)+νA∪B(x) =(µA(x)∨µB(x)) +(νA(x)∧νB(x)) ≤ ((1−νA(x)) ∨ (1−νB(x)))+(νA(x)∧νB(x)) = (1 −(νA(x)∧νB(x))) +(νA(x)∧νB(x))=1,即µA∪B(x)+νA∪B(x)≤1,故A∪B是L上的直觉模糊集。由定义9 可知〈A∪B〉是直觉模糊滤子。

推论5： 若Ai(i∈I)是L上的直觉模糊滤子，则也是L上的直觉模糊滤子。

注2：记L上的全体直觉模糊滤子为IFF[L]。

在IFF[L]上定义运算由“⊆ ”、“”和“”的定义可知是一个格。

证明：对于任意的Ai∈IFF[L],由于和都是直觉模糊滤子,因此容易证明是一个完备格，其最大元为1∼,最小元为0∼。

4 结束语

在本文中， 我们在非交换剩余格中引入了直觉模糊滤子的概念， 给出了直觉模糊滤子一些基本性质和等价刻画， 给出了直觉模糊滤子与模糊滤子之间的关系，给出了由直觉模糊集生成直觉模糊滤子的方法，证明了非交换剩余格上的全体直觉模糊滤子的集合能构成有界完备的分配格。