对中学数学教材中“总体”概念定义的再认识

杜 瑛

⦿ 江苏省无锡市青山高级中学

1 一个常见的数学问题

问题(下面均简称为“问题”)(多选题)为了解参加运动会的2 000名运动员的年龄情况,用简单随机抽样的方法,从中抽取了20名运动员的年龄进行统计分析.下列说法中正确的有( ).

A.2 000名运动员是总体

B.所抽取的20名运动员是一个样本

C.样本容量为20

D.每个运动员被抽到的机会相等

这是有关“总体、个体、样本和样本容量”的基本概念问题.有教师认为答案应为选项CD,也有教师认为答案应为选项ABCD.产生分歧的原因在于所使用的教材中,对“总体”概念的定义不尽相同.

2 中学数学教材对“总体”概念的定义

下面摘举不同中学数学教材中“总体、个体”的定义,寻找产生分歧的原因.

(1)义务教育数学课程标准2011版

教材1：(义务教育教科书数学八年级下册苏教版2013)

“我们把所考察对象的全体叫做总体(population),把组成总体的每一个考察对象叫做个体(element).”

“例如,为了解某市八年级学生的体重情况,对该市八年级全体学生的体重进行调查……该市八年级学生体重的全体是总体,每个八年级学生的体重是个体.”

由于该教材对“总体、个体”进行举例,因此有教师认为,“问题”中选项A与选项B未指明调查的具体指标,是错误的.

(2)普通高中数学课程标准2003版

教材2：(普通高中课程标准实验教科书数学必修3苏教版2012)

该教材未给出“总体、个体”的概念,因此教师延用初中的教学习惯,认为“问题”中选项A,B错误.

教材3：(普通高中课程标准实验教科书数学必修3人教A版2004)

该教材未给出“总体、个体”的概念,但涉及了相关的问题,一个在引言部分,另一个在复习参考题中:

“引言:在食品质量检测中,为了了解某批袋装牛奶(总体)的细菌超标情况.”

“参考题：为了了解某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩,从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析.在这个问题中,5 000名学生的成绩的全体是( ).

A.总体

B.个体

C.从总体中抽取的一个样本

D.样本的容量.”

据此题,有教师认为,“总体”应包含调查对象的指标.因此,“问题”中选项A,B错误;也有一些教师认为,引言说明“某批次的袋装牛奶”是总体,不用加“细菌含量”这一指标.因此,“问题”中选项A,B正确.

(3)普通高中数学课程标准2017年版

教材4：(普通高中教科书数学必修第二册苏教版2020)

“我们把考察对象(某一指标的数据)的全体叫做总体(population),把组成总体的每一个考察对象叫做个体(subject).”

教材只给出了定义,但没有设置相关的例子说明.因此教师延用初中的教学习惯,认为选项A,B错误.

教材5：(普通高中教科书数学必修第二册人教A版2019)

“我们把调查对象的全体称为总体(population),组成总体的每一个调查对象称为个体(individual).为了强调调查目的,也可以把调查对象的某些指标的全体作为总体,每一个调查对象的相应指标作为个体.”

该教材中设计了一个练习和一个研究问题,对“总体、个体”的概念进行说明:

练习在以下调查中,总体、个体各是什么?

(1)调查一个班级学生每周的体育锻炼时间;

(2)调查一个地区结核病的发病率;

(3)调查一批炮弹的杀伤半径;

(4)调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.

教师参考书答案:(1)总体是“这个班级的全体学生”,个体是“这个班级的每一个学生”,或总体是“这个班级全体学生每周的体育锻炼时间”,个体是“这个班级每一个学生每周的体育锻炼时间”…….

该教材给出的问题2:树人中学在“全国爱眼日”前,……了解一下全校2 174名学生中视力不低于5.0的学生所占的比例……在这个问题中,全校学生构成调查的总体,每一位学生是个体,学生的视力是考察的变量.”

根据教材的定义和相关问题示范,我们既可以把“调查对象的全体作为总体”,也可以把“调查对象的某些指标的全体”作为总体,因此有教师认为,“问题”中选项A,B正确.

3 大学数学教材对“总体”概念的定义

从高等教育教材中溯源,可以更加明晰中学数学教材编写者的用意,从而更加明确中学数学知识的教学方向.

教材6：〔大学数学立体化教材概率论与数理统计第二版(中国人民大学出版社2006)〕

“把具有一定共性的研究对象的全体称为总体(或母体),其大小与范围随具体研究与考察的目的而定.把构成总体的每一个成员(或元素)称为个体.

“例如,研究某灯泡厂生产的一批灯泡的质量,则该批灯泡的全体构成了一个总体,其中每一个灯泡就是一个个体.

“在数理统计中我们所关心的并非是每个个体的所有特征,而仅仅是它的一项或几项数量指标.代表总体的指标是一个随机变量,总体中每个个体是随机变量的一个取值,从而总体对应于一个随机变量.对总体的研究就相当于对这个随机变量的研究.后面将不区分总体与相应的随机变量.

“定义1:统计学中称随机变量(或向量)X为总体,并把随机变量(或向量)的分布称为总体分布.”

由于数理统计研究的是随机变量,代表总体的指标也是一个随机变量,因此“不区分总体与相应的随机变量”,为了研究目标更明确,从而对总体用“随机变量”进行定义.总体既可以是“这批灯泡”,也可以是“这批灯泡的质量”.因此,人教A版2019年教材的描述接近这个定义.

人教A版2004年教材虽没有给出“总体、个体”的概念,但从“引言”中对总体的描述,也能看出教材编写者对这个概念的认识与人教A版2019年教材一致.该教材复习参考题中的练习题,与这个认识不矛盾.“5 000名学生的成绩的全体”是总体,没有说“5 000名学生”不是总体.苏教版义务教育教科书数学八年级下册中,虽用了“该市八年级学生体重的全体为总体”的示范性描述,但没有说“该市八年级学生为总体”的描述是错误的.

在苏教版的两版教材中,一版未给出这个概念的描述,另一版虽给出了描述但未设置相关的题目,并且认为“把考察对象(某一指标的数据)的全体叫做总体”.教材将“某一指标的数据”用小括号标出,说明总体既可以是“考察对象的全体”,也可以是“考察对象某一指标的数据的全体”.

4 一些粗浅的想法

4.1 要仔细研读教材和课程标准

我们正处于新课程改革初期,要仔细研读教材和课程标准,明确新旧教材在育人理念、教学要求、内容安排、概念描述上的差异.只有摒弃经验主义,更新教学方式,改进育人理念,提高知识素养,才能适应新的课堂.

4.2 从学业要求的角度,关注知识的学习目标

教学应关注学业要求的落实.例如,《普通高中数学课程标准(2017年版)》有关“统计”的学业要求是“选择恰当的抽样方法获取样本数据,并从中提取需要的数字特征推断总体.能够正确运用数据分析的方法解决简单的实际问题.理解统计推断结果的或然性,正确运用统计结果解释实际问题”[1].因此,在“统计”的教学中,应该关注抽样方法设计、数据整理和分析、样本对总体的估计方法、统计结果的准确性分析和应用等方面的问题.对于那些意义不大的问题,不要咬文嚼字,更不要本末倒置,如此才能让教学更有价值,才能真正促进学生素养目标的达成.

4.3 避免分歧的最好方法是教考一致

教师对“问题”的分歧不仅是“总体”的定义,更是对“教考分离”的担忧.“总体”这个概念的理解并不困难,对这个概念的认识不需特别深刻,无论使用哪版教材,只要在统一的标准下教学,即命题者和教学者的认知一致即可.