认知MIMO雷达发射波形与接收滤波器联合优化设计方法

邱祥风, 姜卫东, 张新禹, 霍 凯, 刘永祥

(国防科技大学电子科学学院, 湖南 长沙 410073)

0 引 言

作为新体制雷达的代表,多输入多输出(multiple input multiple output, MIMO)雷达已经引起了广泛的研究[1]。具体来说,根据天线配置不同,MIMO雷达可以分为分布式MIMO雷达和集中式MIMO雷达两种。与传统的相控阵雷达相比,通过使用信号分集与空间分集技术,MIMO雷达可以提升雷达系统的全方位性能[2]。由于其在目标检测及参数估计等方面的优越性能,MIMO雷达已经应用到了很多方面,如自动驾驶[3]、遥感[4]、灾难检测[5]等。

杂波是雷达对所接收到的除感兴趣目标以外其他雷达回波的总称[6]。在雷达目标探测领域,杂波研究可以用来对其抑制以提高对目标的检测能力[7]。对于地基雷达,地物杂波能量多集中在零频附近,只存在轻微的多普勒扩展问题,通常可以使用脉冲对消方法[8-9]加以抑制,如典型的二脉冲对消与三脉冲对消方法[10]。这类方法的本质是在杂波的多普勒频域内形成一个高通滤波器,对地物杂波加以抑制。对于运动的雷达平台,平台的运动将会导致回波中的强地物杂波在多普勒域产生大范围扩展,与待检测运动目标在多普勒域的能量分布叠加在一起,严重干扰运动目标,特别是对慢速运动目标的检测。为了解决这一问题,空时自适应处理(space and time adaptive processing, STAP)技术[11]从空域与多普勒域两个维度入手,利用杂波与目标在空间-多普勒维度分布不同的特点进行运动平台下的杂波抑制,并取得了可观的性能。

为了提升MIMO雷达的杂波抑制与目标检测性能,STAP技术被扩展至MIMO雷达,并成为机载MIMO雷达的核心技术。研究表明[12],由于其具有大虚拟孔径以及长时间的脉冲累积,MIMO-STAP技术可以显著提升系统的空间及速度分辨能力,提升对慢速目标的最小可检测速度(minimum detectable velocity, MDV)。得益于数字任意波形发生器、固态发射机、高速信号处理等先进硬件技术的发展,自适应波形设计和接收信号的自适应处理具备了实时实现的可行性,有效地促进了雷达的智能化发展。通过借鉴蝙蝠的回声定位系统,Haykin[13]在2006年首次提出了认知雷达的概念。认知雷达利用目标和环境的先验信息,对发射波形和接收滤波器实时优化,实现对信号的闭环处理过程。

作为认知雷达的核心技术,发射波形(与接收滤波器)的优化设计获得了广泛的关注。目前经典的雷达波形主要可以分为3种,线性调频(linear frequency modulation, LFM)波形、非LFM (non-LFM, NLFM)波形以及相位编码波形[14]。LFM信号作为一种大时宽带宽积信号,已经成为一种应用最广泛的信号。但其可变参数往往只包括带宽、调频率等,波形设计的自由度太低。NLFM波形包括步进频率调频信号等,除了波形设计的自由度太低以外,其信号处理流程也相对复杂。相位编码信号[15]通过不同的编码规则设计每个码元的初始相位,以实现不同的应用需要,在雷达乃至通信领域取得了广泛的应用。因其具有较高的设计自由度,相位编码波形也成为认知雷达发射波形优化设计的常用波形。现有的波形设计优化准则主要包括最大化检测概率[16]、最大化相对熵[17]、最大化互信息[18]以及最大化信杂噪比(signal to clutter plus noise ratio, SCNR)[19]等。考虑到雷达实际工作系统,在设计雷达波形时还需要考虑一定的约束,如峰均功率比(peak to average power ratio, PAR)约束、相似性约束、恒模约束、频谱约束等。

为了提升对地面运动目标的检测能力,Tang等[19]将波形优化设计的思想引入机载MIMO-STAP中。为了获取更高的设计自由度与更好的波形性能,该文献同时考虑了发射波形与接收滤波器的联合优化设计问题。通过引入恒模约束,优化问题最终被建模为一个具有非确定性多项式级复杂度的双变量非凸优化问题,然后使用基于半正定松弛的序列优化算法(semi-definition relaxation-based sequential optimization algorithm, SOA-SR)迭代求解最优的发射波形与接收滤波器。其求解方法主要包括两个部分,即固定发射波形求解最优的接收滤波器,然后固定接收滤波器求解最优波形,二者交替进行直至收敛。在求解最优接收滤波器时,将优化问题等效为一个广义瑞利熵问题,然后可以得到最优接收滤波器的精确解;在求解最优发射波形时,目标函数转换为一个准凹的分式规划问题。常规的求解思路主要是使用二分法将其转换为一系列的凸优化问题,然后求解。为了简化求解过程,引入Charnes-Cooper变换[20],将待求解问题转化为一个半正定规划问题。

然而,在计算最优滤波器时,由于广义瑞利熵的求解过程中需要进行矩阵求逆与特征值分解运算,算法所需的计算复杂度比较高。对此使用最小方差无失真响应(minimum variance distortionless response, MVDR)方法[21]求解最优接收滤波器。

为了进一步降低算法的复杂度,本文提出一种基于SCNR近似的最优波形求解方法。通过利用前次迭代所得的目标函数值,将当前迭代过程中需要求解的非凸优化问题转换为凸优化问题进行求解,并通过理论分析证明了近似过程的收敛性能。数值实验分析表明,相对于文献[19]中的方法,本文所提方法不仅具有更快的收敛速度,还可以实现更高的SCNR增益。

1 系统建模

1.1 信号模型

如图1所示,本文考虑机载MIMO雷达平台,其中Vp表示平台运动速度,Nt表示发射天线个数,Nr表示接收天线个数,θt和φt分别表示目标的方位角和俯仰角,θc,i和φc,i分别表示第i个杂波块的方位角和俯仰角。另外,以dT和dR表示发射阵列与接收阵列排列间隔,以ut∈RNt×1和ur∈RNt×1分别表示发射阵元与接收阵元位置。则对于运动速度为Vt的运动目标,其接收到的信号可以表示为

Sr=aT(θt,φt)S

(1)

Yt,m=αtexp[j2π(m-1)Ftb(θt,φt)aT(θt,φt)S]

(2)

式中:αt表示目标回波的复幅度,与通道传输和衰减系数相关;Ft=(2Vt)/fr表示目标的归一化多普勒频率;b(θ,φ)=exp{j(2π)/λurcosφsinθ}是接收阵列的导向矢量。

图1 机载MIMO雷达系统工作图Fig.1 Illustration of airborne MIMO radar system

(3)

在雷达信号处理过程中,回波信号中的地海杂波往往被视为信号无关的干扰分量。为简单起见,在图1所示的MIMO雷达系统中,只考虑与目标处在同一距离环的杂波块,进而杂波分量可以表示为

(4)

式中:Nc表示一个杂波环内的离散杂波块的个数;αc,i和Fc,i分别表示第i个杂波块的复幅度以及归一化多普勒频率,Fc,i=2Vpcosφc,isinθc,i/(λfr)。根据认知雷达相关理论,杂波的先验知识可以利用环境动态数据库、数字高程图以及环境感知[22-25]等方式获取。

假设接收机噪声n∈CNrML×1在时域和空域上不相关,且其服从于均值为0,方差为Rn的循环对称复高斯随机分布,则

(5)

结合以上内容,本文所考虑的机载MIMO场景下的一个相参处理周期内的接收信号可以表示为

y=yt+yc+n

(6)

1.2 优化目标

在STAP信号处理过程中,接收端处理器往往需要设计一个多维的接收滤波器以抑制杂波干扰,以增强雷达系统的目标检测性能。一般来说,SCNR与检测概率具有正相关关系,且容易与发射波形建立联系。因此,本文使用最大化SCNR的设计准则。

(7)

(8)

值得注意的是,在恒模约束的条件下,本文考虑的优化问题实质上是在优化波形的相位值。进一步,将发射波形的恒模约束转换为关于其协方差矩阵的秩1约束,则优化问题式(8)可以等价变换为

(9)

2 求解方法

在本节中,使用交替优化的方法求解发射波形与接收滤波器的联合优化问题式(9)。

2.1 固定发射波形求解最优接收滤波器

接收滤波器w是一个无约束的待优化变量,因此求解最优接收滤波器时需要解决的优化问题可以表示为

(10)

该问题是一个经典的广义瑞利熵问题[26-27],文献[19]直接得出其最优解为

(11)

式中：λmax(·)表示提取矩阵的最大特征值。显然,由于需要进行矩阵求逆与特征值分解运算,式(11)的运算复杂度比较高。对此,使用MVDR求解w,得到:

(12)

2.2 固定接收滤波器求解最优发射波形

相对于优化接收滤波器,求解最优波形的问题更加复杂。为了方便求解,首先使用松弛的思想去除秩1约束,然后得到关于Rs的优化问题:

(13)

文献[19]使用Charnes-Cooper变换,将待求解的分式规划问题转化为一个凸优化问题,然后使用Matlab凸优化工具箱[28]求解。本节提出一种基于SCNR近似的迭代优化算法求解优化问题，首先将其转换为

(14)

式中:β表示松弛后的协方差矩阵Rs决定的SCNR。由于约束条件中存在未知参数β,松弛后的优化问题依然是一个难以求解的非凸问题。对此,使用上一步求解优化问题P3所得到的SCNR值ζ替代约束等式左侧的未知参数β,这样就可以得到一个凸优化问题:

(15)

优化问题式(15)可以使用Matlab凸优化工具箱直接求解。根据变换前后的关系,不难得到:

(16)

由于

(17)

(18)

根据式(17)有：

(19)

因此,

(20)

(21)

因此,利用

(22)

可以得到:

(23)

(24)

证毕

本文所提方法具体实现流程如算法1所示,该方法从随机初始点s0开始迭代,然后交替优化w和s,直至达到收敛准则。其中,初始迭代点s0为恒模约束下的任意相位波形。在算法运行过程中,可以首先随机生成取值在(0,2π)之间的随机相位序列φrand,然后通过变换s0=exp(jφrand)得到。

算法1 本文所提算法流程输入: s0输出: sopt, woptFor i=1,2,…1. 初始化: si=s0;2. 通过式(11)优化 wi;3. 通过式(15)优化 Ris;4. 使用随机策略计算 si;5. i←i+1;6. 直至|SCNRi+1-SCNRi|/SCNRi<ξ

2.3 算法复杂度分析

3 实验与分析

本节进行仿真实验以分析所提算法的实际性能,实验参数如表1所示。

表1 实验参数设置

首先分析所提方法的收敛性能并将其与文献[19]中的SOA-SR 算法进行对比。图2给出了两种算法的SCNR值随迭代次数的变化。

图2 SCNR随迭代次数的变化Fig.2 SCNR changing with the number of iterations

从图2中可以看出,在不同的迭代停止条件下,即ξ=10-2、ξ=10-3、ξ=10-4时,本文所提方法都能逐渐收敛。随着ξ取值的逐渐减小,迭代所需的收敛次数逐渐增加,且输出的SCNR值逐渐升高。在相同的停止准则时,本文所提算法在第19次迭代时停止,而SOA-SR方法在第62次迭代时停止。此外,两种算法最终达到的输出SCNR增益分别为23.39 dB和22.71 dB,这说明本文方法可以求解出更优的发射波形与接收滤波器组合。

为了进一步直观说明本算法在运算效率方面的优越性,本文在图3中对比了不同算法在不同精度下的运行时间。其中，SOA-SR方法的停止准则为ξ=10-3。由图3可知,随着ξ取值的逐渐减小,算法运行所需的时间逐渐增加。此外,在相同的迭代准则下,本文所提算法所需要的运行时间远远小于文献[19]中的SOA-SR方法。此外,随着迭代停止准则的逐渐减小,本文所提算法的运行时间也在逐步增大。

图3 不同算法运算时间对比Fig.3 Run time comparison of different algorithms

图4给出了不同算法的输出SCNR随目标多普勒频率的变换关系。从图4中可知,相对于经典的SOA-SR方法,本文提出的交替优化方法在多数多普勒频段内具有更高的SCNR增益,可以获得更优的运动目标检测性能。另外,随着迭代门限的逐渐减小,虽然计算负担有所增大,但输出SCNR呈现逐步增加的趋势。

图4 输出SCNR随目标多普勒频率变化Fig.4 Output SCNR varing with target Doppler frequency

图5分别给出了在不同的SNR和CNR条件下的输出SCNR值。对比可知,随着SNR和CNR逐渐变化,两种方法的SCNR值具有相同的变化趋势。值得指出的是,在相同的实验条件下,本文所提方法所得SCNR增益一直高于SOA-SR方法,再次说明了所提算法的优越性。

图5 不同SNR和CNR条件下输出SCNR值Fig.5 SCNR value of different SNR and CNR

图6给出了LFM波形、SOA-SR以及本文所提算法求解得到的最优发射波形和接收滤波器对应的空时二维响应图。

图6 不同波形对应的空时二维响应图Fig.6 Space-time two-dimensional response graphs corresponding to different waveforms

其中,两种优化算法的初始迭代点使用相同的随机相位序列,迭代过程均在ξ=10-3时停止进行,其余参数按表1选取。其中,所发射的LFM信号由一组恒模约束下的LFM信号组成,其波形矩阵可以表示为

(25)

式中：l=1,2,…,L,nt=1,2,…,Nt,对应的波形向量可以计算为sLFM=vec(SLFM)。此外,LFM波形使用MVDR接收滤波器。

从图6中可知,3种空时响应图都在目标所在位置形成主瓣增益,在杂波干扰所在位置形成深的凹陷。特别地,本文算法的空时响应图中的零陷比SOA-SR算法产生的零陷以及LFM波形产生的零陷更深,所提算法的优越性进一步得到了证明。

图7(a)和图7(b)分别给出了沿着目标所在的空间频率以及多普勒频域的空时响应剖面图。观察可知,不同算法产生的波形均能在杂波出现的位置形成凹陷,以减少杂波对目标检测的影响。另外,本文所提算法产生波形对应的杂波零陷相对于其他两种波形更深,对地物杂波的抑制性能更优。

图7 空时响应剖面图Fig.7 Profiles of different space-time responses

4 结 论

为了提升对杂波干扰的抑制性能,同时提高对运动目标的检测能力,考虑了机载MIMO场景下的发射波形与接收滤波器的联合优化设计问题。为了快速高效求解联合优化设计的非凸模型,首先利用MVDR方法求解广义瑞利熵问题,进而提出了一种基于SCNR近似的优化波形求解方法。实验结果表明,与经典的SOA-SR方法相比,本文所提方法不仅具有更快的收敛速度,还可以实现更高的SCNR增益。