基于L型级联互素阵列的多目标源载频和到达角联合估计

赵雪成, 黄翔东, 马金英

(天津大学电气自动化与信息工程学院, 天津 300072)

0 引 言

载频和到达角(direction of arrival,DOA)的联合估计是阵列信号处理领域的研究热题,在认知无线电(cognitive radio, CR)、雷达和移动通信中有着广泛的应用[1-4]。以CR为例,终端设备通过感知传输信号的频谱信息,对一定频率范围内未被占用的频段加以利用,以此提高用户容量和通信效率。此外,终端设备可利用部署在终端的多天线系统获取传输信号的DOA信息来感知空间谱中空闲的资源,进而提高CR性能。显然,在上述过程中载频和DOA联合估计是必不可少的关键步骤。

然而,传统的联合估计方法一般受到Nyquist条件的限制。具体来说，即在空域采样方面,阵元间隔不能超过入射信号的半波长。例如,传统的均匀线阵(uniform linear array, ULA)就是典型的Nyquist空域采样结构,故而当信号波长较短时，这类阵列结构的阵元互耦、散热等问题不易解决[5]。在时域采样方面,由于实际中接收机往往收到的是频谱分布在较宽范围(例如几个GHz)的多个信源,若同时对这些信源进行感知,则需以极高的速率进行采样,进而短时间内会产生大量数据,给数据存储和后续处理带来巨大负担。另外,如此高的采样率也是现行技术下的模数转换器(analog to digital converter,ADC)所不能承受的。

近年来,已有许多学者提出了基于时域欠采样的载频和DOA联合估计方法,在能够重构信号的前提下,将采样速率降到各信源带宽的最大值的水平。例如,文献[6]设计了一种基于ULA的带有时延的时域欠采样接收结构,并提出了基于旋转不变子空间(estimating signal parameter via rotational invariance techniques, ESPRIT)[7]的联合估计方法。然而,文献[6]中的时延必须限制在Nyquist采样间隔内,这增大了其工程实现难度。文献[8]则设计了一个具有灵活时延的Sub-Nyquist采样结构,并提出了基于正则分解/平行因子分解的联合估计算法,不仅可以恢复出载频和DOA,也能够重构信源的功率谱。然而,文献[8]中模拟时延器虽有一定灵活性,但精准的时延控制在实践中仍有较大难度[9]。近年来,一些学者提出了无时延的联合估计器。例如,在文献[10]中,作者将单天线结构的调制宽带转换器(modulated wideband converter, MWC)[9]扩展到L型ULA中,实现了对载频和DOA的联合估计。在该结构中,每个阵元与MWC中单个采样通道相连接,并且采样速率为各入射信源带宽的最大值。文献[11]则将MWC扩展到单个ULA中,利用部署了多通道MWC的参考阵元先估计出载频,再通过子空间分解和相关性配对从阵列样本中得到相应的DOA。此外,文献[12]在基于ULA的MWC框架下,将各采样通道样本的频谱数据组成三维张量,然后利用张量分解技术恢复出了信源的载频和DOA。以上的工作均是基于ULA开展的,并未考虑空域欠采样情况。

所谓空域欠采样,即天线阵列允许以大于半波长的间隔稀疏布置,因此可以有效扩大阵列孔径、提高估计分辨率和降低实际应用中阵元间的互耦,而且大孔径的优势在DOA单参数估计任务中已得到充分展现。例如，文献[13-15]展示了稀疏阵列在参数估计精度方面带来的提升。此外，一些学者利用稀疏阵列在结构上的灵活性,通过对阵列进行变形、移位,提出了具备更低互耦和更高自由度的DOA估计器[16-19]。目前,一些学者已将空域-时域欠采样结合到载频和DOA的联合估计任务中。比如，文献[20]利用压缩感知(compressed sensing, CS),从空时Sub-Nyquist样本的一系列互相关矩阵中恢复出载频、DOA和功率谱,但该方法计算复杂且精度不高。文献[21]提出了一种基于最小冗余阵列(minimum redundancy array, MRA)的联合估计器,可以对超出阵元数量的信源进行识别,但该结构对ADC要求较高且精度受到网格划分精度的限制。

通过以上分析可以发现,现有的载频和DOA联合估计方法大多没有涉及到空域欠采样,或已有的基于空域欠采样的联合估计方法没有体现出稀疏阵列在DOA单参数估计中的优势。针对此问题,本文提出一种基于L型级联互素阵列[22]的联合估计方法。相比于现有方法,其优势体现在以下几点:① 不同于MRA,互素阵列具有闭式的结构表达式;② 载频和DOA的恢复结果具有闭式解析形式,不涉及网格定义,降低了算法复杂度;③ 所提结构不包含时延通道降低了硬件实现难度;④ 避免了原型互素阵列中局部阵元密集情况,进一步扩大了阵列孔径。仿真结果验证了本文所提方法的有效性。

1 信号模型

考虑K个不相关、广义平稳的远场窄带信号入射到接收阵列的情况。其中，各信号的载频分别为f1,f2,…,fK。定义如下信号模型:

(1)

(2)

本文中,信源个数K为已知或是由源数目估计算法估计出,例如Akaike信息准则(Akaike information criterion, AIC)[23]。

图1 多带信号模型Fig.1 Multi-band signal model

2 空时欠采样结构及接收信号建模

2.1 空域欠采样结构

图2为本文提出的空时域欠采样接收结构,该结构由位于x轴和z轴的两个级联互素阵列组成。如图3所示,每个级联互素阵列由两个阵元间距分别为Md、Nd,阵元数分别为N、M的均匀线性子阵组成，其中，d为频率上限信号半波长。每个级联互素阵列的阵元数为L=M+N-1,其阵元位置集合为

Z={z0,z1,…,zL-1}d=

{(n-1)Md|1≤n≤N}∪

{(N-1)Md+(m-1)Nd|1≤m≤M}

(3)

式中：M和N是一对预先定义的互素整数;d=c/(2fnyq),c为光速常量。

图2 所提L型接收阵列结构Fig.2 The proposed L-shaped receiver array structure

图3 每个轴上的级联互素阵列结构Fig.3 Unfolded co-prime array structure on each axis

由于级联互素阵列的稀疏性,在相同数量阵元的情况下,其阵列孔径相较ULA极大提高。具体地,前者孔径达到(2MN-M-N)d,而后者仅为(M+N-2)d。

此外,为确保所提算法正常进行,每个级联互素阵列的阵元数目L要大于信源数量K。

2.2 时域欠采样结构

如图4所示,L型互素阵列中每个天线均直接与一个采样率为fs=1/Ts的低速ADC相连,其中B≤fs≪fnyq[8],即每个通道的采样率大于等于各信源带宽最大值并远小于Nyquist速率。因此,对于所提结构整体而言,当估计K个源时,所需最小总和采样率为(2K+1)B,与文献[10]所提的L型ULA时域欠采样方案相同。

图4 时域欠采样结构Fig.4 Temporal sub-sampling structure

2.3 接收信号模型

如图2所示,以位于x轴的级联互素阵列为例,设原点处阵元为参考阵元,则第n个天线的接收信号为

(4)

(5)

N

(6)

进一步,将式(4)写成矩阵形式,可得

(7)

(8)

类似地,对z轴的级联互素阵列进行分析,可得相应的接收信号模型,即

(9)

相应地,Az=[az(f1,θ1),az(f2,θ2),…,az(fK,θK)],

(10)

(11)

N

(12)

经过采样后,可得如下数据样本:

(13)

式中:l=0,1,…,Ns-1,Ns为快拍数。

3 载频和DOA联合方法

本节利用位于两轴的级联互素阵列所对应的样本,构造两个虚拟ULA意义下的伪噪声子空间,进而无模糊地求出两组信源的电子角({fksin(θk)}和{fkcos(θk)})。然后,结合类波束生成方法[24],利用相关性匹配这两组电子角,进而完成载频和DOA的联合估计。所提方法的详细推导如下。

3.1 伪噪声子空间重构

首先,对于x轴阵列的样本,计算其相关矩阵:

(14)

(15)

式中:Un由较小的L-K个特征值对应的特征向量组成;Us表示信号子空间,由较大的K个特征值对应的特征向量组成。

为了能在后续步骤中直接、方便地利用求根多重信号分类(root multiple signal claffication, root-MUSIC)算法进行电子角的求解,本节构造级联互素阵列所对应的虚拟ULA(包含的阵元数为Lp=2MN-M-N+1)的伪噪声子空间Unp:

Unp=TUn

(16)

式中:T是一个Lp×L的变换矩阵,对Un进行行扩展。具体来说是在级联互素阵列的所有孔洞位置处,将1×(L-K)的全零向量0填充到Un。T的具体表达式为

0≤i≤Lp; 0≤j≤L-1

(17)

式中:zj表示级联互素阵列阵元位置,见式(3)。此外,由于级联互素阵列是由两个互素子阵组成的,因此对于整个阵列(非线性排列的)而言,这种互素特性可以避免稀疏阵列所带来的相位模糊问题。

同理,对于z轴阵列的样本数据,也构造如上的伪噪声空间。

3.2 载频和DOA的配对与估计

同样先考虑位于x轴的级联互素阵列,由于噪声子空间与信号子空间正交,可得

(18)

(19)

选出最接近单位圆的K个根{rk|k=1,2，…,K},则信源在x轴阵列的电子角为{fksin(θk)}。记αk=fksin(θk),则αk可由下式获得

(20)

(21)

完成配对后,载频和DOA的计算方法如下：

(22)

3.3 步骤总结

载频和DOA估计过程如算法1所示。

算法1载频和DOA估计输入x轴、z轴阵列的采样数据:x、z;步骤 1对于x轴阵列,通过式(5)计算其样本相关矩阵Rx。步骤 2利用式(15)求解其噪声子空间Un。步骤 3基于Un,利用式(16)和式(17)构造伪噪声空间Unp。步骤 4对Unp执行root-MUSIC,由式(18)～式(20)计算电子角{α^k}。步骤 5对于z轴阵列,重复步骤1～步骤4,得到相应的电子角{β^k}。步骤 6利用式(21)配对{α^k}和{β^k}。输出信源载频和DOA可由式(22)获得。

3.4 复杂度分析

对于x轴阵列,计算相关矩阵Rx∈CL×L需要L2×Ns次复乘,其中L为一个轴上的阵元个数,Ns为每通道快拍数。对Rx进行特征值分解大约需要L3次复乘。执行root-MUSIC算法,大约需要(2Lp-1)3次复乘[25],其中Lp为虚拟ULA阵元数。对于z轴阵列,重复上述计算过程。最后在配对阶段,约需K2(L2+L)次复乘,其中K为信源数量。综上,本文算法计算复杂度约为O(3NsL2+2L3+2(2Lp-1)3)+K2(L2+L)),高于文献[10]中基于L型ULA的联合估计器的计算复杂度O(NsL2+4(L-1)3+K3)。但是,相比于大多基于网格的空域欠采样的估计器(精度越高,网格划分越细,计算量随之大幅增加),本文算法不涉及网格定义,有效提高了计算效率。

4 仿真分析

4.1 参数设置和性能指标

设定fnyq=10 GHz,d=1.5 cm。对于本文空域欠采样结构,设M=3,N=5,则每个轴的级联阵列阵元数目L=M+N-1=7。

考虑K=3个入射信号(根据第1节所定义的信号模型生成),其带宽设为B1=30 MHz、B2=50 MHz、B3=50 MHz,对应的载频分别设为f1=6.3 GHz、f2=7.4 GHz、f2=8.5 GHz,入射角度分别设为θ1=-40°、θ2=20°、θ3=45°。每个通道的采样率为fs=1.4B=70 MHz。估计性能采用均方根误差(root mean square error, RMSE)进行评价,定义如下:

(23)

为评估本文提出的空时欠采样的载频和DOA联合估计方法,对比方法选为文献[6]和文献[10](其估计结果具有解析形式)。其中,文献[10]提出的CaSCADE(compressed carrier DOA estimation)算法采用的是L型ULA(阵元间距为d)。文献[6]为ULA时延结构,其中每个天线含有两个输出通道。为保证输出通道数目一致,CaSCADE中每个轴的阵元数设为7。文献[6]天线数设为7,共有14个通道,略高于本文和CaSCADE算法。此外,本文所提算法同样适用于原型互素阵列,因此也给出所提算法基于原型互素阵列的估计性能。

4.2 配对正确性检验

表1 两组电子角间的匹配系数

表2 不经配对所得的载频和DOA估计值

4.3 不同快拍数下参数估计效果对比

在第4.1节的参数基础上,设置信噪比为5 dB。令快拍数Ns从100到1 000递增,步进值为100。载频和DOA估计结果的RMSE曲线如图5所示。从图5可以看出,在快拍数从100到1 000的范围内,本文算法在载频以及DOA的估计精度上都要高于其他基于ULA的对比算法。同时,相较于原型互素阵列,基于级联互素阵列的本文算法具有更高的估计精度。这是因为本文的级联互素阵列在相同阵元数情况下具有更高的孔径。具体来说,文献[6]的阵列孔径为6d;文献[10]采用的是L型ULA,每个轴的阵列孔径也为6d。相比之下,所提L型互素阵列结构的每个轴的阵列孔径为(2MN-M-N)d=22d,远高于文献[6]和文献[10]。此外也可以发现,相较文献[10],本文算法在较低快拍数条件下即可取得较为明显的性能增益。

图5 估计误差随快拍数的变化曲线Fig.5 Estimation error curves versus snapshot numbers

4.4 不同信噪比下参数估计效果对比

本次对比实验中,快拍数Ns=1 000,令信噪比从-15 dB到20 dB变化,步长为1 dB。相应的载频和DOA的估计误差曲线如图6所示。观察图6可以发现,随着信噪比不断下降,图中各方法的误差曲线均会出现跳变现象。这表明当小于跳变点处对应的信噪比阈值时,估计算法将会受到严重影响。本文将该信噪比阈值视作算法抗噪声鲁棒性的体现,进而可以发现,文献[6]的抗噪声鲁棒性要优于本文所提算法。然而,文献[6]的算法依赖于精准的时延器,这无疑加大了其在实际部署中的难度。而本文方法不需要精准的时延器件,便于实际部署。此外,本文所提方法的抗噪声鲁棒性优于文献[10],这主要因为二者关注的子空间类型不同:前者关注噪声子空间,而后者关注信号子空间。当信噪比较低时,噪声子空间的估计更准确,故而本文方法相较于文献[10]具有更强的抗噪声鲁棒性。同时从图6可以看出,当信噪比大于-5 dB时,本文算法相较于其他对比算法取得了较为明显的性能增益。这反应了本文阵列结构具有大孔径的优势。此外,考虑到实际中通信频段不断提高的趋势,本文级联互素阵列的稀疏布置形式更有利于减轻通信时阵元间的互耦效应。

图6 估计误差随信噪比的变化曲线Fig.6 Estimation error curves versus signal to noise ratio

5 结 论

本文提出了一种基于L型级联互素阵列的空时欠采样的载频和DOA联合估计器,有效地增大了阵列的孔径。通过结合虚拟ULA意义下的伪噪声空间、root-MUSIC和类波束生成源匹配法,本文以一种全解析的方式得到了信源的载频和DOA。仿真实验对比了本文算法与基于ULA的算法在不同条件下的估计性能,展示了所提方法在一个适度信噪比条件下即可显著地降低载频和DOA联合估计的误差,因而在对精度要求较高的场合,比如无源定位、移动通信等领域有广泛的应用前景。然而,由于本文算法涉及手动参数配对,未来将在参数的自动配对方面努力。