基于奇异值分解的复杂充填尾砂级配综合表征方法

肖柏林 ，苗胜军 ，吴凡 ，高谦

(1.北京科技大学 土木与资源工程学院，北京 100083；2.北京科技大学 金属矿山高效开采与安全教育部重点实验室，北京 100083；3.北京科技大学 城市地下空间工程北京市重点实验室，北京 100083)

在采矿绿色化、深部化、智能化的背景下，胶结充填开采是当前金属矿开采的一种主流采矿方法[1]。矿山充填的骨料矿山以尾砂为主，辅以掘进废石、选冶废渣、戈壁集料、河砂、风砂等材料[2]，在颗粒级配、外观形貌、物化特性、矿物成分等多方面千差万别，这是矿山充填骨料的重要特征。

作为对比，以混凝土的骨料为间断级配的砂石料，以粒径4.75 mm 为界分为碎石和细砂两部分，粗砂质量分数一般为30%～40%，具有标准配合比设计[3]。关于骨料级配的研究，国内外学者基于紧密堆积理论，先后提出了Fuller 堆积曲线、Talbol 理论、粒子干涉理论、k法、n法、i法、Superpave 法、贝雷法等多种混凝土骨料级配优化设计方法[4-5]；其中，泰波理论分析和试验结果表明，指数n=0.35～0.5时具有较高的密实度，例如日本将n取值范围定为n=0.35～0.45，美国则将n=0.45作为制定标准级配的依据[6-7]。应用这些方法调控砂石料的级配可降低混凝土成本并提升性能[8]，然而，对矿山充填而言，尾砂的级配由选矿工艺决定，矿山充填骨料级配差，细颗粒多，可选择性低，不适合将尾砂进行多粒级筛分后应用这些级配理论进行重新组合配置。

众多研究表明，充填骨料的颗粒级配与料浆配合比设计、流变力学、输送阻力、充填体强度设计、力学蠕变等诸多关键问题息息相关[9-12]，实现对充填骨料级配的量化表征是探索这些机理的重要前提。常用GB/T 50145—2007“土的工程分类标准”中定义的不均匀系数Cu及曲率系数Cc差异将骨料分为级配良好(Cu≥5 且1≤Cc≤3)和级配不良(Cu和Cc取其他值)，并结合通过率为50%的粒径d50、通过率为90%的粒径d90和平均通过率对应的粒径dav等特征粒径对级配进行评价[13-14]；选矿中常用粒径＜75 μm颗粒含量(质量分数，下同)作为指标评价尾砂的粗细[15]；吴爱祥等[16]使用粒径＜20 μm细颗粒含量作为指标研究膏体流体力学特性，认为其质量分数必须大于15%；赵国彦等[17]使用分形维数表征尾砂级配分布情况；程爱平等[18]使用泰波指数n研究了不同级配充填体声发射特性；BIAN等[19]使用粒径＜20 μm颗粒含量和不均匀系数2个指标来描述超细全尾砂的粒级特性，研究了超细全尾砂的絮凝沉降规律；温震江等[20]用平均粒径和粒径分散系数2个指标研究了级配对充填料浆离析的影响；HU等[21]使用不均匀系数Cu研究了粒度级配对颗粒分离及岩屑崩落运动行为的影响。在国外，一般按粒径＜20 μm 颗粒含量为指标将尾砂 分 为 细(＞60%)、中(60%～35%)、粗(＜35%)尾砂3种[22-24]。

总之，目前普遍采用某一粒级含量来对复杂充填骨料的级配特征进行表征，该方法难以精确区分复杂尾砂的综合级配特性；若采用特征粒径、粒径＜20 μm 颗粒含量等关键粒级、分布指数等多个指标组合的方法也不利于开展充填骨料粒级差异影响的相关研究。为此，本文作者在国内外已有的研究基础上，通过对十多种实际矿山充填骨料的粒径级配特征进行分析，利用奇异值分解的数据挖掘算法建立一种级配综合表征方法，该指标仅有1 个参数，可对骨料粗细特征、分布特征、关键粒级特征等多方面进行综合评价；分别用文献数据及实验数据检验该方法的应用效果。该研究对复杂充填骨料级配表征与定量评价等基础问题的研究具有重要理论意义及工程应用价值。

1 实验设计与特征变换理论

1.1 实验方案

知识挖掘算法需采集一定量的数据样本，本文收集了金川等12 种国内金属矿常见的充填尾砂等骨料(以铁矿为主)，其外观形貌见图1，尾砂来源矿山见表1。

图1 12种矿山充填骨料形貌图Fig.1 Appearances of 12 filling aggregates

将各矿山现场充填站取样的尾砂置于45 ℃烘干箱烘72 h，按GB/T 15602—2008 及GB/T 14799—2005 规定的标准筛及筛分实验方法进行筛分，粒度75 μm 以下尾砂采用FBS-1076 型激光粒度分析仪分析，骨料的粒径分布曲线如图2所示，对每组样品进行3次筛分并取均值作为最终结果。

图2 12种充填骨料粒径分布曲线Fig.2 Particle size distribution curves of the 12 filling aggregates

根据分布曲线，采用插值法求得各骨料通过率分别为10%，30%，50%，60%，90%和95%的粒径d10，d30，d50，d60，d90和d95以及粒径＜4 750 μm颗粒含量、粒径＜75 μm颗粒含量、粒径＜20 μm颗粒含量，计算平均通过率对应的粒径dav、不均匀系数Cu、曲率系数Cc，用泰波函数式(1)对指数n进行拟合。

式中：Pi为i级粒径的通过率，%；Di为第i级颗粒直径，μm；Dmax为骨料的最大粒径，这里取d95，μm；n为泰波级配指数。

充填骨料粒径特征结果如表1所示。

表1 12种充填骨料粒径特征Table 1 Particle size characteristics of 12 filling aggregates

1.2 基于奇异值分解的特征变换原理

奇异值分解(singular value decomposition，SVD)在人工智能中广泛应用，是一种无监督学习的机器学习算法，用于数据挖掘分析[25]。SVD 算法通过对样本矩阵分解变换成3个子矩阵：

其中：A为样本矩阵，m为样本数，d为特征维度；U和V均为酉矩阵；D为由奇异值组成的对角矩阵。

为了实现该变换，注意到A为非方阵，将其转置相乘为方阵，有

由式(3)可得

由式(4)可发现矩阵U由矩阵AAT的所有特征向量构成，矩阵V由矩阵ATA的所有特征向量构成，而矩阵D为由矩阵AAT或ATA的所有特征值开根号组成的对角矩阵。

通过以上分解可知，原始样本矩阵A的奇异值类似于特征值；奇异值在矩阵D中从大到小排列。类似于主成分分析中选择特征值大于1 的特征向量，通过选取最大的前k(k≤d)个奇异值和对应的奇异向量可实现对原矩阵A进行变换，得到特征空间Vk×m，选取合理的k可确保不丢失数据间的关键信息。

得到特征空间后，对于新的样本数据(Γi)1×d，可以通过式(5)进行变换，得到新样本在特征空间上的表示ψi：

此时，对不同样本之间的比较，只需比较它们在特征空间上ψi与ψj之间的差异。

1.3 充填骨料粒级特征分解变换

将表1 中参数进行奇异值分解，得到A12×13初始矩阵。为了去除中心化，按式(6)对A进行反余切归一化处理：

其中：aij为矩阵中第i行第j列的元素。

将归一化后的矩阵按式(4)和(5)进行奇异值分解，得到奇异值为(11.237 7，0.675 6，0.458 5，0.272 5，0.193 5，0.156 8，0.068 5，0.035 6，0.005 2，0.002，0.000 6，0.000 2)，及对应的奇异矩阵U12×12和V13×13。

2 结果分析与讨论

2.1 奇异值个数k对数据重构的影响

矩阵分解后获得的奇异值个数k小于等于原数据维度d，k越接近d，原数据的特征保留越多，重构后的数据失真越少。充填骨料最大奇异值为11.237 7，远大于其余11个奇异值。因此，保留第一个奇异值及其对应的奇异向量，按式(5)变换到特征空间后仅有1维，符合本文的主旨目标。为了验证k对数据信息失真率的影响，这里用k=1，2，3，4，5按式(7)对数据进行重构：

为方便验证，这里列出k=2 时的计算中间结果。A12×13为据表1 去中心化处理构成的矩阵，当k=2 时，D2×2是对角元素分别为11.237 和0.6756 的对角矩阵，利用式(3)可得k=2时的左、右奇异向量U12×2和VT2×13分别为(由于篇幅限制，通过四舍五入仅保留3位小数)：

然后，将重构后的AR与A采用式(8)所示的均方误差(mean square error,MSE)、峰值信噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)、能量恢复系数(energy restitution percentage,ERP)3 种参数[26]进行性能评价，结果见图3。

图3 不同k的数据重构性能评估曲线Fig.3 Performance evaluation curves of reconstructed data with different k

式中：EMS为均方差；RSN为峰值信噪比；PER为能量恢复系数。

从图3 可以看出，随着k的增大，均方差减小、能量恢复系数增大，k=1 重构的均方差仅为0.52%，能量恢复系数高达99.99%，表明数据信息损失基本可忽略，这与奇异值(λ1=11.23，λ2=0.68，λ1＞＞λ2)所预计的结果相一致。

因此，本文所讨论的复杂充填骨料奇异值仅需1 个，取右奇异矩阵的第一列V13×1=[-0.283 4，-0.368 0，-0.045 4，-0.702 2，0.230 3，0.401 2，-0.107 8，-0.230 4，0.006 8，0.078 8，0.023 8，0.016 3，0.056 7]T即为复杂充填骨料的特征空间；最终12 组归一化后样本在特征空间上对应的特征值ψ12×1=[-25.305 0，-20.982 8，-3.019 5，-6.331 6，-6.007 6，-10.506 2，-14.772 9，-7.596 3，-6.007 2，-6.381 3，-3.731 2，-8.127 8]T。可见，原每组骨料13 个粒级参数转变为特征空间上的1 维特征，包含了颗粒粒径、分布指数、关键粒级等综合信息。

2.2 聚类分析

全尾砂胶结充填广泛应用，尾砂级配是影响充填设计的重要参数，当前的主流评价方法是用粒径＜20 μm颗粒含量作为指标，A1～A12组骨料的分类结果见表2。

表2 12种充填骨料分类结果Table 2 Classification results of 12 filling aggregates

使用该方法显然忽略了尾砂粗颗粒含量、级配连续或间断等其他信息。例如A1、A2是金川特有的粗骨料，其d60高达2～4 mm，明显有别于全尾砂骨料。因此，直接用粒径＜20 μm 颗粒含量进行分类评价具有局限性。为了对比，用特征空间里的综合特征ψ12×1对样本进行Q 型聚类分析，得到的谱系图见图4。

图4 样本聚类分析结果谱系图对比Fig.4 Cluster dendrograms comparison of samples

由4可以看出：1) 聚类分析通过计算样本之间的距离对样本进行分类，比表2 中直接用粒径＜20 μm 含量进行分类更准确；图4(a)中将A4，A8 和A9 分为一组，这是因为这3 组的粒径＜20 μm 颗粒含量分别为32.7%，26.7%和37.2%，它们之间的差异或距离比其他样本更小；而表2 中A9 尾砂因粒径＜20 μm颗粒含量超过35%，被单独分为一组。

2) 聚类指标的选择直接影响聚类结果；用粒径＜20 μm颗粒含量作为指标的聚类方法最多分成3类Q1(A3，A11)、Q2(A4，A8，A9)、Q3(A1，A6，A2，A10，A7，A12，A5)，与表2 的结论类似，且Q3组间的差异无法进一步细分；而使用特征空间法的聚类方法分为Q1(A1，A2)、Q2(A6，A7)、Q3(A5，A9，A4，A10，A8，A12，A3，A11)，不仅把A1 和A2 准确分为同一组(粗粒多，细泥粒少)，将A6 和A7 粒级划分为同一组(粗粒、细泥粒适中)，而且Q3组(细尾砂多)还可以进一步划分为Q31(A3，A11)和Q32(其余)，Q31 的明显特征是粒径＜20 μm 颗粒含量高达60%以上的超细全尾砂。

显然，使用特征空间变换后的综合指标进行聚类分析得到的结果更加准确和合理，可有效区分不同尾砂粒级间的差异。

3 模型验证与应用

为了验证模型的健壮性及泛化能力(out-ofsample)，结合文献数据及室内试验数据对模型进行验证研究。

3.1 验证实验的骨料粒径特征与变换

采用文献[22]中配置的Mine A 矿山5 种尾砂，粒径＜20 μm颗粒含量为25%，40%，55%，60%和75%的尾砂编号依次为F-25，F-40，F-55，F-60和F-75，包含了国外分类中的粗、中、细3 种粒径。许多矿山在充填过程中采用粗细混合的办法以满足尾砂过细、采充平衡、强度优化等方面的需求[27]。马坑铁矿充填的全尾砂中掺1～3 mm间断级配的干抛粗尾砂。室内试验中掺量分别为10%，20%和30%，编号依次为C-10，C-20 和C-30。F-25，F-40，F-55，F-60，F-75，C-10，C-20和C-30这8组尾砂粒级特征如表3所示。

表3 验证实验的8种骨料粒级特征Table 3 Particle size characteristics of eight aggregates for verification test

将这8 种骨料的粒级特征组成8×13 的矩阵B，按式(6)进行归一化，然后乘以骨料特征空间矩阵V13×1(V13×1=[-0.283 4，-0.368 0，-0.045 4，-0.702 2，0.230 3，0.401 2，-0.107 8，-0.230 4，0.006 8，0.078 8，0.023 8，0.016 3，0.056 7]T)，最后经反归一化变换得到了这8组骨料在特征空间的综合映射ψ=[-6.572，-5.181，-3.651，-3.401，-2.943，-7.292，-7.774，-8.702]T。

文献[22]给出了这5 组骨料用矿渣复合水泥胶结的充填体强度与粒径＜20 μm 细颗粒含量的关系曲线，这里采用文献[22]中PCI/PCV-28d (drained)组的数据，使用2 种级配表征方法进行重新绘制，见图5。

图5 两种表示方法表征的骨料级配特征与强度关系曲线Fig.5 Relationship between strength and tailings grading features using two methods

从图5可以看出，特征空间变换后的级配特征与强度的线性关系更加突出。这是因为，充填体强度虽然可能与粒径＜20 μm 颗粒含量的关系最密切，但其他粒级范围的颗粒也可造成影响，文献[22]中的方法忽略了其他粒级的影响；而使用奇异空间变换后的特征值包含综合的级配信息，使用该特征值对充填体的性能影响的描述更加准确，规律性更强。

3.2 应用案例

为研究尾砂粒级对充填体强度及充填料浆流变特性的影响，用马坑铁矿全尾砂分别掺10%，20%和30%粗尾砂配置不同粒级尾砂，使用文献[28]开发的钢渣胶凝材料制备固体质量分数为72%、灰砂比为1∶6的充填料浆。

3.2.1 全尾砂级配综合特征对充填体强度的影响

将制备的充填料浆标准养护至14 d和28 d，然后按ASTM C109标准进行单轴抗压强度测试(压力机为三宇HYE-300 微机电液伺服压力机)，结果见图6。

从图6 可以看出，马坑铁矿全尾砂充填体的14 d及28 d强度与尾砂的综合粒级特征具有线性关系，且龄期越高线性关系越明显。这是因为早期强度还与水化反应密切相关；尾砂粒径影响了水化产物的类型和聚合形态的形成与变化[29]，进而影响了料浆体系的水化速率；到了后期，水化基本完成，强度与粒级的线性关系逐步稳定。

图6 马坑铁矿尾砂综合级配对充填体强度的影响Fig.6 Effects of tailings comprehensive grading characteristics on backfill strength in Makeng Iron Ore

3.2.2 全尾砂级配综合特征对料浆流变参数的影响

在室温环境中使用Brookfield 的RST-SST流变仪(VT-40-20型的叶片转子)对制备的料浆进行流变测试。流变仪使用控制剪切速率模式(CSR)，先将料浆在90 s-1的速率下剪切2 min，然后在90 s内将剪切速率线性均匀降为10 s-1，得到的数据用Bingham塑性体模型进行拟合，求得屈服应力及黏度系数如图7(a)所示；4 组料浆的尾砂级配综合特征与流变参数之间的关系曲线如图7(b)所示。

图7 马坑铁矿尾砂级配对料浆流变的影响Fig.7 Effects of tailings grading on slurry rheology in Makeng Iron Ore

从图7可以看出：充填料浆的初始屈服应力及黏度系数均随尾砂综合级配特征的减少而降低，其中，黏度系数与综合级配特征线性关系显著。使用部分粗尾砂替代细尾砂降低了尾砂的超细颗粒含量，超细颗粒间的范德华引力变小，因此，料浆絮凝黏结作用减弱，表现为流变参数的降低。

综上表明，使用映射到特征空间上的骨料级配综合表示方法可对骨料级配特征进行量化，不仅有利于更准确地开展尾砂级配对充填体或充填料浆各性能影响的机理分析，而且该方法具有较强的泛化能力，可实现对新骨料级配的快速综合表征与评价。

4 结论

1) 利用奇异值分解的方法，可将矿山复杂充填骨料级配参数映射到特征空间上的一维重构指标，重构后的特征能量恢复系数达99%，包含了原颗粒粒径、分布指数、关键粒级含量等综合信息。

2) 利用映射重构的指标可有效区分各尾砂级配间的差异，聚类分析的结果比传统方法有更多亚类，分类更准确、更合理；可实现在级配角度上对复杂充填骨料的精准细分。

3) 复杂充填骨料级配的特征空间为V13×1=[-0.283 4，-0.368 0，-0.045 4，-0.702 2，0.230 3，0.401 2，-0.107 8，-0.230 4，0.006 8，0.078 8，0.023 8，0.016 3，0.056 7]T；使用工程案例数据代入特征空间进行映射变换，得到的尾砂综合粒级特征与充填体强度的线性关系显著，料浆流变参数与综合粒级特征正相关，验证了该方法的较强泛化能力，可利用该特征空间实现对新骨料的快速综合表征与评价。