“信号与系统”课程教学实例

周云良 卢 昕

(武汉大学 电子信息学院， 武汉 430072)

“信号与系统”课程是武汉大学电子信息学院电子信息类相关专业(如电子信息工程、通信工程、电波传播与天线等)的一门技术基础课程，该课程的核心任务是要构建一座从数学到物理和工程技术的桥梁，引导学生从理论学习过渡到专业工程训练[1]。“信号与系统”课程理论性和实践性都很强，涵盖的知识点广，公式性质多，若以传统的教学方法和手段来教学，学生难免感觉枯燥乏味，造成学生学习积极性不高、教学效果大打折扣的局面。信号的频谱分析是“信号与系统”课程的重点和难点内容，它以傅里叶变换为工具，将信号由时域变换到频域，进而在频域分析信号的特征。在这部分内容学习的过程中，学生通常刚开始接触频域，对频域分析的基本概念和理论觉得抽象难懂，难以理解。针对上述问题，将介绍一种关于信号频谱分析的教学实例。该实例中，用太阳黑子数表征太阳活动强弱，利用频域分析方法来研究太阳活动的周期性；旨在将理论知识与实际应用问题相结合，深化学生对信号频域分析的相关概念和理论的理解。

太阳是太阳系的一颗恒星，太阳活动是指太阳大气中局部区域在有限时间内所发生的现象，包括太阳黑子、耀斑、日珥、日冕物质抛射等现象。其中，太阳黑子是日面上出现的小黑点，是光球中温度低、辐射弱、磁场强的区域。日面上太阳黑子的多少，即太阳黑子数，与太阳活动的剧烈程度存在密切的关系[2]，一直被广泛地被用作表示太阳活动高低的指数，它最早由瑞士苏黎世天文台的沃尔夫于1848年引入，也称为沃尔夫数，可表示为[2-4]

R=K(10g+f)

(1)

其中，f为日面上观测到的黑子个数；g为黑子群数；系数K随观测人员和观测仪器的不同而不同，以使不同天文台观测到的太阳黑子数相同。通过对太阳黑子数的长期观测，发现太阳活动具有周期性的变化规律，太阳活动的周期性变化对气象现象、气候变化和高层大气特征等产生显著影响[3]，因此对太阳活动周期性分析具有重要的意义。

将以1964-2021年期间太阳黑子数随时间的变化为研究对象，介绍太阳活动周期性分析的教学实例，旨在引导学生从实例出发，利用傅里叶变换和频域分析的相关概念和理论，分析和解决实际问题。用于分析的太阳黑子数从以下网站下载：https://omniweb.gsfc.nasa.gov/form/dx1.html。

1 傅里叶变换及其数值计算

傅里叶变换是信号频域分析的工具，它实现将信号由时域过渡到频域的变换，从而可在频域分析信号的特征。自1822年法国数学家傅里叶提出傅里叶分析方法后，该方法在物理学、光学、力学、信号处理等领域得到广泛而普遍的应用。傅里叶变换及其反变换的表达式为[1]

(2)

(3)

其中，f(t)是以时间t为变量的连续时间信号，F(ω)是以频率ω为自变量的函数，即f(t)的频谱密度函数。

(4)

假定F(ω)的主要取值区间位于[ω1,ω2]，并取Δω=(ω2-ω1)/K为频率抽样间隔，则在[ω1,ω2]区间内，F(ω)均匀抽样的K个值可表示为[5]

(5)

其中，k=0，1，…，K-1。根据(5)式，可计算得到信号f(t)抽样后的频谱变化特征。

(6)

若只考虑时域抽样点上N个采样值，则有[5]

(7)

其中，n=0，1，…，N-1。根据(7)式可以合成出原时域信号。

可见，在已知时域抽样信号的条件下，根据傅里叶变换的数值计算方法，可得到时域抽样信号的频谱；另一方面，由上述频谱通过傅里叶反变换的数值计算方法可合成出原时域信号。

2 太阳活动的周期性分析

在介绍完傅里叶变换及其数值计算方法后，下面将其应用于太阳活动的周期性分析。这里用太阳黑子数表征太阳活动的剧烈程度，重点分析1964年1月1日到2021年4月30日期间太阳黑子数日均值的变化特征，利用傅里叶变换的数值计算方法计算太阳黑子数变化的频谱，在此基础上可获得其主要的频率分量，进而确定太阳活动的周期。

图1所示为1964年1月1日到2021年4月30日期间太阳黑子数的日均值随时间的变化。

图1 太阳黑子数日均值随时间的变化

由图1可见，太阳黑子数的日均值通常在0～400之间变化；1964年初，太阳黑子数较少，随后太阳黑子数增加，在1969年左右太阳黑子数接近300，达到峰值；在此之后，太阳黑子数逐渐减少，在1975年左右太阳黑子数接近0，达到谷值。在1964年到2020年近57年期间，太阳黑子数随时间变化出现5个峰值，分别出现在1969年、1980年、1990-1991年、2000-2001年、2014年附近；同时在此期间出现6个谷值，分别出现在1964年、1976-1977年、1986-1987年、1996-1997年、2008-2009年、2020年附近。可见，太阳黑子数随时间的变化，即太阳活动的强弱，呈现周期性变化特征，由图1中相邻两个峰值或谷值之间的时间间隔，可大致判断出太阳活动周期平均约为11年。

图2 太阳黑子数变化的幅度谱

由图2可见太阳黑子数变化的幅度谱在低频端(ω=0附近)出现明显的峰值，为了清晰地观察太阳黑子数变化的主要频率成分，聚焦低频端的幅度谱，如图3所示。由图3可见太阳黑子数变化幅度谱的峰值出现在ω=1.7364×10-8rad/s附近，表明主要成分的频率为f=2.7636×10-9Hz，对应的周期约为11.47年。这与图1中太阳黑子数随时间变化的特征相符。

图3 太阳黑子数的幅度谱在峰值附近的变化特征

根据(7)式可知，由傅里叶变换数值计算方法得到的频谱可合成恢复出太阳黑子数随时间的变化。图4中给出了合成恢复后的太阳黑子数随时间的变化。将图4中合成恢复后的太阳黑子数与图1中显示的原始太阳黑子数对比，可见合成恢复后的太阳黑子数能很好地重现原始太阳黑子数的幅度及其随时间的变化特征。图5中给出了合成恢复后的太阳黑子数和图1中原始太阳黑子数的差别，二者之间的差别约小于0.06。这些表明，通过傅里叶变换数值计算得到的频谱能表征太阳黑子数变化的频域特征，时域信号与频域信号之间通过傅里叶变换可以相互转换，图2和3中的幅度谱可用来确定太阳活动的主要频率成分和对应周期。

图4 合成恢复的太阳黑子数随时间的变化

图5 原始的太阳黑子数与合成恢复后的太阳黑子数之间的差别

3 结语

信号的频谱分析是“信号与系统”学习课程中的重点和难点内容，在学习这部分内容时，由于学生刚接触频域的分析方法，很难较好地理解信号频域分析的所涉及的抽象概念和理论。针对上述问题，介绍了一种信号频谱分析的教学实例，即太阳活动的周期性分析。该实例中以太阳黑子数表征太阳活动性的强弱，引导学生利用傅里叶正变换的数值计算方法，得到太阳黑子数变化的频谱，在此基础上确定太阳活动变化的主要频率分量和对应的周期。此外，也可通过傅里叶反变换的数值计算，实现由上述频谱合成恢复出原太阳黑子数随时间变化的特征。通过该教学实例，学生能更好地理解信号既可从时域描述也可从频域来描述、从时域描述的信号可反映信号随时间变化的特征、从频域描述的信号可以确定信号的主要频率成分和对应的周期、傅立叶正反变换提供了信号的时域描述和频域描述之间相互转换的工具等基本概念和基本理论。该教学实例注重理论与实践相结合，可提高学生的学习兴趣，同时又有利于培养和锻炼学生利用理论知识解决实际问题的能力。