基于扰动观测器的固定时间控制器设计

张雯雯, 吴中华, 卜旭辉

(河南理工大学，河南 焦作 454000)

0 引言

稳定性、准确性(控制精度)与快速性(瞬态性能)是衡量控制系统品质的3项重要指标。在系统稳定的前提下，有限时间控制由于具有收敛速度快、跟踪精度高等优点被广泛应用[1-6]。为实现有限时间控制，控制律设计往往采用小于1的分数幂项。但虚拟控制律反复求导会引起控制律奇异问题，且有限时间控制的收敛时间与系统初始条件密切相关，若初始状态远离其平衡点，会导致系统收敛时间大幅增加。因此，不依赖系统初值的固定时间控制方法迅速成为当前的研究热点。文献[7]给出了固定时间稳定的定义，以及相关定理;文献[8]将固定时间理论用于多输入多输出系统；文献[9]利用固定时间稳定理论，针对一类非线性系统设计了非奇异终端滑模控制器;文献[10]提出了一种平滑切换方法有效地避免了反演控制中的奇异问题;文献[11]利用上述平滑切换策略，针对一类严格反馈非线性系统提出了基于反演控制的固定时间跟踪控制算法，但该算法在设计过程中需要求解n元方程来获取切换系数，大大增加了控制器设计中参数的数量，不利于工程实现，且上述基于平滑切换的固定时间控制算法未考虑外界扰动对系统的影响。因此，对不含分数次幂项的光滑反演固定时间控制器设计方法需进一步深入探讨。

扰动观测器作为解决系统外界干扰的有效途径之一，其相关方法得到了广泛应用[12-16]。文献[17]针对具有外部扰动的非线性系统设计了扰动观测器，保证系统内所有信号的一致渐近收敛性;文献[18]提出反步法与扰动观测器相结合的复合控制策略，有限时间内收敛提高了闭环系统的收敛速度和抗干扰能力;文献[19]研究了具有非匹配扰动的二阶多智能体系统固定时间跟踪问题，为避免奇异问题设计了新型滑模面。但上述扰动观测器仅能应用于二阶以下低阶系统，不能直接扩展到适用于反演控制算法的高阶严格反馈非线性系统(若扰动观测器中包含小于1的分数次幂，反演虚拟控制求导仍会引起奇异问题)。因此，对具有外界非匹配扰动的严格反馈非线性系统扰动观测问题需要进一步深入研究。

针对上述问题，本文提出一种改进扰动观测器的设计方法，有效消除了外界非匹配扰动的不利影响。

1 问题描述及预备知识

1.1 问题描述

考虑如下外部非匹配扰动的非线性系统

(1)

注1 在实际的工业生产过程中，许多系统的数学模型或可以转换为系统，并通常包含扰动。如文献[20]中的单机无穷大总线电力系统，文献[21]中的机器人系统等。

注2 匹配扰动是指扰动和控制输入在同一通道进入系统，而在实际系统中常常遇到非匹配扰动，如磁悬浮系统[22]和液压伺服系统[23]。

针对具有外界非匹配扰动的严格反馈非线性系统，设计一种改进扰动观测器与不含分数次幂项的固定时间反步控制算法，将观测扰动估计值补偿到标称反步控制中以达到消除外界扰动、实现闭环系统固定时间收敛的目的。为方便书写，下文中的时间t均被省略。

1.2 预备知识

考虑如下系统

(2)

式中:x(t)∈Rn,是系统状态变量;f(x(t))表示已知非线性光滑函数;x(0)=x0,为系统的初始状态。

引理1[24]假设存在一个连续可微光滑的正定函数V(x)，有

(3)

式中，x∈Rn，υ1>0，υ2>0，p>1，0

(4)

引理2[25]设x∈R,y∈R，m>1，n>1，且满足(m-1)(n-1)=1，ε>0，则有

(5)

引理3[26]对于任意的常数ε>0，及任意变量z∈R，有如下不等式成立

(6)

引理4Cauchy-Schwarz不等式,对于任意xi≥0，i=1,2,…,n，有

(7)

引理5[27]对于xi∈R，i=1,2,…,n以及l∈[0,1]，有

(8)

2 固定时间控制器设计

为消除非匹配扰动对系统的影响，首先,设计固定时间扰动观测器对扰动进行在线估计；然后，结合扰动观测器估计值，运用反步法设计不含分数次幂项的光滑实际固定时间控制器；最后，采用Lyapunov方法对系统稳定性进行分析。

2.1 固定时间控制器设计

2.1.1 扰动观测器设计

针对非匹配外界扰动，设计新型扰动观测器为

(9)

(10)

(11)

扰动误差的导数可表示为

(12)

2.1.2 复合控制器设计

1) 步骤1。构造如下Lyapunov函数

(13)

对式(13)两端求导，可得

(14)

(15)

式中,ε1>0,ζ1>0,k1>0,K1>0，皆为设计的参数变量。

将式(15)代入式(14)，可得

(16)

(17)

(18)

式(16)中，

(19)

由引理2可知

(20)

故式(19)转化为

(21)

(22)

将式(17)代入，可得

(23)

2) 步骤i。2≤i≤n-1：选择第i个子系统的Lyapunov函数为

(24)

Vi对时间的导数可表示为

(25)

设计扰动观测器和虚拟控制律分别为

(26)

由引理2和引理3，式(26)代入式(25)可写为

(27)

3) 步骤n。选择第n个子系统的Lyapunov函数为

(28)

式(28)求导可得

(29)

(30)

且有

(31)

结合引理2和引理3及式(30)～(31)，则式(29)为

(32)

2.2 稳定性分析

定理1若系统满足1.1节假设1，其扰动观测器及控制律分别设计为式(9)及式(10)，则根据引理1，系统为固定时间收敛。

证明:定义闭环系统的Lyapunov函数为

(33)

对Vn两端求导，可得

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

根据引理4和引理5有

(39)

结合引理1，收敛时间为

(40)

3 数值模拟及仿真实例

本文通过Matlab对比仿真验证所提复合控制算法的有效性(对比算法为文献[28])。分别通过数值模拟系统和仿真实例——倒立摆系统[29]进行仿真。选择合适的系统控制参数，在初始值不同情况下分别得出系统输出、控制输出曲线，通过对比系统稳定时间来表明所提扰动观测器的优点，验证所提扰动观测器的实用性。

3.1 数值模拟系统

为验证所提扰动观测器和控制律的优越性，考虑一个数值模拟系统

(41)

系统在3种不同情况下的初始状态分别定义为x(0)=[0.20.1]，x(0)=[0.50.5]，x(0)=[1.51.5]。

控制器参数设计如表1所示。

表1 控制器参数(式(41))Table 1 Controller parameters (Formula (41))

仿真结果如图1、图2所示。

图1 系统输出对比Fig.1 Output comparison

图2 控制输入对比Fig.2 Control input comparison

图中，x(0)为本文算法初始状态，x′(0)为对比算法初始状态。图1为本文算法输出y和对比算法输出ys，图2为本文算法控制输入u和对比算法控制输入us。由仿真观测结果可看出，当初始值不同时，本文算法可以在1.5 s内快速收敛，并保持稳定，具有更强的抗干扰能力，增强了系统的鲁棒性。

3.2 仿真实例——倒立摆系统

本节采用倒立摆模型验证所提复合控制算法的有效性。根据文献[29]，倒立摆系统模型为

(42)

式中:V为倒立摆转枢处垂直向下的力；H为水平方向的力；M为车的质量；m为倒立摆的质量；l为倒立摆的长度；J=ml2/3，是关于重心的转动惯量;y为转枢的位移；θ为倒立摆的角位移(顺时针方向测量)；g为重力加速度;u为水平推力。

(43)

式中:f为非线性光滑函数；b为系统输入u的系数

(44)

(45)

对比算法与3.1节相同，控制器参数设计如表2所示。

表2 控制器参数(式(43))Table 2 Controller parameters (Formula (43))

仿真结果如图3、图4所示。图3为系统输出轨迹对比，图4为控制输入轨迹对比。由图3～4可知，当状态初始值不同时，对比算法收敛速度较快，在2.5 s系统进入稳定状态，而本文算法所提出的固定时间控制使系统在1.5 s进入稳定状态。综上，本文所设计的基于固定时间收敛的扰动观测器具有更好的控制性能，能够满足快速性和高精度的任务需求。

图3 系统输出轨迹对比Fig.3 Output comparison

图4 控制输入轨迹对比Fig.4 Control input comparison

4 结论

本文针对具有外界非匹配扰动的严格反馈非线性系统，设计了一种改进固定时间扰动观测器，提出了结合扰动观测器与反演控制器的复合控制方案。在避免奇异问题的基础上实现固定时间收敛，通过定义合适的Lyapunov函数证明了扰动观测器的稳定性，完成了不同初值下扰动观测器的仿真测试。仿真结果表明，本文所提出的扰动观测器和控制器具有收敛速度快、结构简单、易于工程实现的优点。