OFDM系统中基于子空间加权的时延估计算法

苏 佳，李 铭，侯艳丽

(河北科技大学信息科学与工程学院，河北石家庄 050018)

正交频分复用(OFDM)技术因其具有复杂度低、频谱效率高以及抗多径干扰等特点，近年来广泛应用于移动通信系统、全球互联微波接入、无线局域网络、卫星通信系统以及测距系统[1-5]。在一些军用或民用领域中，人们对实现精确测距的要求越来越多，尤其是在地下或室内场景中。OFDM测距系统具有精度高、实时性好、抗信道衰落等优点，成为无线测距定位领域研究的热点。在OFDM测距系统中，时延估计是完成精确测距的关键技术。因此，关于OFDM系统中的高精度时延估计算法的研究具有极大的实际应用价值。

传统的时延估计算法原理比较简单，然而受多径效应和系统带宽等因素的影响，算法的时延估计性能不够理想[6]。为了获得高精度的时延估计，研究人员提出将超分辨率算法用于OFDM系统的时延估计中，主要包括：多重信号分类(MUSIC)算法[7-10]、求根MUSIC算法[11-12]、PM(propagator method)传播算子算法[13-14]和旋转不变技术估计信号参数(estimation of signal parameters via rotational invariance technique,ESPRIT)算法[15-17]等。文献[18]提出了将MUSIC算法用于OFDM系统中，来实现时延估计。在此基础上，文献[19]提出了利用PM算子进行OFDM系统的时延估计，降低了算法的复杂度，但在低信噪比条件下时延估计性能较差。文献[20]通过将PM算子与求根MUSIC算法结合起来，无需特征值分解，同时，可以通过多项式求根得到时延估计值代替复杂的谱峰搜索过程来降低复杂度，但是，低信噪比条件下算法的性能有所下降。

基于此，为了提高低信噪比条件下OFDM系统的时延估计性能，提出一种基于子空间加权的时延估计算法。算法通过对噪声子空间和信号子空间加权来构造伪谱，进行谱峰搜索得到时延估计值，通过仿真试验验证所提算法的性能。

1 系统模型

有N个正交子载波的OFDM信号的时域表达式为

(1)

式中：bk表示OFDM信号的第k个子载波上调制的复信号；f0+k/T,k=0,1,…,(N-1)表示第k个子载波的频率；T为OFDM符号长度；TG为循环前缀的长度。

多径条件下的信道模型为

(2)

式中：用Lp表示信道的多径个数；ai和τi分别对应第i条路径的复衰落系数和传播时延，τ0为首径的时延。

经过信道后的OFDM信号y(t)为

(3)

式中：nk(t)为第k个子载波上均值为0、方差为σ2的加性复高斯白噪声。

y(t)经过FFT变换后，第k个子载波上的接收数据为

(4)

因此，第k个子载波上的信道频域响应估计可以表示为

(5)

式中：Hk为真实频域信道冲击响应。

将上式写成向量形式为

(6)

其中，V为子载波流形矩阵。

(7)

信道频域响应估计的协方差矩阵Rxx为

(8)

其中，Raa=E{aaH}。对Rxx进行特征值分解得：

(9)

研究分析表明，Rxx的特征值具有如下分布[7]，

λ0≥λ1≥…≥λLp-1=λLp=…=λN-1=σ2。

(10)

式(9)中：ΛS由前Lp个较大的特征值组成，ΛS=diag[λ0,λ1,…,λLp-1]；ΛN由后N-Lp个较小的特征值组成，ΛN=diag[λLp,λLp+1,…,λN-1]。

信号子空间US=[u0,u1,…,uLp-1]由前Lp个较大的特征值对应的特征向量构成；噪声子空间UN=[uLp,uLp+1,…,uN-1]由后N-Lp个较小的特征值对应的特征向量组成。

信号子空间US、噪声子空间UN和流形矩阵V的关系如下[7]：

span(V)=span(US)，

(11)

span(US)⊥span(UN)。

(12)

2 基于子空间加权的MUSIC时延估计

2.1 传统MUSIC算法

传统的MUSIC算法[8]的伪谱函数定义为

(13)

伪谱PMUSIC会在时延处形成尖锐的谱峰值，而在其他地方的谱值相对较小，谱峰搜索得到的第1个峰值对应的τ值即为首径的时延估计值。

进行OFDM信号的时延估计，首先需要获得信道频域响应估计的协方差矩阵Rxx，然后对其特征分解，基于式(13)进行谱峰搜索得到时延估计值。实际应用中Rxx通常用K次快拍数据来估计：

(14)

2.2 基于子空间加权的MUSIC算法

在理想条件下，信号子空间和噪声子空间相互正交，首径处时延峰值明显，进行谱峰搜索可得到时延估计值。然而在小快拍数或低信噪比的实际条件下，估计的协方差矩阵会与理想条件下存在一定的偏差，造成信号子空间US和噪声子空间UN并不能完全正交，首径与第2径的谱峰容易发生混叠现象，时延处谱峰不够明显，谱峰搜索存在误差，导致MUSIC算法的估计性能下降。针对低信噪比条件下OFDM系统利用MUSIC算法进行时延估计时算法性能下降的问题，提出一种基于子空间加权的MUSIC算法——WMUSIC算法。

2.2.1 WMUSIC算法描述

该算法主要包括2部分：对噪声子空间进行加权和对信号子空间加权。算法的具体描述如下。

1)噪声子空间加权

(15)

式中：n为加权指数，uLp,uLp+1,…,uN-1为噪声子空间中的特征向量；λLp,λLp+1,…,λN-1为噪声特征值。则GλGλH可以表示为

(16)

(17)

在信噪比较低的非理想情况下，可以通过选取合适的加权指数n来调节其相对应的噪声特征向量对伪谱函数的作用大小，进而最大程度上减小GλGλH的值，即起到抑制噪声的作用。研究表明，当0<|n|≤1时，噪声子空间加权后的MUSIC算法性能较好[21-22]。

2)信号子空间加权

通过对噪声子空间加权在一定程度上提高了算法的时延估计性能，为进一步提升算法的稳健性，考虑充分利用信号子空间的信息。通过信号特征值的倒数对信号子空间加权，将削弱最大特征值对应的时延处峰值，同时加强其他路径时延的峰值，从而加深首径和第2径之间的“凹陷”程度，提高多径时延的分辨能力。

信号子空间的加权值为

(18)

则信号子空间的伪谱函数为

(19)

将式(19)与式(17)相结合，得到WMUSIC算法伪谱函数为

(20)

2.2.2 WMUSIC算法步骤

WMUSIC算法的具体步骤可归纳如下：

步骤1 通过K次信道估计获得K个快拍数据，利用式(14)得到协方差矩阵Rxx；

步骤2 对Rxx进行特征值分解，利用式(9)得到US，UN，ΛS和ΛN；

步骤3 利用式(15)对噪声子空间加权，通过噪声特征值的幂级数对其相对应的特征向量加权得到Gλ；

步骤4 利用式(18)得到信号子空间的加权值W，并对信号子空间加权；

步骤5 基于式(20)得到PWMUSIC，进行谱峰搜索得到时延。

2.3 复杂度分析

表1 2种算法的复杂度对比Tab.1 Comparing the complexity of the two algorithms

MUSIC算法和WMUSIC算法的计算复杂度主要体现在协方差矩阵的构造、特征分解和谱峰搜索3个部分。2种算法的复杂度对比如表1所示。其中，N为子载波个数，K为快拍数，Wt为时延搜索网格数。由表1可知，2种算法的复杂度相当。

3 仿真实验验证

3.1 参数设置

在MATLAB环境下，对OFDM系统进行建模，并对所提算法进行仿真验证。采用16QAM调制方式，设置子载波数N=512，循环前缀长度为128，OFDM符号长度T=6.67 μs，载波频率f0=2 GHz，设置加权指数n=1。

采用均方根误差(root mean square error，RMSE)来对算法的性能进行评估，其定义为

(21)

3.2 实验设计与结果分析

图1 两径条件下2种算法的伪谱Fig.1 Pseudo spectrum of two algorithms with two paths

实验1 设置2条路径，时延设置为150 ns和180 ns，复衰落系数为1和0.5，快拍数为512。在信噪比为-5 dB时，分别采用MUSIC算法和WMUSIC算法进行OFDM系统的时延估计，得到2种算法的伪谱曲线局部放大图，如图1所示。从图1可以看出，当信噪比为-5 dB时，MUSIC算法的伪谱谱峰产生混叠，不能有效区分两径，谱峰搜索得到的峰值偏离真实的时延，因此无法得到准确的时延估计值；而WMUSIC算法能够准确区分两径，在150 ns和180 ns处均具有明显峰值，可以通过谱峰搜索得到较为准确的时延估计值。这是由于WMUSIC算法通过噪声子空间加权抑制噪声，同时利用信号特征值倒数对信号子空间加权增加了两径之间的“凹陷”程度，有效解决了MUSIC算法存在谱峰混叠的问题。

图2 两径条件下2种算法的RMSEFig.2 RMSE of two algorithms with two paths

实验2 实验条件同实验1，设置信噪比范围为-8～16 dB，Monte Carlo仿真次数M=200，分别采用MUSIC算法和WMUSIC算法进行OFDM系统的时延估计，2种算法的首径时延均方根误差曲线如图2所示。由图2可知，随着信噪比的增加，2种算法的时延估计性能均有所提升。这是因为随着信噪比的增加，噪声对时延估计性能的影响逐渐降低，因此均方根误差随之减小。同时WMUSIC算法的性能明显优于MUSIC算法，且信噪比越低，WMUSIC算法的改善效果越明显。在信噪比为-8 dB时，WMUSIC算法的时延估计均方根误差为2.16 ns，估计精度相较于MUSIC算法提高了71.46%。

实验3 设置3条路径，时延分别为140，180和220 ns，复衰落系数为1，0.6和0.4，快拍数为512，在信噪比为-8～16 dB时，分别采用MUSIC算法和WMUSIC算法进行OFDM系统的时延估计，进行200次Monte Carlo仿真实验得到的首径时延均方根误差如图3所示。由图3可以看出，3条路径时，2种算法的时延估计性能均随着信噪比的增加而提高，WMUSIC算法的时延估计精度更高。在信噪比为-8 dB时，WMUSIC算法相较于MUSIC算法的时延估计精度提高了19.48%。

由实验2和实验3的仿真结果可以看出，与MUSIC算法相比，WMUSIC算法通过子空间加权处理，改善了信号子空间和噪声子空间的正交性，可以通过谱峰搜索得到较为准确的首径时延估计值，减小了时延估计误差，提高了时延估计精度。

图3 三径条件下2种算法的RMSE Fig.3 RMSE of two algorithms with three paths

实验4 设置信噪比为-5 dB，快拍数为512∶256∶2 048，其他实验条件同实验3。采用MUSIC算法和WMUSIC算法分别进行OFDM系统的时延估计，得到时延估计均方根误差随快拍数的变化曲线如图4所示。从图4中可以看出，在信噪比相同的情况下，2种算法的时延估计精度均会随着快拍数的增加而提高，WMUSIC算法的时延估计均方根误差明显低于MUSIC算法，时延估计性能更优。所提算法相较于MUSIC算法在快拍数为512条件下，时延估计均方根误差由5.47 ns降为4.29 ns；在快拍数为2 048条件下，时延估计均方根误差由4.51 ns降为3.27 ns。说明通过对伪谱的修正，所提算法在不同快拍条件下均可以获得较为准确的首径峰值，具有更好的时延估计精度，验证了所提算法的有效性。

4 结 语

图4 不同快拍条件下2种算法的RMSE Fig.4 RMSE of two algorithms with different snapshots

为了解决在低信噪比情况下，OFDM系统在利用MUSIC算法进行时延估计过程中性能下降的问题，在MUSIC算法基础上，提出了一种基于子空间加权的时延估计算法——WMUSIC算法。该算法通过噪声特征值的幂级数对噪声子空间进行加权；同时利用信号特征值的倒数对信号子空间加权，实现对MUSIC算法伪谱的修正。仿真结果表明，在低信噪比情况下，与MUSIC算法相比，WMUSIC算法在不同路径数以及不同快拍条件下均能够通过谱峰搜索得到较为准确的时延估计值，具有更高的时延估计精度。所提算法在一定程度上解决了MUSIC算法在低信噪比条件下由于信号子空间和噪声子空间不完全正交，导致谱峰搜索存在误差、时延估计性能下降的问题，有效提高了时延估计的精度，具有一定的实际应用价值。

本文算法和MUSIC算法一样需要通过特征值分解和谱峰搜索过程获得时延估计值，没有改善计算复杂度，未来将考虑在保证时延估计精度的基础上降低算法复杂度，研究出一种适应实时计算要求的算法。