导数中不等式问题常见的证明策略

浙江省诸暨中学暨阳分校

沈宝伟

导数中的不等式证明问题经常出现在高中数学解答题中，常常和函数零点、极值等不同知识点结合考查.导数中的不等式证明问题虽然难度较大，但有关解答问题的思路多种多样.针对不同的问题，采取不同的解题方法，往往能达到事半功倍的效果.本文中将对3道不同例题进行分析，分别阐述证明导数不等式问题的四种不同解题策略.

1 构造函数法

利用构造函数方法证明导数不等式问题，主要是通过对不等式的变形加以构造函数.如，要证f(x)≤g(x)可以转化为证明F(x)=f(x)-g(x)≤0.进一步对F(x)在对应区间的单调性和极值进行探究，得到F(x)值域的上界，就能证明原不等式成立.

例1已知函数f(x)=aex+2x-1，其中e是自然对数的底数.求证：对任意的a≥1，当x>0时，都有f(x)≥x(x+ae).

综上所述，对任意a≥1，都有f(x)≥x(x+ae)成立.

思考：上述问题求解中，把证明不等式问题转化为函数极值求解问题，正是借助了构造函数的方法和思路，具有一定的借鉴意义.应该注意的是，解题过程中，aex-x-1≥ex-x-1运用了放缩思想，使问题求解更直接，值得反复推敲并学习.

2 切线放缩法

所谓切线放缩法，主要指利用函数在指定点附近对应的切线在函数图象的一侧的特点，进行去指数化、去对数化，从而对导数中不等式证明问题进行求解.如求证xlnx≥asinx-1时，由于f(x)=xlnx在x=1处切线方程为y=x-1，且xlnx≥x-1，对此所证不等式可以转化为x-1≥asinx-1，进而求证即可.运用函数切线特点放缩不等式，能使解题思路变得更加清晰直观.

分析：通过简化首先得到xlnx>asinx-1，此时对h(x)=asinx-1单调性进行分析，得到ax-1>asinx-1.由y=x-1是函数f(x)=xlnx在x=1处的切线，因此可以把y=x-1和y=ax-1进行比较，就可以证明f(x)>g(x).

令h(x)=x-sinx(x>0)，则h′(x)=1-cosx≥0，所以函数h(x)在(0，+∞)上单调递增.故h(x)>0，即x>sinx(x>0).

于是当0asinx-1(x>0).

令m(x)=xlnx-x+1，则m′(x)=lnx.当x∈(0，1)，m′(x)<0，函数m(x)在上(0，1)单调递减；当x∈(1，+∞)，m′(x)>0，函数m(x)在上(1，+∞)单调递增.故m(x)≥m(1)=0，即xlnx≥x-1，当且仅当x=1时等号成立.

因为0

由xlnx≥x-1≥ax-1和ax-1>asinx-1(x>0)，可得xlnx≥x-1≥ax-1>asinx-1.

所以，当0g(x)成立.

3 主参互换法

主参互换方法的运用解答，关键在于把需要证明的不等式中参数与变量的位置关系进行互换，如证明f(x)≥a，可以结合具体解析式转化为g(a)≤0的等价不等式，通过证明与参数有关的等价不等式成立，从而对问题做出具体充分的解答.主参互换思路的运用，能使不等式问题的解题过程更加直观.

例3已知函数f(x)=ln(ax)-x+a，当0≤a≤1时，试证明：f(x)≤(x-1)ex-a-x+a.

分析：首先结合具体函数解析式将需要证明的不等式看作与参数a有关的等价不等式证明问题，即在0≤a≤1范围内证明不等式ln(ax)≤(x-1)ex-a成立，考虑构造函数g(a)，分情况讨论x在不同取值范围下g(a)的取值范围，证明g(a)≥0，即可对问题做出解答.

解：以a为主元，不等式等价于

ln(ax)≤(x-1)ex-a，

令函数g(a)=(x-1)e-a+x-lna-lnx，则

①当x≥1时，g′(a)<0，g(a)≥g(1)=

(x-1)ex-1-lnx，

以x为主元，令函数h(x)=(x-1)ex-1-lnx.

故g(a)=(x-1)e-a+x-lna-lnx≥0.

②当0

令函数q(x)=(x-1)ex，由q′(x)=xex>0可知q(x)∈(-1,0)；

由g′(a)<0，可得函数g(a)单调递减，故g(a)≥g(1)=(x-1)ex-1-lnx.

故g(a)≥g(1)=(x-1)ex-1-lnx=0.

综上，所证不等式成立.

4 分析最值法

分析最值方法的运用，主要体现在解题过程中把不等号两边的解析式分别看做两个函数，如要证g(x)≥h(x)成立，即证gmin(x)≥hmax(x).分别对两个不同函数的单调性和极值进行分析，进而证明所证不等式成立.具体解题方法在问题中的运用，如例4所示.

分析：要证不等式f(x)>lnx，可以看成f(x)>g(x)=lnx，分别研究f(x)和g(x)的单调性和极值，进而求出在(0，+∞)上f(x)的最小值和g(x)的最大值，就能证得f(x)>lnx成立.