叠层梁理论在复合顶板受力分析中的应用

王同旭，康正卿

(山东科技大学 能源与矿业工程学院，山东 青岛 266590)

在煤矿生产过程中,顶板灾害比较多发[1-2]，离层、冒顶、垮落等现象时有发生。据统计，2015—2017年顶板事故占煤矿安全事故的37%以上[3-5]。由于沉积岩层的特点，在煤矿中分层特征明显的复合顶板是非常普遍的，且复合顶板结构面较发育,层间的黏结力较低[6-9]，受到扰动后极易发生离层与变形破坏。许多学者针对煤巷复合顶板破坏机理进行了研究[10-11]，目前大部分研究是针对复合顶板某一岩层或者将其看成整体梁进行分析的[12-14]。当复合顶板弯曲变形时，层间黏结力容易被破坏，此时若不计黏结力，可视作叠层梁[15-16]；有学者将叠层梁近似看作共同曲率问题来分析[17]，实际上叠层梁是一层梁叠放到另一层梁上，每层梁分别有一个中性层，叠层梁弯曲通常是非共同曲率的。为此，笔者通过对叠层梁共同曲率、非共同曲率及整体梁模型受力特征进行对比分析，得出不同模型复合顶板弯矩、应力分配规律及3种模型的适用条件，加深了对复合顶板锚杆支护加固机理的认识，为分析复合顶板巷道稳定性、优化锚杆支护设计，提供一种思路和方法。

1 复合顶板梁弯曲模型的变形破坏机理分析

可将复合顶板的变形破坏简化为平面应变问题，取巷道任意截面进行分析。由于复合顶板是层状结构且层间黏结力较弱,为安全起见可忽略层间黏结，假设顶板层间为自由叠合,将复合顶板简化为叠层梁模型。叠层梁受外载作用发生弯曲变形，如图1所示。

图1 复合顶板叠层梁模型图

1.1 整体梁受力分析

假设复合顶板层间黏结力未发生破坏，上下层始终是一个整体，可视作整体梁来分析，其截面图如图2所示。

yc—中性轴偏移距离；A1—中性轴z上部截面面积；

对整体梁作力学分析，则可得[18]：

(1)

式中：σ1、σ2分别为中性轴z上、下部分截面应力；y1、y2分别为截面上端和下端到中性轴z的距离；E1、E2分别为上层岩梁和下层岩梁的弹性模量；Iz1、Iz2分别为A1、A2对中性轴z的惯性矩。

1.2 共同曲率下复合顶板叠层梁受力分析

分析图1，复合顶板总弯矩为M，若假定复合顶板弯曲时，上下分层有共同曲率，则式(2)成立：

(2)

可见，分层的分配弯矩与其抗弯刚度成正比，分层抗弯刚度越大分配的弯矩越大。分配比与高跨比无关。

由式(2)可得：

(3)

(4)

式中σ1、σ2分别为共同曲率下上层岩梁和下层岩梁最大弯曲拉应力。

由式(3)可以看出：当叠层梁上下层的弹性模量不同而厚度相同时，共同曲率模型的弯矩分配与上下层弹性模量比相同；当叠层梁上下层厚度不同而弹性模量相同时，上下层弯矩分配是厚度比的3次方。

1.3 非共同曲率下复合顶板叠层梁受力分析

假设复合顶板发生弯曲变形时，上下层梁各自有一个中性层，即两分层的变形曲率不同，如图3所示。

图3 复合顶板叠层梁弯曲变形图

则有式(5)成立[19]:

(5)

把式(5)代入M1+M2=M中，求解可得：

(6)

且式(7)成立：

(7)

式中W1、W2分别为非共同曲率下上层岩梁和下层岩梁的抗弯截面系数。

2 3种模型受力对比分析及适用条件

为了对比分析叠层梁共同曲率、非共同曲率及整体梁这3种模型的受力特征，以固支梁作为复合顶板的计算模型。假设某煤矿复合顶板巷道跨度l=6.0 m，可简化为平面应变问题[20-21]，取巷道的纵向尺寸b=1.0 m，岩梁的上覆均布荷载取1.0 MPa。固支梁在均布荷载作用下在两端产生最大弯矩M=ql2/12。

通过分析不同岩性、厚度的岩层情况，研究各模型梁的受力特征及适用条件。

2.1 上、下分层岩性及分层厚度相同时

假设复合顶板两分层岩性及分层厚度相同，即h1=h2=h/2，弹性模量E取4 GPa。在上述参数条件不变的情况下，改变复合顶板高跨比h/l，分别取1/6、1/4、1/3、1/2。通过公式(1)、(4)、(7)，计算得到3种梁模型在不同高跨比下，各分层的最大弯曲拉应力、应力比随高跨比的变化曲线，如图4所示。

(a)拉应力

由图4(a)可知，随着高跨比的增大，叠层梁上的应力逐渐减小，叠层梁破坏所需要的极限应力将增大，岩梁比较稳定、不容易发生破坏；高跨比越小岩梁上的应力增大越快，岩梁很不稳定极易发生破坏。上述理论计算分析结果与文献[22-23]分析结果一致。而整体梁上的应力始终比叠层梁的应力小，说明整体梁更加稳定。

由图4(a)叠层梁上下层曲线可知，共同曲率和非共同曲率的应力在高跨比为1/3时，应力比较接近，随着高跨比继续增大，两者的应力曲线几乎重合，当高跨比小于1/3时，两者的应力差值逐渐拉大。图4(b)中叠层梁共同曲率上下层的应力比即分配关系为1∶1，不随高跨比变化。叠层梁非共同曲率上层应力比随着高跨比的增大而减小，相反下层随着高跨比的增大而增大，均趋近于共同曲率的应力比。

由上述分析结果可得出复合顶板叠层梁共同曲率、非共同曲率及整体梁的适用条件：当高跨比大于1/3时，两者计算的应力值很接近，可以将复合顶板叠层梁近似当作共同曲率问题进行计算；当高跨比小于1/3时，两者的应力差逐渐变大，此时需将叠层梁按照非共同曲率问题来分析；当两层梁黏结良好，层间作用力未发生破坏时，可将复合顶板看作整体梁来分析。

2.2 岩层厚度相等且上软下硬时

取E2=2E1，其他参数的选取仍同上所述，所求结果如图5所示。

(a)拉应力

分析图5(a)可知，当E2=2E1、高跨比大于1/3时，叠层梁共同曲率和非共同曲率的应力值很接近，应力曲线几乎重合，而高跨比小于1/3时，应力差值逐渐拉大。由图5(b)可知，叠层梁共同曲率应力比为1∶2，与高跨比无关。叠层梁非共同曲率上层应力比随着高跨比的增大而减小，而下层相反，且均趋近于共同曲率的应力比。因此，当高跨比大于1/3时，可将叠层梁近似看作共同曲率来分析，而当高跨比小于1/3时则需按照非共同曲率来计算。

2.3 岩层厚度相同且上硬下软时

取E1=2E2，其他参数的选取仍同上所述，所求结果如图6所示。

(a)拉应力

由图6(a)可知，当高跨比大于1/3时，叠层梁共同曲率和非共同曲率模型的应力值很接近，应力曲线几乎重合，此时可将叠层梁近似看作共同曲率模型来分析；而当高跨比小于1/3时，2个模型的应力差值逐渐变大，此时则需按照非共同曲率模型进行分析。分析图6(b)可知，当E1=2E2、h1=h2时，叠层梁共同曲率应力比均为2∶1，且与高跨比无关；而非共同曲率上层应力比随着高跨比的增大而减小，下层则相反且趋近于共同曲率的应力比。

2.4 岩层岩性相同且上薄下厚时

取h2=2h1，其他参数的选取仍同上所述。根据计算结果，绘制3种模型梁最大弯曲拉应力及应力比随高跨比的变化曲线，如图7所示。

(a)拉应力

(b)应力比

由图7(a)可知，当高跨比大于1/3时，非共同曲率与共同曲率模型相近，复合顶板稳定性分析可按共同曲率模型进行；当高跨比小于1/3时，复合顶板稳定性分析只能采用非共同曲率模型，复合梁抗弯能力显著降低。由图7(b)可知，当E1=E2、h2=2h1时，叠层梁共同曲率模型应力比为1∶2,且不随高跨比的变化而变化；而非共同曲率上层应力比随着高跨比的增大而减小，下层应力比随着高跨比的增大而增大，当高跨比大于1/3时趋近于共同曲率应力比。

2.5 岩层岩性相同且上厚下薄时

取h1=2h2，其他参数的选取仍同上所述，所求结果如图8所示。

(a)拉应力

由图8(a)可知，当高跨比大于1/3时，非共同曲率模型与共同曲率模型相近，可按照共同曲率模型计算，复合梁抗弯能力较大；当高跨比小于1/3时，非共同曲率模型与共同曲率模型结果差别较大，复合梁抗弯能力显著降低。分析图8(b)可知，当E1=E2、h1=2h2时，叠层梁共同曲率模型应力比为2∶1，与高跨比无关；叠层梁非共同曲率上层应力比随着高跨比的增大而减小，而下层相反，在高跨比大于1/3时，均趋近于共同曲率的应力比。

3 复合顶板锚杆支护组合作用机理探讨

为了分析锚杆支护作用机理，采用ABAQUS软件进行模拟。模拟两分层岩性及分层厚度相同、高跨比为1/3的复合顶板，其岩石参数、边界条件、荷载同上所述。锚杆规格为ø20 mm×2 000 mm，弹性模量为2.0×105MPa, 泊松比为0.20[24]。

模拟方案：分别对锚杆支护数量n=0、3、5、6、7的叠层梁，以及整体梁模型在其他条件完全相同的情况下的应力分布进行分析。

根据模拟结果可得岩层上的最大应力分别为0.93、0.84、0.66、0.61、0.58、0.43 MPa；锚杆支护数量为0、3、5、6、7的叠层梁模型最大应力分别是整体梁模型的2.16、1.91、1.50、1.39、1.32倍；随着锚杆支护数量增加，岩层上的应力开始逐渐减小，并逐渐接近整体梁模型。

由理论和模拟分析可知，叠层梁共同曲率和非共同曲率岩梁上的应力远大于整体梁上的应力，若通过锚杆的支护组合作用[25]，可将叠层梁非共同曲率转化为叠层梁共同曲率甚至实现类似整体梁的转化效果，大大减小岩梁上的应力，提高岩梁的承载能力。

由此可得出，锚杆主被动加固技术的内在机理：①阻止复合顶板层间黏结破坏，防止由整体梁向共同曲率叠层梁进而向非共同曲率叠层梁转化；②锚杆支护增强了复合顶板抗弯能力，使上下层同步性增强，弯曲变形减小，层间黏结损伤减小；③复合顶板变成叠层梁后，通过锚杆支护可使分层承载变为整体承载，从而大大提高复合顶板的稳定性。

4 结论

1)当高跨比大于1/3时，可将复合顶板叠层梁近似看作共同曲率模型；当高跨比小于1/3时，应将叠层梁按照非共同曲率模型进行分析。只有当复合顶板层间黏结力未发生破坏时，才可用整体梁模型进行分析。

2)3种模型计算的复合顶板稳定性差别较大。传统上采用整体梁模型的计算方法，是偏于危险的，因为复合顶板层间黏结力较小，在巷道开挖后常会出现层间黏结局部或全部被破坏，由整体梁模型向叠层梁模型转化，在分层厚度较小时则可能进一步由共同曲率模型向非共同曲率模型转化，使复合顶板稳定性进一步降低。锚杆主被动加固技术，其内在机理在于，防止由整体梁向共同曲率叠层梁进而向非共同曲率叠层梁转化，相反可能实现由非共同曲率叠层梁向共同曲率叠层梁甚至近似整体梁转化，从而大大增强复合顶板稳定性。

3)复合顶板弯矩及应力分配规律：整体梁模型不存在弯矩及应力分配问题；叠层梁非共同曲率模型，其上下分层的弯矩及应力分配比随着高跨比的增大而减小；叠层梁共同曲率模型，其弯矩及应力分配关系不随高跨比变化，当叠层梁上下层的弹性模量不同而厚度相同时，共同曲率模型的弯矩及应力分配与上下层弹性模量比相同，当叠层梁上下层厚度不同而弹性模量相同时，上下层弯矩分配是厚度比的3次方，应力分配与厚度比相同。