数形结合，为数学插上“双翼”——小学数学教学中的“数”与“形”

福建省福州市江南水都小学 胡锦平

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“新课标”）阐明了数学思想方法之于数学学习的重要性，并将数形结合作为数学学科三大思想方法之一。建构主义数学学习核心观点指明，数学学习是学生迁移已有数学经验，把握数学本质而主动建构的活动，“数”与“形”是数学本质的具体体现。因此，有效地应用数形结合法实施小学数学教学，可以在把握“数”与“形”关系的基础上，引导学生自觉迁移学习经验，深入探寻数学知识的几何意义和代数意义，使学生在统一形象思维和逻辑思维的过程中，发现数学本质，加深对数学知识的理解，同时发展数学学习能力。

一、在小学数学课堂中实施数形结合教学的必要性

（一）增强学生数学学习兴趣

小学数学教材中知识的逻辑性与抽象性特征比较强，要想让学生精准理解、认知数学概念，需要学生具备较强的逻辑思维能力。而小学生自身的逻辑思维、认知素养有待增强，抽象、枯燥的数学概念很容易降低、打击学生探索数学知识的热情，数学课堂活动效率比较低。因此，通过开展数形结合教学活动，能够借助于数、形把抽象难懂的数学概念清晰化展示出来，提升学生自身的数学认知水平、理解能力。比如，在讲解、探究“分数的意义”数学课程知识期间，如果只是简单阐述“分数是把整数1平均分为若干份”，学生只能记忆、背诵这句话，但是对于“整数1”缺乏深层次的认知。因此，教师可以采用“图形涂色”的形式，实现数形的结合，让学生明白“整数1”代表的是一个整体，并不是自然数1，让抽象、复杂的数学概念转化为直观化的图形，这样学生更容易认知、理解，从而更加积极地参与数学课程活动。

（二）增强学生的数学学习能力

在小学数学课程中实施数形结合教学，能够提高学生的数学学习能力，丰富学生的数学情感，让学生更为自主地参与探究活动，对所学数学知识、概念、公式有更深刻的理解。数学主要是研究空间形式与数量关系的一门课程，在数学课堂活动中渗透数形结合思想方法，能够指导、帮助学生解决数学问题，让复杂的数学问题简单化。借助于数学图形来替代复杂、抽象的数量关系，能让学生从中掌握更多的数学解题技巧和学习技巧，发展学生多项数学学科能力，如直观思维、抽象思维等，促使学生综合发展与成长。另外，在运用数形结合数学思想方法期间，能够展示出数学图形中的直观美，让学生借助理论知识解决社会生活问题，实现数学课程知识和生活的融合、关联；能够让学生感知到探索、学习数学课程知识的意义，进而端正自己的学习态度。

二、在小学数学课堂中运用数形结合的现状

（一）重视技巧、轻视方法

在当前的小学数学课程活动中，教师意识到了实施数形结合教学的意义、必要性，但是在具体落实期间，存在重视技巧、轻视方法的现象，无法展示出数形结合的教育价值和意义。出现以上现象的原因在于教师受到应试教育理念的影响，依然重视重复刷题、练习，忽视了让学生自主学习、自主探究。同时，学生的知识认知处于一种螺旋上升的状态之中，但是教师习惯于把数学课程知识直接展示给学生，忽视了利用数形结合思想、方法深度解析数学课程知识构成和形成的过程，无法发展学生数学逻辑思维。

（二）学生运用数形结合不够熟练

通过实际调查能够发现，当前很多学生会利用数形结合思想、方法来解决数学问题，但是对于数形结合的运用不够熟练，缺乏独立作图的意识、能力。在解决复杂的数学问题期间，学生会尝试用作图的方式来解决问题，以此来梳理题意、思路，但是对于“数”和“形”的认知处于一种割裂状态中，无法灵活转换“数”和“形”，其发散思维能力有待提升。同时，部分学生存在惰性心理，认为运用数形结合方法、思想会浪费大量的做题时间，依然会选择用“笨方法”来解决问题，以至于无法掌握运用数形结合的技巧和方法。

三、小学数学数形结合教学策略

（一）以形助数，直观认知

以形助数是指利用直观的“形”引导学生探究抽象的“数”，使学生直观地掌握“数”的教学活动。在实施数形结合教学的时候，笔者以“数”为指导，挖掘“形”，并应用多样策略将“形”展现给学生，驱动他们直观地探究“数”。

1.引入实物，直观感受“数”

众所周知，空间观念是学生参与数学教学必须具备的能力。在空间观念的作用下，学生可以实现事物特征与几何图形的相互作用，深入掌握数学内容。几何图形具有直观性，便于学生在形象思维的作用下，对其建立直观认知，由此认识数学表象，为深入地理解数学做好准备。对此，在实施数形结合教学的时候，笔者根据“数”内容，挖掘有关实物资源，将其展现给学生，辅助学生建立“数”的表象。

以“长度单位”教学为例，引导学生在脑海中建立1cm、1dm、1m的表象是使他们理解长度单位内容的关键。在实施课堂教学的时候，教师利用长度为1cm、1dm、1m的木棒，引导学生观察，在脑海中建立表象。接着进行测量，获得具体数据，借此准确地将长度单位与实际事物的长度建立联系，直观认知长度单位，为深入探究做好准备。

2.引入线段图，直观理解问题

数形结合思想方法最为显著的特点是化复杂为简单，而直观的图形是化抽象为简单的支撑。线段图是数学直观图形的重要组成部分，是直观展现抽象复杂的数量关系的工具。数学问题是数学学科的重要内容，是学生理解数学内容的载体。在实施数形结合教学的时候，笔者以数学问题为基础引入线段图，引导学生通过画线段图，直观地展现问题条件，进而获取解题思路，顺利地解决问题，理解数学内容。

以“植树问题”教学为例，教师在课堂上呈现如此问题：“园林局准备在一条长100m的小路一侧种树，每棵树之间相隔5m。在两端都要种树的情况下，请问这条小路上一共会种多少棵树？”在解决这个问题的时候，大部分学生会在两端都栽树的条件上犯难。基于此，教师鼓励他们根据问题条件绘画出线段图，而且学生发现100m这个数据太大了，进而引发了从简单数据入手的需求，部分学生以20m为例，画出如图1所示线段图。

在线段图的作用下，学生进行形象思维，发现两端都栽树的特点：当两端都栽树的情况下，栽树的数量比间隔数多一。教师肯定学生的发现，同时鼓励他们利用此发现建立数学模型，并应用数学模型解决课前的问题。实践表明，学生轻松地沿着正确思路解决了数学问题，加深了对“植树问题”的理解。立足学生的问题解决情况，教师改变问题条件：“如果是只一端栽树或者两端都不栽树的时候呢？”进而引导学生继续利用线段图解决问题，建构并完善数学模型。如此做法，不仅使学生获取了解决“植树问题”的方法，提高了问题解决的能力，同时还使他们切实感受到了数形结合的魅力。

（二）以数解形，准确理解

以数解形是指利用具体的代数知识解决抽象的几何问题。“数”具有形式化的特点，可以“直观”地展现研究对象的表征，进而使学生准确地理解。在具体落实、应用数形结合理念期间，教师可以通过展示“数”来鼓励、引导学生探究“形”，从中来感知知识逻辑结构的奇妙之处。

1.利用数的具体特征，全面渗透数学模型思想

在新课标之中具体表明，模型思想属于需要重点研究的思想方法。通过运用、渗透模型思想，能够用简练的数学语言概括生活、社会问题，展示出最完整、清晰的数学知识结构。数学模型“直观”地呈现了现实问题的表征和关系，便于学生准确理解数学问题。因此，在实施数学教学的时候，笔者根据教学需要渗透模型思想。

以“长方体体积”的教学为例，在课堂上，教师以探究长方体体积的计算公式（v=abh）为目的，先引导学生随机地选择几个体积为1cm3的小正方体，用其拼凑出一个长方体。接着，在小组中分享各自拼凑出的长方体，数一数每个长方体使用的正方体个数，建立表格。通过拼一拼、数一数，大部分学生发现拼出的长方体的体积是使用的小正方体的个数。教师先肯定学生的发现，紧接着引导他们“测量”长方体的长、宽、高，并应用“测量”到的数据进行计算，探究其与长方体体积之间存在何种关系。通过合作探究，大部分学生了解到“长方体的体积=每行的个数×行数×层数=长×宽×高”。基于此，教师鼓励他们用数学符号建构出数学模型：v=abh。由此可见，利用数的特点渗透模型思想，可以使学生经历从特殊到一般的理解过程，逐步地总结出某一事物的特征，进而得出数学结论和数学模型，加深对数学知识的理解。在此过程中，学生不但锻炼了数学探究能力和数学抽象能力，而且还积累了数学学习方法，提高了解决问题的能力。

2.活用数学公式，把握图形关系

数学公式是数学学科的基础内容。小学数学涉及的公式有很多，如周长、面积、体积的计算公式等。其实，很多数学知识点间都存在联系，那就要求我们教师要引导学生融会贯通地学习、应用数学。对此，在实施数形结合教学的时候，笔者以公式为基础，引导学生借此探寻图形关系，顺其自然地建构知识结构，实现有意义的建构。

以“多边形的面积”为例，在自主探究的过程中，学生通过剪拼等活动，利用数形结合推导出了平行四边形、三角形、梯形这些平面图形的面积计算方法。事实上，平行四边形、三角形和梯形三者的计算方法是相通的。对此，教师立足学生的自主探究所得，先利用课件展现图2内容。

图2

引导学生迁移学习经验，描述梯形的面积计算公式：s=（a+b）h÷2。接着，教师对梯形进行操作，使其上底与下底相等。此时，学生眼前呈现出一个平行四边形，如图3所示。

图3

在观看操作的过程中，大部分学生积极思考，结合图形变化情况，得出s=（a+a）h÷2=ah这样的面积计算方法。然后，教师继续操作，让梯形的上底边为0。学生发现梯形变成了一个三角形，如图4所示。

图4

结合图形变化情况，学生轻松地发现，面积还可以这样计算：s=（a+0）h÷2=ah÷2。此时此刻，无须教师多言，学生自觉地发现了平行四边形、梯形和三角形的转化关系，加深了对所学的理解。教师则立足学生的发现进行总结，如图5所示。

图5

这样，学生在学习过程中不断完善知识结构，发展空间观念，提高学习能力。

3.进行数学表达，精准描述图形

新课标明确要求教师培养学生数学表达能力。“数”具有精准性，是学生进行数学表达的“工具”。在利用“数”进行表达的过程中，学生会精准地描述出图形所在的位置或运动情况，并在脑海中建立直观图像，发展空间想象能力。由此，笔者在实施数形结合教学的时候，会引导学生进行数学表达。

以“平移”教学为例，教师带领学生玩游戏，在玩游戏的过程中，鼓励学生毛遂自荐，到讲台上进行体验并提出要求：“向右侧跨一步，再向右侧跨三步，之后向前跨两步。”在如此要求的作用下，学生做出相应动作。根据学生做出的动作，教师在交互式电子白板上进行描绘。在描绘的过程中，大部分学生高度集中注意力盯着白板，尤其将刚才展示的移动现象与交互式电子白板上的数学图像结合在一起，对平移建构直观认知，同时积累进行数学表达的经验。接着，教师在交互式电子白板上的方格纸上移动点，引导学生观察移动过程，并利用数学语言进行描述。教师针对学生描述的内容进行点拨，使学生掌握正确的数学语言。如此教学，不仅使学生借助“数”理解“形”，加深对所学的理解，还使学生发挥自主性地锻炼了数学表达能力，有利于提高数学学习水平。

（三）数形互助，解决问题

数形互助是根据数学问题，选用“以形助数”“以数解形”这两种方法来解决问题的方法。数形互助是基于“以形助数”“以数解形”的。解决数学问题是数学学科的重要内容，新课标明文要求教师指导学生有方法地解决问题。

1.利用数形结合解决经典问题

以“鸡兔同笼”为例，这是经典的数学问题，也是“数形互助”的典型代表。大部分学生在解决这个问题的时候，存在诸多的疑惑。正确的解题方法和技巧是有效解决问题的关键，所以在实施问题解决教学的时候，教师重点教给学生“数形互助”的解题方法。教师向学生呈现问题：“笼子里有若干只鸡和兔，这些兔子和鸡共有35个头，94只脚。请问，兔子和鸡各有多少只？”在提出问题后，教师先鼓励学生自主思考，迁移数形结合经验，使用适宜的方法解决问题。在巡视课堂的时候，教师发现部分学生尝试应用画图的方法寻找答案。因此教师借机进行引导，可以用圆圈表示鸡和兔子头。接着，教师改变问题条件，引导学生探究：“假如笼子里都是鸡，请问有多少只脚呢？”在此问题的作用下，学生在之前画出的圆圈上画出两只脚，如图6所示。学生发现现在一共有70只脚（35×2=70）。

图6

立足此发现，不少学生产生了质疑：“原题目给出的条件是94只脚，为什么现在却少了24只脚呢？”如此质疑的提出，一下子引发了学生的探究兴趣。不少学生回顾解决问题的过程，发现是因为把兔子看成鸡了，一只兔子比一只鸡多两只脚。在发现问题原因后，学生马上将24只脚添加到圆圈上，表示兔子的数量：12只（24÷2=12）。那么鸡的数量就是23只（35-12=23），如图7所示。

图7

学生在解决这个问题的过程中，始终将“数”转化为“形”，并用“形”探究“数”，实现了“数形互助”，有效地解决了数学问题。同时，在解决问题的过程中，学生的思维始终发挥作用，有利于锻炼思维能力。与此同时，不少学生还因为体验这样解决问题的活动，增强了对数形互助的认知，有利于积累解决数学问题的经验，提高数学问题解决水平。在学生“数形互助”地解决了问题后，教师鼓励他们继续利用“数形互助”探究其他方法，借此掌握“鸡兔同笼”解题技巧。

2.在实践活动中运用数形结合思想

在小学数学课程活动中，要想利用“以形助数”“以数解形”解决问题，教师要积极组织实践活动，让学生在实践活动中运用数形结合思想，实现数学理论知识和实践活动的整合，让自身的数学课程知识体系更加完整，培育学生良好的数学学科素养。首先，教师要鼓励学生自主动手操作，增强学生的数形结合意识，检验学生是否真正掌握数形结合思想、方法，展示出数形结合的价值。比如，在讲解“条形统计图”数学课程知识期间，教师可以让学生自主获取、搜集数据，并且对数据进行分析、整理，让学生感知到条形统计图的便捷化、直观化。又比如，在讲解“因数与倍数”课程知识期间，教师可以让学生以小组的方式来探究知识、问题，通过自己的努力把小正方形拼接为长方形，以此来探索、分析“乘数与积关系”和“因数与倍数关系”间的相同点，潜移默化锻炼学生的知识探究能力，提高数学课程活动质量。另外，在小学数学实践活动中，教师要对学生展开综合评价，如学生是否可以熟练运用数形结合思想、学生的动手操作能力、学生的合作学习能力等，多表扬、肯定学生，让学生获得学习的自信心。

综上所述，“以形助数”“以数解形”“数形互助”是数形结合思想方法在数学教学实践中的具体表现，是推动学生掌握数形结合思想方法的“法宝”，有利于学生有方法地学习数学知识，解决数学问题，提高数学学习效果。所以，在实施小学数学教学的时候，教师不妨立足“数”与“形”的关系，以数学教学内容为基础，应用多样的策略融入数形结合思想方法，创设多样的数形结合活动，使学生有效地探究数学内容、锻炼数学学习能力、掌握数学思想方法，借此有方法地学习数学，提高数学学习效果，提升数学教学质量。