基于主成分分析与WOA-Elman的锂离子电池SOH估计

李旭东，张向文

（桂林电子科技大学电子工程与自动化学院，广西 桂林 541004）

锂离子电池是电动汽车的主要动力来源，其健康状态(state of health，SOH)严重影响着电动汽车的安全性和续航里程[1-2]。电池管理系统(battery management system，BMS)通过监测电池的状态变化可以有效提高电池安全性并延长其使用寿命[3]。SOH是BMS监测的重要信息，SOH可以反映电池的老化程度、剩余使用寿命和储存电量能力。通过SOH 的准确估计，可以实现对电池退化性能的实时跟踪，及时发现性能退化的电池单体并采取应对措施，延长电池组的使用寿命，提高电池组的使用安全性[4]。电池老化过程是一个长期缓慢的非线性变化过程，受充放电过程中温度、充放电倍率、充放电深度及车辆行驶过程中振动等多种因素的影响，进行电池SOH的准确估计难度很大。

近年来国内外研究人员对锂离子电池SOH估计方法进行了广泛深入的研究，主要的方法包括基于模型的方法和数据驱动方法[5-7]。基于模型的方法利用电池的等效电路模型与电化学模型进行SOH估计。等效电路模型不考虑电池内部复杂的老化机理，将锂离子电池等效为一个简化的电路模型，故其不能全面反映锂离子电池的动态变化过程，模型准确性不高。电化学模型通过对锂离子电池老化机理的深入研究建立动态高阶微分方程，模型复杂度较高，参数辨识求解比较困难，因此，基于模型的估计方法难度较大且估计精度不高。基于数据驱动的方法通过外部输入特征，利用神经网络[8]、支持向量回归(support vector regression，SVR)[9]和极限学习机(extreme learning machine，ELM)[10]等智能算法进行电池SOH 的估计。数据驱动优越的非线性映射能力使数据驱动方法成为目前锂离子电池SOH估计的热门方法。

李超然等[11]利用卷积神经网络的卷积核提取电压、电流和温度曲线中的共有特征信息，进行SOH的估计。徐超等[12]建立了等放电电压差时间间隔与SOH 之间的映射模型，利用改进的动态布谷鸟搜索来优化粒子滤波算法，实验结果表明所提方法具有良好的适应性与精确性。郭永芳等[13]选择不同搁置时间端电压降作为老化特征，建立了一种加权混合型神经网络模型，提高了SOH 模型估计的鲁棒性。Yang 等[14]从锂离子电池老化循环的充电曲线中提取4个特征，采用灰色关联度分析方法计算所选特征与SOH 之间的相关性，利用改进的高斯过程回归模型进行SOH估计。Li等[15]从充放电曲线中提取现有SOH估计常用的重要特征共计69个，利用灰色关联度分析计算与SOH的相关度，研究发现大多数特征与SOH的相关度在0.9以上。戴彦文等[16]从充电曲线中提取与SOH高度相关的特征，利用卷积神经网络提取健康特征的局部特征，最终建立了自适应权重的长短期记忆网络(long short-term memory，LSTM)与门控循环神经网络模型，实验结果表明该方法相较单一模型具有更高的估计精度。

由以上研究可以看出，数据驱动方法能对SOH进行较为准确的估计，但上述方法仍存在以下问题：①特征方面：单一特征难以准确反映锂离子电池因容量再生现象引起的复杂退化趋势，而采用多维特征时，特征之间的冗余降低了SOH 估计的效率；②模型方面：不同模型选择的数据特征不同，并且在不同电池测试数据集的估计结果存在一定的差异，缺少具有良好泛化性能的数据驱动模型。

神经网络具有良好的非线性[17]，特别是Elman神经网络，在反向传播神经网络的基础上引入承接层，增强了系统的时变特性和动态特性，能够以任意精度逼近任意非线性映射，具有一定的泛化性能。在锂离子剩余使用寿命预测[18-19]中已经得到了应用，但传统的Elman网络容易陷入局部最优。

基于以上分析，本工作考虑Elman网络的泛化性能和鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm，WOA)不易陷入局部最优的特点，提出了一种基于主成分分析(principal component analysis，PCA)与WOA-Elman 神经网络模型的锂离子电池SOH估计方法。该方法利用PCA对所选特征进行降维，减小特征之间的冗余度。利用WOA算法优化Elman神经网络的初始权值与初始阈值，提升Elman神经网络的准确性与泛化性。最后，利用3组电池实验测试数据交替作为训练集和测试集，对建立的基于WOA-Elman 的SOH 估计模型进行测试验证。同时，通过与常用的LSTM、SVR和ELM以及未优化的Elman模型比较，验证本工作方法的准确性和泛化性能。

1 算法原理

1.1 PCA算法原理

PCA方法把由线性相关变量表示的特征转换为少数几个由线性无关变量表示的特征，线性无关变量表示的特征称为主成分。分别计算每个主成分的贡献率及主成分的累计贡献率，当累计贡献率达到85%以上时认为找到了可以近似表示原始特征的主成分[20]，因此，PCA方法在数据特征降维的同时可以获得原始数据特征的大部分信息[21]。

利用PCA 方法对本工作所选特征进行降维，假设给定m×n的样本特征矩阵H，hj表示第j列的样本特征变量，其中，j= 1,2,…,n，PCA 的具体步骤如下：

（1）数据去中心化

根据式(1)对给定样本特征数据进行去中心化处理，得到去中心化后的样本特征矩阵H'。

（2）求协方差矩阵

根据式(2)计算去中心化后的样本特征矩阵H'的协方差矩阵Ε。

（3）求协方差矩阵E的特征值与特征向量

通过求解式(3)得到协方差矩阵特征值的同时求出第j列样本特征对应的特征向量aj。

式中，λ是特征值，特征值的个数为n个，I为单位矩阵。

（4）求样本特征矩阵的γ个主成分

假定主成分个数为γ，则γ个主成分的累计贡献率需要达到设定值。i= 1,2,…,γ个主成分的贡献率与γ个主成分的累计贡献率，按照式(4)～(5)进行计算。

当确定累计贡献率达到设定值的主成分个数γ时，由式(6)可以计算样本特征矩阵主成分。

1.2 Elman神经网络

Elman神经网络作为一种递归型神经网络，其输出不仅与当前的输入特征与权矩阵有关还与上一时刻输出数据的反馈有关，通常包括输入层、隐含层、承接层和输出层。Elman 神经网络的结构如图1所示。

图1 Elman神经网络的结构Fig.1 Structure of Elman neural network

Elman神经网络的输出神经元可以用下面的非线性函数表示：

式中，v为输出节点向量；x为隐含层节点单元向量；w3为隐含层到输出层连接权值；g(*)为输出神经元的传递函数。

隐含层神经元可以表示为：

式中，xd为反馈状态向量；u为输入向量；w1为承接层到隐含层的连接权值；w2为输入层到隐含层连接权值；f(*)为隐含层神经元的传递函数。

隐含层的输出通过承接层的延迟和存储，自联到隐含层的输入，因此存在下面的关系：

传统的Elman神经网络由于初始权重与初始阈值的随机性，训练的网络往往鲁棒性不强，并且导致收敛速度变慢并容易陷入局部最优。为了提高Elman神经网络模型的预测精度与稳定性，需要对初始的权值与初始阈值进行优化。

1.3 WOA算法原理

WOA是2016年Mirjalili等[22]在对鲸鱼捕食猎物过程中个体相互协作和信息共享行为研究而提出的智能优化算法，具有鲁棒性好和不易陷入局部最优的特点。WOA算法的具体寻优步骤如下：

（1）包围捕食

假定当前猎物被认为是最佳候选猎物，即将当前目标猎物作为可行解，对鲸鱼初始位置向量进行更新，如式(10)所示。

式中，X(t+ 1)与X(t)分别为下一次迭代时鲸鱼的位置与当前鲸鱼的位置向量，A为随机系数矩阵向量，D为当前迭代次数下鲸鱼位置X(t)与最优个体之间的距离。

随机矩阵A与当前迭代次数下鲸鱼位置X(t)与最优个体X*(t)之间的距离D可以由式(11)～(13)表示。

式中，t为迭代次数，t= 1,2,…,T；在搜寻过程中收敛因子a由2 线性下降到0；C= 2r2；r1,r2是范围在[0,1]之间随机生成的向量。

（2）泡泡网更新环绕模式中的位置

鲸鱼在扑食猎物的过程中不断吐出气泡，形成螺旋状的“泡泡网”，进而将猎物越逼越紧，直至能一口吞下。在此过程中，鲸鱼分别以相等的概率p通过包围机制与螺旋上升两种方式更新位置向猎物移动，其数学模型如下。

式中，D' =|X*(t) -X(t)|为鲸鱼当前位置与猎物之间的距离；b为常数，l是范围在[-1,1]之间的随机数，p是[0,1]之间的随机数。

（3）猎物搜索

WOA 算法从一系列初始可行解开始，通过不断迭代改变位置，随机矩阵A随着迭代次数的增加不断减小，当|A|≥1 时，鲸鱼会扩大搜索范围，随机选择一个可行解来更新鲸鱼位置向量；当|A|< 1 时，鲸鱼会选择当前最优解来更新鲸鱼位置向量。

1.4 WOA算法优化Elman

本工作选择Elman 神经网络作为锂离子电池SOH估计的基本模型，利用WOA算法优化Elman神经网络的权值与阈值，使其初始权值与阈值达到最优，利用优化后的Elman 神经网络建立电池SOH估计模型。

WOA-Elman优化的具体步骤如下：

①参数初始化，在Elman 神经网络中随机产生N组初始权值与初始阈值，并将初始权值与初始阈值作为鲸鱼的位置向量，设置WOA 算法的最大迭代次数为T，种群数量为N。

②计算种群适应度，本工作选择均方误差作为适应度函数。

③记录每次迭代的最优适应度的个体位置，将优化后的权值与阈值输入Elman神经网络计算适应度值，最后记录本次迭代中最优适应度的个体位置。

④根据个体位置更新策略及个体位置。

⑤判断终止条件。若迭代次数小于T，则循环执行②～④，若大于等于迭代次数T或均方误差小于设定值则输出最优解。

1.5 PCA与WOA-Elman的SOH估计框架

根据前面的PAC方法、WOA优化方法和Elman神经网络，可以设计锂离子电池的SOH 估计框架如图2所示。

图2 SOH估计框架Fig.2 The framework of SOH estimation

具体实现过程如下：

①获取锂离子电池老化过程的电压电流变化数据，对电流电压变化趋势进行分析；

②从测量的电压和电流数据中提取与SOH 相关度较高的特征，将测量数据划分为训练数据集和测试数据集；

③针对训练集和测试集，分别利用皮尔森相关系数法对所选特征与SOH 的相关性进行判断，计算特征之间的冗余度并对所选特征进行PCA降维；

④通过训练集PCA 降维的特征建立Elman 神经网络，利用WOA 优化算法对Elman 神经网络的初始权值与初始阈值进行优化，建立WOA-Elman的SOH估计模型；

⑤将测试集数据经过特征处理后获得的PCA特征输入训练好的SOH 估计模型，进行锂离子电池SOH估计算法的测试验证。

2 实验过程与特征处理

2.1 实验过程

电池老化实验是测试电池循环充放电过程容量逐渐下降至失效阈值的过程。电池SOH 常用锂离子电池当前最大放电容量与出厂时的最大可用容量的比值进行定义[23]，即

式中，Qrate是当前周期下锂离子电池可放出的最大容量，Qnew是初始最大放电容量。

采用三支同规格的松下三元NCR18650B锂离子电池在室温下进行老化实验，分别标记为B01、B02、B03。锂离子电池主要参数如表1所示。

表1 锂离子电池主要参数Tab.1 Main parameters of Li-ion battery

实验过程的充放电策略如下：充电阶段，在恒流(constant current，CC)阶段以0.5 C(1600 mA)电流充电至截止电压4.2 V，然后进入恒压(constant voltage，CV)阶段，电压恒定在4.2 V恒压充电，当电流降至0.01 C(32 mA)时，认为充电完成；放电阶段，以1 C电流(3200 mA)放电至截止电压。CC-CV充满电后静置30 min，然后进入放电阶段，放电完毕后静置30 min。老化测试流程如图3所示，具体步骤如下：

图3 老化测试流程Fig.3 Diagram of aging test

①首先进行初始最大放电容量的标定，根据充放电策略循环充放电3 次，以初始循环3 次的放电容量平均值作为初始最大放电容量。

②充放电循环测试。初始最大放电容量结束后进行充放电循环测试。根据充放电策略循环充放电。充电阶段，在CC阶段充电至截止电压4.2 V，然后进入CV阶段；静置30 min后进入放电阶段，当放电至截止电压时静置30 min。若本步骤循环次数等于20次则转到步骤③，否则循环进行。

③混合脉冲功率特性(hybrid pulse power characteristic，HPPC)测试[24]，每重复20次充放电循环，进行一次HPPC测试。

④实验停止条件：若SOH≤80%，则停止实验，否则循环②～③步骤。

老化实验测试系统实物图如图4所示，老化实验充放电设备采用新威CT-4008T检测系统，实验数据实时上传到上位机。图5为三支电池的容量衰减曲线，可以看出容量衰减过程存在明显的容量再生现象。

图4 实验测试系统实物图Fig.4 Physical diagram of test system

图5 电池的容量衰减曲线Fig.5 Capacity decay curves

2.2 特征提取

实际工况下CC充电阶段和CV充电阶段相对放电阶段的电流电压更为可控，故本工作利用CC-CV阶段电压电流变化曲线提取特征。为了方便分析CC阶段与CV阶段的电压电流变化趋势，根据B01号锂离子电池的老化过程测量数据，详细绘制了不同循环次数下的CC阶段充电电压变化曲线和CV阶段的充电电流变化曲线。

CC 阶段充电电压的变化曲线如图6 所示。以每60 次循环曲线的变化进行老化分析。随着循环次数的增加，CC 充电阶段充电时间TCC变短；CC阶段的平均电压VCC即为CC阶段各时刻电压值的总和与充电时间TCC的比值，随着充电时间TCC的减小，平均电压VCC增大。

图6 CC阶段充电曲线Fig.6 CC phase charging curves

CV 阶段充电电流的变化曲线如图7 所示。以每60次循环曲线的变化进行老化分析。随着循环次数的增加，CV充电阶段充电时间TCV变长；CV阶段的平均电流ICV即为CV阶段各时刻电流值的总和与充电时间TCV的比值，随着充电时间TCV的增大，平均电流ICV减小。

图7 CV阶段充电曲线Fig.7 CV phase charging curves

通过对老化实验CC-CV 阶段锂离子电池电压与电流曲线的趋势分析，可以看出CC 充电阶段的充电时间TCC与平均电压VCC，CV充电阶段的充电时间TCV与平均电流ICV与循环次数有着明显的相关性。

如表2所示为本工作选择的CC与CV阶段的特征，同时参考文献[25]选择从3.5 V上升到4.0 V等压升时间差TDVF和电流从0.5 A下降到0.1 A的等电流降时间差TDIF也作为本工作特征。

表2 CC与CV阶段特征Table 2 CC-CV features

2.3 PCA特征降维

特征降维是为了提取维度低、冗余度小并且能最大化地反映原始数据的主要特征。下面分别计算三组锂离子电池所选特征与实际SOH 的皮尔森相关系数，然后对所选特征之间进行冗余度判断，最后利用PCA对所选特征进行降维。

皮尔森相关系数可以按照下式计算：

式中，COV(F,SOH)表示特征F与SOH 的协方差，σF与σSOH分别为特征F与SOH的标准差。ρ表示相关系数，其趋近于-1或者1时代表两者具有较强的相关性[26]，正负号分别表示正相关与负相关，ρ为0时则表示二者相互独立。

利用式(16)分别计算三组锂离子电池所选的6个特征与SOH之间的相关系数，结果如表3所示。可以看出，不同特征与SOH 之间均存在较高的相关度，说明了所选特征的有效性与泛化性。

表3 特征与SOH的相关度Table 3 Correlation between features and SOH

为判断特征之间的冗余度，利用方差膨胀因子(variance inflation factor，VIF)对所选特征进行共线性诊断。VIF 是以每个特征分别作为因变量，被其余特征作为自变量进行回归解释，以此来判断是否存在多重共线性的一种方法。一般认为VIF>10时特征之间冗余度比较严重。

VIF计算公式如式(17)所示：

式中，R2是当前特征被其余特征建立的多元线性回归模型描述的决定系数。

利用式(17)分别计算三组锂离子电池所选的6 个特征之间的VIF，结果如表4 所示。可以看出，在三组锂离子电池中所选特征VIF均大于10，说明了所选特征之间存在较高的冗余度即特征之间存在共线性关系。

表4 特征之间的VIFTable 4 VIF features between

为了降低特征之间的冗余度，利用PCA 方法对特征进行降维，如表5所示为三组锂离子电池的特征经过PCA降维后得到的主成分贡献率，可以看出在三组电池数据中，主成分1的贡献率均已经超过了95%，即主成分1能较好的反映原始数据的主要特征。

表5 主成分贡献率Table 5 Contribution rate of principal component

为了验证主成分1对SOH的表达能力，计算三组锂离子电池中使用PCA 方法得到的主成分与SOH实际值的皮尔森相关系数，结果如表6所示。可以看出，降维后得到的主成分1与SOH存在较高的相关度，说明PCA方法得到的主成分1能够有效反映锂离子电池的退化趋势，因此，下面利用主成分1进行SOH估计方法的研究。

表6 主成分1与SOH的相关度Table 6 Correlation between principle component 1 and SOH

3 实验验证与结果分析

3.1 WOA-Elman模型的建立

将PCA降维后得到的主成分1作为模型的输入，对应的SOH作为训练集的输出，建立Elman模型，利用WOA 对Elman 模型的初始权值与初始阈值进行优化，建立SOH估计的WOA-Elman模型。经过多次对比实验，最终选择Elman 与WOA 的参数如表7～8所示。

表7 Elman网络参数设置Table 7 Parameters of Elman

表8 WOA参数设置Table 8 Parameters of WOA

为了验证WOA-Elman 模型的有效性及准确性，以B01号锂离子电池特征的主成分1作为输入特征，对应的SOH作为模型的输出，得到锂离子电池老化过程中主成分1与SOH的映射关系，进行模型的训练。训练过程中，模型的适应度变化曲线如图8所示，可以看出，模型迭代23次就趋向于稳定。

图8 个体适应度Fig.8 Individual fitness

利用训练好的模型，通过B02和B03号锂离子的数据作为测试集进行测试验证。验证时，模型的输入为电池降维后的主成分1，输出分别为B02和B03锂离子电池的SOH估计值。

B02号锂离子电池的SOH估计结果如图9所示，可以看出，相比于Elman模型，WOA-Elman模型具有更优的估计跟踪能力，估计准确性更好。

图9 B02号锂离子电池的SOH估计结果Fig.9 SOH estimation results of B02

为了对估计结果进行定量评价，定义如式(18)～(20)所示的均方根误差(root mean square error，RMSE)、平均绝对百分误差(mean absolute percentage error，MAPE)和平均绝对误差(mean absolute error，MAE)作为估计结果准确性的误差量化标准。

式中，yc和ŷc为第c次循环次数SOH的实际值和估计值，c= 1,2,…,C。

3.2 模型有效性分析

为了进一步验证本工作方法的优越性，将本工作方法与LSTM、SVR 和ELM 这三种目前常见的SOH估计模型以及未优化的Elman模型进行对比。B02 号锂离子电池的SOH 估计误差量化结果比较如表9所示。

表9 B02号锂离子电池的误差量化结果Table 9 Error quantization results of B02 battery

由表9可知，本工作所使用的方法的RMSE较Elman 模型、LSTM 模型、SVR 模型和ELM 模型分别降低了24.9%、25.3%、26.9%和26.5%，MAPE较Elman模型、LSTM模型、SVR模型和ELM模型分别降低了25.0%、13.0%、24.4%和26.8%，MAE较Elman模型、LSTM模型、SVR模型和ELM模型分别降低了24.4%、13.9%、23.3%和26.1%。

为了验证以B01号锂离子电池数据集训练的模型的泛化性，利用同样的模型对B03号锂离子电池的SOH 进行测试验证，不同模型的估计误差量化结果如表10所示。

表10 B03号锂离子电池的误差量化结果Table 10 Error quantization results of B03 battery

由表10可知，本工作所使用的方法的RMSE较Elman 模型、LSTM 模型、SVR 模型和ELM 模型分别降低了8.7%、39.6%、10.8%和10.4%，MAPE较Elman模型、LSTM模型、SVR模型和ELM模型分别降低了17.5%、31.3%、20.3%和19.9%，MAE较Elman模型、LSTM模型、SVR模型和ELM模型分别降低了16.9%、33.2%、19.9%和19.6%。

由表9与表10的分析可知，相比于Elman模型、LSTM模型、SVR模型和ELM模型，本工作所使用的WOA-Elman模型在B02号与B03号锂离子电池SOH估计中误差最小，另外，未经优化的Elman模型在B03号电池估计中误差接近WOA-Elman模型，但在B02 号电池中误差远大于WOA-Elman 模型，说明未经优化的Elman模型适应性不强，因此，本工作所提WOA-Elman模型具有较好的泛化性能。

3.3 模型的稳定性和泛化性分析

为了进一步验证所提方法的准确性与泛化性，下面分别采用B02号电池和B03号电池作为训练集进行模型的训练，然后，利用对应的B01号电池与B03号电池以及B01号电池与B02号电池作为测试集进行模型的验证。

为了更直观的显示不同模型的估计误差，分别绘制B02 号电池数据训练模型估计B01 号电池和B03号电池的误差柱状图，如图10和11所示。

图10 B01号锂离子电池的误差柱状图Fig.10 Error histogram of B01

利用B03号电池数据训练模型估计B01和B02号电池SOH，其误差柱状图如图12和13所示。

图11 B03号锂离子电池的误差柱状图Fig.11 Error histogram of B03

图12 B01号锂离子电池的误差柱状图Fig.12 Error histogram of B01

图13 B02号锂离子电池的误差柱状图Fig.13 Error histogram of B02

对以上3组电池以其中一组为训练集建立模型对其余两组作为测试集进行模型验证。在以B01号电池为训练集建立模型估计B02 号电池结果来看，其中均方根误差由小到大排序依次为WOA-Elman、Elman、LSTM、ELM 和SVR；估计B03 号电池，其中均方根误差由小到大排序依次为WOA-Elman、Elman、ELM、SVR和LSTM。可以看出WOA-Elman模型的稳定性较好，估计误差都是最小的，而LSTM、ELM和SVR模型估计误差相对较小，但在两个不同测试集下误差存在波动，对B02号电池，LSTM优于ELM和SVR，而对B03号电池，ELM和SVR优于LSTM。

在以B02号电池为训练集建立模型估计B01号电池结果来看，其中均方根误差由小到大排序依次为WOA-Elman、SVR、Elman、ELM和LSTM；从估计B03号电池结果可知，其中均方根误差由小到大排序依次为WOA-Elman、SVR、LSTM、Elman和ELM。可以看出WOA-Elman模型的误差仍然保持最小，而LSTM、ELM和SVR模型误差相对较小但存在波动，对B01号电池，ELM优于LSTM，对B03号电池，LSTM优于Elman和ELM。

在以B03号电池为训练集建立模型估计B01号电池结果来看，其中均方根误差由小到大排序依次为WOA-Elman、SVR、Elman、ELM和LSTM；估计B02号电池，其中均方根误差由小到大排序依次为WOA-Elman、SVR、Elman、ELM和LSTM。可以看出对两个电池，WOA-Elman模型估计误差都最小，并且LSTM、ELM和SVR模型误差在两次测试中误差排序一致，但误差均大于WOA-Elman模型。

为了更清楚显示不同电池训练集对算法估计结果的影响，分析不同算法的泛化性能，本工作选择误差量化标准中的典型代表RMSE作为估计偏差的判断依据，任意选择两组电池测试数据分别建立模型估算第三组电池的SOH，计算估算结果的RMSE的差的绝对值进行这种估计算法偏差的评价。计算得到不同算法估计三组电池的偏差结果如表11所示。

表11 不同算法估计三组电池的偏差Table 11 Estimation deviation of three batteries with different algorithms

由表11可知，WOA-Elman模型对三组电池的估计偏差都最小，B01号电池偏差为0.1483%，B02号偏差为0.0585%，B03 号电池的偏差为0.1771%。LSTM 模型对三组电池的估计偏差比WOA-Elman模型稍大，也比较稳定，而Elman、SVR和ELM在不同电池中的偏差波动比较大，因此，WOA-Elman模型具有最好的泛化性能，训练集对模型的影响最小，而训练集对Elman、SVR和ELM模型的影响比较大，没有很好的泛化性能。

综上所述，通过分别选择不同的电池训练集建立的模型对其他电池测试集进行估计分析，发现WOA-Elman模型的SOH估计误差最小，并且不同训练集对估计结果的影响最小，即WOA-Elman模型的泛化性能最好，估计结果的稳定性最好。

4 结论

（1）从锂离子电池恒流恒压充电曲线中提取了与SOH高度相关的6个特征：TCC、VCC、TDVF、TCV、ICV、TDIF，计算所选特征在三组锂离子电池中与SOH 的皮尔森相关系数均在0.95 以上并且特征之间的VIF最小为22，因此，不同特征之间存在严重的共线性，利用PCA 方法对特征进行降维，降低特征之间的冗余度，降维后的三组电池的主成分1与SOH皮尔森相关系数均在0.97以上，表明PCA方法得到的主成分1能够有效反映锂离子电池的衰退趋势，可以用于SOH的估计。

（2）利用WOA 对Elman 神经网络的初始权值与初始阈值进行了优化，建立了WOA-Elman模型，将降维后得到的主成分1作为输入，以B01号电池测试数据训练模型，利用B02与B03号电池进行验证，通过与常见的LSTM、SVR 和ELM 以及未优化的Elman四种SOH估计模型比较，结果显示，WOAElman 模型在B02 与B03 号电池SOH 估计中误差最小，RMSE最大仅为1.2113%与0.9057%，表明WOA-Elman模型具有更高的估计精度。

（3）交替使用三组电池数据作为训练集建立SOH估计模型，估计其余两组电池的SOH，通过比较不同模型估计误差的偏差分析模型的泛化性能，结果显示，相对于常用的LSTM、SVR和ELM以及未优化的Elman 模型，WOA-Elman 模型在三组电池中的估计误差的偏差都最小，其SOH 的RMSE估计偏差分别仅为0.1483%、0.0585%和0.1771%，表明WOA-Elman模型具有更好的泛化性能。

（4）与LSTM、SVR 和ELM 以及未优化的Elman模型相比，本工作所提出的方法具有更高的精度与泛化性能，在后续工作中，会进一步探索更多智能算法模型估计SOH，进一步提升SOH 估计的精度与模型的泛化性能。