含裂纹正交各向异性体的数值分析方法概述

余海玲，王 娟，彭佳琪，王根石

(新余学院建筑工程学院，江西 新余 338004)

正交各向异性材料是一种具有高比强度、质量轻便等优势的复合材料，在土木工程、航天航空工程、机械制造等领域得到了广泛应用。正交各向异性材料区别于各向同性材料，其常用的数值分析方法包括有限元法、扩展有限元法、比例边界有限元法及无网格法等。

1 有限元法

在众多的数值分析方法中，有限元法[1]的发展相对来说是最为成熟的，它是一种求取复杂微分方程近似解的有效工具。运用有限元法分析问题时需要对计算域进行划分，即有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，为逼近单元中的真解，则将单元基函数进行线性组合。整个计算域的基函数可以看作是由每个单元基函数构成，整个计算域内的解可看成是由所有单元上的近似解组成。有限元法通俗直观，计算效率高，一般数值精度也较高。目前，有很多基于有限元法原理的软件，比较常用的有ANSYS、ABAQUS等，其强大的软件兼容性奠定了有限元法在材料力学分析方面的重要作用。但是采用有限元法分析问题时，需要在整个计算域内部划分单元，尤其是分析形状复杂的三维体时，有限元的单元划分难度较大。在分析断裂问题时，为了保证计算结果的正确性，必须要在裂尖处划分较为精细的单元，当裂纹扩展时，要重复地划分单元，计算工作量较大。程宸、万水等[2]基于界面力学理论中关于正交各向异性材料应力强度因子的内容，借用ANSYS有限元分析软件，计算了含边缘界面裂纹和中央界面裂纹的裂尖应力强度因子，研究表明，应力强度因子随着材料主轴方向的变化而变化，由于这种方法存在一定的可改进性，中央界面裂纹的应力强度因子计算结果并不是很精确，但总体来说该方法在一定程度上是可行的，需做进一步的改进。

2 扩展有限元法

扩展有限元法是在传统有限元法的基础上做了重大改进，其主要思路是将计算域内的间断用扩充带有不连续性质的插值函数来表示。采用扩展有限元法分析时，描述的不连续场与网格边界完全独立，故其在裂纹分析上有较大的优越性。此外，这种方法的引入不仅可以有效处理裂纹扩展问题，还给带有孔洞和夹杂的非均匀材料的分析带来了便利。Asadpoure与Mohamadi等[3]采用扩展有限元法，分析了含裂纹的正交各向异性体，并计算了五种不同的材料主方向下含边界裂纹正交各向异性板裂尖的正则化应力强度因子，与Aliabadi与Sollero[4]得到的结果一致。徐建新和郝宇基于扩展有限元的理论，运用Paris公式及最大周向应力准则确定了裂纹的扩展速度和方向，通过具体算例计算，验证了使用扩展有限元法在计算两端受拉的边界裂纹正交各向异性板在不同的材料主方向角度下对应的无量纲化应力强度因子，与文献[3，4]的结果吻合度较高。此外，还模拟了裂纹扩展的规律，得到以下结论：当材料主方向角度小于时，裂纹的扩展速度随着主方向角度的增加而减小；当材料主方向角度大于时，裂纹的扩展速度随着角度的增加而增大。在主方向角度增加的过程中，裂纹扩展的角度变化呈现反正弦变化规律。通过具体的算例，验证了扩展有限元法在分析裂纹扩展问题上具有较大的优势。

3 比例边界有限元法

比例边界有限元法是一种半解析数值方法，当采用比例边界有限元法分析问题时，需要重新建立一个比例边界坐标系，该坐标系包含比例中心、径向坐标和环向坐标等。与边界元法一样，采用该方法分析时，无须在整个结构内部划分单元，仅需在计算域的环向上进行节点离散，使空间维度降低了一维，不需要设立相应的基本解；径向上进行解析求解，无须离散，大大提高了计算效率与精度。此外，该方法在求解裂纹问题和无限域问题上特别高效。2002年，Song与Wolf采用这种方法成功模拟了各向异性材料裂纹问题，在最后的算例中，具体分析了在切应力作用下含边界裂纹正交各向异性板的应力强度因子与其收敛性，并与Tan、Gao基于边界元法分析边界裂纹正交各向异性板的结果进行了比较，结果较为吻合，验证了该方法高精度、高效率的特点。

4 无网格法

无网格法是一种在有限元法基础上发展而来的数值模拟方法。该方法采用基于点的近似，可以彻底或部分地消除网格，在处理不连续和大变形问题时，可以抛开网格重构，具有很强的自适应能力。依据构造试函数，求解方程和处理边界条件的方法不同，可对无网格法进行划分。目前，无网格方法有十几种，如光滑粒子法、重构核粒子法、扩散单元法、无单元伽辽金法、无单元伽辽金比例边界法等。其中，无单元伽辽金法应用最为广泛，这种方法前后处理方便，准确性高，但是该方法基于移动最小二乘法，导致构造的形函数不满足插值性质，从而增加了本质边界条件的施加难度。为了改进移动最小二乘法的不足，Lancaster、Salkauskas提出了插值型移动最小二乘法，采用该方法构造出的形函数虽满足Kronecker delta函数性质，然而该方法却只能运用在节点处奇异的权函数，这同样会增加数值处理的难度。此外，王聚丰和孙凤欣等人提出将插值型移动最小二乘法进行改进，改进的插值方法以非奇异权函数为基础，并在计算形函数时会比传统的移动最小二乘法少一个待定系数，可使计算过程大大简化，奇异矩阵出现的概率也会大大减小。陈莘莘、王娟与童谷生在改进的插值型移动最小二乘法的框架下，将比例边界有限元法与无单元伽辽金法结合，提出了插值型无单元伽辽金比例边界法，采用该方法成功地分析了各向同性弹性材料、压电材料的断裂问题，通过具体的算例，验证了这种方法求解裂纹问题的适用性。张成勋应用二阶一致无网格法，成功地分析了正交各向异性材料的力学问题，并通过悬臂梁、变体力方板、两端固定梁等算例计算了相应的位移与应力，与解析解的吻合度较高，充分验证了无网格法的高精度与高效率。

5 展望

插值型无单元伽辽金比例边界法是一种新型的边界型无网格法，这种方法继承了比例边界有限元法与无网格法的优点，同时具备了较高的计算效率和精度，尤其适合求解断裂问题。目前，还没有基于正交各向异性材料断裂问题的插值型无单元伽辽金比例边界法的相关文献，故而采用该方法分析含裂纹正交各向异性体具有一定的研究价值与实用价值，可为分析含裂纹正交各向异性体提供有效路径。