引导学生探索微积分在物理学中的形成过程及应用

黑龙江省嫩江市职业技术教育中心学校 艾立武

高中物理教学中隐含着极其高深的数学知识，那就是微积分的知识。微积分是由牛顿和莱布尼茨各自独立发现和总结的数学方法。从物理方面来说，微积分意味着经典物理学的真正开端。如果教师在教学中出现畏难情绪，回避微积分的教学，那么就无异于抛弃了物理学的灵魂。从物理学的角度可以说，经典物理学和微积分是同步发展起来的，并且现代物理学离不开微积分。教师必须了解在物理学的发展过程中如何形成了微积分思想和方法，同时，也必须要知道微积分在物理学中是如何应用的。传统的初等数学虽然在高中物理的应用过程中起到了主要作用，但没有高等数学尤其是微积分的示范作用，在解决实际问题时总是给人投机取巧的感觉，没有一个普遍的解决方法。我们的目的是建立普适的解决方法，而不是几个特例。

一、微积分在物理学中形成过程的教学

教师要按照教材的安排，结合历史进程讲述微积分在物理学中的发展历程。高中教材第一次接触到微积分是在引入瞬时速度这一概念的过程中，可以根据不同的角度阐述其内含的微积分思想。如果从初等数学解决这一问题的困境入手，必将涉及“零比零型”求极限的问题。可以从小学数学的除法意义讲起，解决分母为零的问题和零比零的值。从教学实践来看，这一探索过程极大地引起了学生的兴趣。教师再从物理学的实践意义引出其值必是确定值，从而强调数学需要引入新的概念和算法，我们称其为微分。最后，引导学生回忆小学数学中圆周率的算法，让学生明白微分从来就在我们身边。高中教材第一次接触到积分是在求解匀变速直线运动位移的这一问题中。在讲述教材中的相应内容时，要知道其实学生是不理解、不认同这一方法的。学生是抱着姑且相信的态度来接受这一结论的，它们认为那是近似相等。教师要打破学生的这种认识，要引导学生承认、接受它们是相等的这一事实。对于这一难题，我先从小学数学的分数、无限循环小数及等式的性质入手，揭示学生从来都不曾知道的秘密，这样引导学生探索近似和相等是如何紧密。我再从运动学实践的角度提及芝诺悖论，再次从小学数学的整数与无限循环小数的减法证明近似和相等的亲缘关系。首尾呼应，自成体系。我之所以这样做，不仅是要阐述积分的实际意义，更重要的是要回顾微分的相等和近似，让学生明白微分的实际意义。这一教学实践再次证明，学生对其充满兴趣。教师还可以提及牛顿在这一过程中的贡献，也要提及芝诺悖论所揭示的运动实质意义和恩格斯在他的《自然辩证法》中的结论，进而告诉学生“函数”和“微积分”是数学为了解决运动问题所引入的两个不同阶段的概念和方法。同时，为了公平起见和应用需要，我们也要提及“牛顿—莱布尼茨公式”的应用方法，肯定莱布尼茨在微积分方面的巨大贡献，肯定数位天才数学家在圆锥曲线及切线方面的创造为微积分的出现吹响了号角，而他们和物理学也是难舍难分的。

二、微积分在高中物理中的实际应用

微积分在高中物理中的应用主要有如下几个方面：应用导数、微分方程求速度、加速度、动量的值、感应电动势；应用积分求位移、功、冲量的问题。由于以往的数学教材只讲述到导数，有些物理教师就急于讲述应用导数来解决诸如求速度或加速度的问题。物理教师注重的是微积分的思想，传达给学生的也是思想而不是具体的解法。从物理教材的安排来看，教师没有必要现在就告诉学生如何应用导数来解决实际问题，等到了高三，学生数学知识早已具备，那些问题自然迎刃而解。应用微积分解决实际问题在高中物理上是从积分开始的。有一年高考最后的压轴题是动量的问题，当然要求力的冲量。那时，数学中并没有积分的内容，学生如何解决这一问题呢？实际上，这题的解决方法是：建立无限小量物理模型，应用物理原理建立求无限数列的极限和的数学模型，这实际上就是积分的求解过程。因为有着充分的数学基础，有着鲜明的几何模型，面对这样的问题不能质疑它存在的合理性。解决有关速度—时间的图象问题时，可以建立应用“牛顿—莱布尼茨”公式的过程模式，并引导学生根据微积分的思想和意义明确可以求解任意图象形状下的位移，也可以根据几何面积直接得到“牛顿—莱布尼茨”公式的结论，同时，这也是积分的几何意义。还可以引导学生明确导数的几何意义，少量定量、大量定性地解决有关图象的问题。同样，在解决有关做功的问题时，更能体会到积分的巨大作用。在弹簧弹力做功问题的探讨过程中，应用积分解决问题的建模过程，确立其所代表的物理意义的几何表述，就可以应用“牛顿—莱布尼茨”公式得到最终结论。在重力做功，尤其是重力发生变化的过程中，虽然可以应用重力势能来解决问题，但适当引入“牛顿—莱布尼茨”公式时，可以使问题的物理过程明确，虽然不一定需要解出最终答案。当然，到高三时，学生的数学知识已准备充足，就可以应用导数、微分方程和积分公式来解决用初等数学解决过的问题，会发现其在有些方面是直接和快捷的。

三、微积分在物理学中的形成过程及应用到教学中涉及的重要实例

（一）求解匀变速直线运动位移问题中涉及的实例

课程内容中以匀加速直线运动为例引入匀变速直线运动位移的求解过程。在匀变速直线运动的速度—时间图象中将整个运动分解成若干个连续相等时间内的运动，每个运动可以看作是匀速直线运动。利用匀速直线运动的规律可以知道速度—时间图象的矩形“面积”是运动的位移。若干个矩形“面积”之和可以粗略地表示整个运动过程的位移。当减少时间间隔即增加连续相等时间内运动的个数时，矩形“面积”之和就可以更精确地代表整个运动的位移。若时间间隔趋近于零，即连续相等时间内运动的个数趋近于无穷，矩形“面积”之和就等于梯形“面积”，即匀变速直线运动速度—时间图象的“面积”代表整个运动的位移。学生理解这个问题的关键是学生认为矩形面积之和只是近似等于梯形的面积，教师需要举例证实它们是相等的。第一，利用分数、循环小数和等式性质进行证明。第二，利用整数与循环小数相减进行证明。第三，利用芝诺悖论进行证明。

（二）弹簧弹力做功问题

弹簧弹力做功是探索性内容，但高中数学已经能解决这样的积分问题。在物理教学中我们可以引导学生进行建模过程，利用积分的几何意义来解决弹簧弹力做功的问题。以弹簧原长为原点，以弹簧伸长的方向为正方向建立坐标系。相关的力和弹簧伸长量和压缩量的关系是力和伸长量或压缩量成正比，力和位移的方向相反。当弹簧从原长处伸长到某处时，弹簧弹力做功是力和位移的乘积。我们可以利用求解匀变速直线运动位移的方法来求解弹簧弹力做功的问题。把这一过程看成无数个矩形面积之和等于三角形面积的问题得到求解。同时，我们也可以利用求解在无限小区间内做功，再在某一区间内进行求和来解决问题。最后，仍能归结到积分的几何意义上来。具体问题的数学方法如下：第一，矩形面积之和等于三角形面积。根据定积分的几何意义可知，三角形的“面积”就是力所作的功。第二，积分的数学求解方法。利用微元法确定无限小位移过程中力所做的功，再利用牛顿—莱布尼茨定积分公式确定整个过程中力做的功。

（三）求解感应电动势的问题

无限长平行金属导轨水平放置，导体在其上做匀速运动，导轨间接有电阻，导体的电阻忽略不计，已知导轨间距，导体始终垂直导轨运动。存在垂直水平平面向下的磁场，磁场大小随时间线性变化。求感应电动势大小。这一问题涉及切割磁场产生感应电动势和磁场变化产生感应电动势的问题，利用初等数学来解决是十分复杂的。可以利用磁通量变化引起感应电动势的原则来解决这一问题。具体数学方法如下：根据磁通量的定义求出磁通量的表达式，再根据导数方法求出感应电动势。当然，若是复杂的表达式可能需要复合函数求导的数学知识，但基本原理相同。

作为物理教师，在课程的深入过程中需要不断加以总结和提升，从而在教学中引导学生探索微积分在物理学中的形成过程和应用，更好地带领学生不断进步。