软钢阻尼器剪切刚度理论计算与数值模拟

梁书亭，周 政，朱筱俊

(1. 东南大学土木工程学院，江苏南京 211189; 2. 东南大学建筑设计研究院有限公司，江苏南京 210096)

0 引 言

软钢阻尼器作为剪力墙竖向接缝及预制楼盖板缝的常用抗剪连接件，具有良好的耗能能力。X形阻尼器和三角形阻尼器作为典型的软钢阻尼器，经历10余年的试验与理论研究，体系逐步完善。Whittaker等[1]对X形阻尼器进行了试验研究，结果表明其具有良好耗能能力，之后Tsai等[2]进一步考虑到X形阻尼器的竖向轴力影响，设计出三角形加劲板阻尼器并进行伪静力试验，结果表明其有效降低了框架的抗震响应。欧进萍等[3]对X形阻尼器和三角形阻尼器建立了疲劳模型参数及寿命曲线，在后续工作中进一步提出了考虑薄膜效应的疲劳验算准则，为阻尼器参数选择提供了依据。李冀龙等[4-5]基于R-O本构模型和双线性本构关系提出了X形阻尼器和三角形阻尼器的阻尼力模型。

以矩形钢板为基础，通过削弱截面来达到耗能效果也是软钢阻尼器的一种经典形式。Leonhardt等[6]将圆形开孔板作为钢梁与混凝板的连接件，一侧预埋，一侧采取焊接，结果表明该开孔板具有良好的承载力与耗能能力。Cao等[7]提出了钢盖板应用于预制板缝连接件的抗剪承载力计算公式。王采等[8]通过6组推出试验，提出更加全面的开孔板抗剪承载力计算方法，并对国内外主要的承载力计算公式进行比较，分析了各计算方法的优劣。中国许多学者进一步对开孔板展开了参数分析，薛伟辰等[9-10]针对不同参数进行分析，研究各参数对开孔板的抗剪承载力、极限承载力及破坏形态的影响，为进一步优化设计提供参考。王爽等[11]对比了开椭圆孔、菱形孔、条形孔的新型H型钢阻尼器，结果表明屈服位移、初始刚度及等效阻尼比随着开孔钢板各部分高宽比的降低而增大，且菱形孔阻尼器的等效阻尼比最大。孔子昂等[12]研究了带缝钢板的弯曲单元宽厚比对延性系数、损伤发展机制、超强系数和耗能的影响，对消能减震设计及阻尼器选型具有指导意义。王磊等[13]设计出减少应力集中的环形剪切开孔软钢阻尼器，进行参数分析，对开孔形式提出建议并建立了恢复力模型，结果表明圆形开孔具有良好的耗能能力。韩建强等[14]对上述典型的几类软钢阻尼器(包括X形阻尼器、三角形阻尼器、圆形阻尼器和中空菱形阻尼器)进行了总结，对各阻尼器的优势与不足进行了分析，提出了软钢阻尼器作为消能减震构件尚需解决的一些问题，如开孔形状、材料、多向工作机制等，为后续研究工作方向提供了一些建议。近年还有学者提出了新形式的软钢阻尼器并进行试验研究，吴成亮等[15]提出了两种具有较高阻尼比且滞回性能良好的弧形钢阻尼器。郝红肖等[16]设计了一种双向受力均匀且具有良好耗能性能的S型钢阻尼装置。李帼昌等[17]在常见软钢阻尼器的基础上通过添加腹板，设计出一种具有较好延性且承载力良好的π形开孔板抗剪连接件，并提出了相应的承载力计算公式。

软钢阻尼器在开孔形式的优化上还有一定发展空间，因此，如果能在设计阶段对构件的受力性能有一个相对准确的预测，则能够大幅加快软钢阻尼器的截面开孔形式优化产出。众多学者提出了承载力计算公式，但应用条件不同，通用性不强，其理论结果的差异主要是由于对开孔板刚度的计算不够精准，目前对不同开孔板形式的软钢阻尼器弹性剪切刚度的计算理论较少，庞瑞[18]在预制楼盖的开孔盖板连接件中提出了开孔板的刚度计算方法，计算结果与试验吻合度良好。基于此，本文设计23组软钢阻尼器开孔板，包括开圆孔、椭圆孔以及弧形边，基于考虑剪切变形的深梁模型、开孔板截面简化推导软钢阻尼器开孔板的弹性剪切刚度计算公式，并将理论计算结果与有限元模型结果对比分析。此外，本文还将讨论双向开孔率及钢板厚度对软钢阻尼器弹塑性阶段剪切刚度退化的影响。

1 考虑剪切变形的深梁模型

考虑剪切变形的梁单元与经典梁单元相同之处在于仍然采用平截面假定，不同之处在于经典梁理论假定截面变形后仍然垂直于中心线，而在深梁的情况下，认为截面变形后不垂直于中心线，横截面转角θ与梁的挠度ω独立变化，Park等[19]将单元整体变形划分为弯曲变形与剪切变形的叠加。

经典梁中

(1)

考虑剪切变形的梁满足

(2)

式中：γ为剪切变形。

在分析开孔板的抗剪刚度时，可以将板厚方向等效为梁宽，板长方向等效为跨度，板宽方向等效为梁高。单元受力简图如图1所示，其中，Δ1～Δ6分别为两个节点的轴向单元位移、法向单元位移和单元转角位移，x为横轴坐标，l为梁单元长度。

假定位移模式为

(3)

式中：u(x)为轴向变形；v(x)b为弯区引起的竖向变形；v(x)s为剪切引起的竖向变形；α1、α2、β1～β4、γ1、γ2为待定常数。

将位移模式改为节点位移表示，可得

(4)

单元应变可表示为

(5)

(6)

式中：εb、εs分别为弯曲变形、剪切变形引起的单元应变向量；Bb、Bs分别为未考虑剪切变形的应变矩阵和考虑剪切变形的附加应变矩阵；κx为单元截面曲率；εx为单元截面应变。

单元应力可表示为

(7)

式中：σb、σs分别为弯曲和剪切变形引起的单元应力；E为弹性模量；A为截面面积；I为截面惯性矩；G为剪切模量；k为考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数，对于矩形截面，k取1.2。

根据虚位移原理，结合弹性方程、平衡方程和几何方程可以最终得出式(8)。

(8)

式中：Q1为根据弹性方程得出的单元剪力；Q2为根据平衡方程得出的单元剪力；L为开孔钢板简化计算长度。

最终可以联立求解出单元的抗剪刚度Kv，即

(9)

对开孔钢板跨度方向不同截面进行分段，等效为变截面刚度的梁模型，将边界条件进行简化，如图2所示，其中，H为开孔钢板简化计算宽度,R为开孔半径,Es为钢材弹性模型,Ii(i=a,b,c)为各个分段截面的惯性矩。

本文将连接部分区域近似等效为不考虑支座变形的固支端，重点研究开孔板L×H部分的剪切刚度。

2 开孔板的简化方法及弹性刚度计算

直边开孔的截面抗剪刚度计算易于实现，但对于曲边开孔如圆孔、椭圆孔、弧形边计算存在困难，本文进行多次试算，提出一种以刚度等效为目标的截面简化方法，如图3所示，其中，a为椭圆孔半长轴，b为椭圆孔半短轴。

将简化后的开孔板在截面变化处进行划分，以图3(a)圆形开孔板为例，可以划分为a、b、c三个区域，均为规则矩形，采用串并联刚度理论进行整体刚度计算。简化模型只用于理论计算，简化前后不具有完全等效性。

划分完区域后各部分矩形区域的串并联弹性抗剪刚度记为Kij，其中i为长度方向不同区域编号，j为同一区域内宽度方向不同板块的编号，即

(10)

根据串并联刚度理论计算可得开孔板整体的弹性剪切刚度满足

(11)

式中：KV为开孔板的弹性抗剪刚度。

3 开孔钢板的弹性剪切刚度

工程应用中软钢阻尼器的开孔分布一般采用中心对称，本文讨论开孔板在开圆孔、椭圆孔及弧形边情况下剪切刚度的理论值和模拟值，并进行对比分析，验证理论计算的合理性。

在未开孔状态下，规则矩形板的弹性剪切刚度计算理论已经成熟，本文对未开孔钢板采取理论公式进行计算并与有限元结果对比。有限元计算采用ABAQUS软件，钢材本构采用Q235-B级钢，材料参数见表1。

表1 钢材本构参数Table 1 Constitutive Parameters of Steel

钢材采用双折线本构模型，参数按表1取值，密度为7 800 kg·m-3，建立未开孔板NCP的有限元模型，模型采用C3D8R实体单元，网格尺寸为2 mm×2 mm，两短边平面分别耦合至RP-1和RP-2两个参考点，如图4(a)所示，对RP-1参考点施加全约束来模拟固支端，对RP-2参考点只给予y方向上的平动自由度；加载方式采取单调位移加载，对RP-2参考点施加y方向上100 mm的位移，将焊接区域简化为固支端，建模简易，但也保证了数值模拟的准确性，得到未开孔板NCP的荷载-位移曲线。模型尺寸设定为：L=200 mm，H=100 mm，t=10 mm。图4为NCP有限元模型、NCP的荷载-位移曲线、弹性剪切刚度的模拟值与理论值对比，其中NCP-S为荷载-位移的简化曲线。

图4(b)中，NCP-S参考国外学者提出的曲线简化方法，得出易于比较、统一的简化荷载-位移曲线，如图5所示，具体简化原则可参考有关文献。

图5中取实测曲线峰值点记为点m，取实测曲线10%峰值荷载处记为点a，取Oa延长线与峰值点所在水平线交点横坐标对应的实测曲线点c，取Oa和cm交点记为点b，Vi、Δi(i=a，b，c，m)分别为对应点的位移和荷载值。最终曲线简化为Ob弹性阶段、bm强化阶段以及承载力退化阶段，本文取峰值至加载末端的割线作为退化刚度，重点考察Ob阶段弹性刚度。

结合简化曲线，与理论计算值进行对比，模拟得出弹性剪切刚度为148 123 N·mm-1，理论计算得出弹性剪切刚度为147 142.9 N·mm-1，相对误差仅为0.66%，验证了建模方法的可靠性。

3.1 开孔钢板的尺寸设计

本文设计了23个试件，单开圆孔钢板SCP具体尺寸数据如表2所示，多开圆孔钢板MCP、椭圆孔钢板OCP和弧形边钢板ACP设计尺寸如图6所示，厚度t均为10 mm。图6(k)表示椭圆孔长轴垂直于剪切方向和平行于剪切方向两种情况；图6(l)表示开弧形边弦高分别为10、20、30 mm三种情况。

表2 单开圆孔钢板设计尺寸Table 2 Design Dimensions of Single Round Opening Steel Plate

3.2 开孔钢板弹性剪切刚度数值模拟

本节数值模拟采取的本构关系、单元网格及加载方式均与NCP构件一致。SCP系列开孔板的荷载-位移曲线如图7所示，其中虚线表示简化曲线。采用开孔板作为软钢阻尼器能有效控制塑性铰出现位置，形成端部和中心的屈服差，对实现可更换的耗能原件具有重要意义，但开孔率过大也会导致薄弱处和两端不能协调变形，自由变形段长度减小，不能充分利用材料。由图7(a)可以看出，开孔板开孔率的变化对承载力的影响不大，但对弹性刚度的影响十分显著。图7(b)对比了厚度不同、其他参数保持一致的开孔板荷载-位移曲线，结果表明开孔板的承载能力与弹性刚度呈线性关系，这也表明开孔板的面内受剪属于平面应力问题。

图8汇总了多开圆孔、椭圆孔、弧形边等其他开孔形式构件的荷载-位移曲线，其中虚线表示简化曲线。将第2节中理论计算得出的开孔板弹性抗剪刚度与数值模拟得出的有限元结果进行对比分析，结果见表3。由表3可知，本文提出的软钢阻尼器开孔钢板的弹性剪切刚度理论计算方法及模型简化方式具有一定的可靠性。65%的试件计算相对误差在10%以内，平均相对误差在7.5%，相对误差最大的为MCP-3，达23%。根据对比分析可知本文提出的理论计算方法在开孔率较小(50%以内)时拥有较高准确率；在开孔率超过50%时，理论计算的准确率呈下降趋势。

4 开孔钢板的剪切刚度退化

开孔钢板在工程结构中常作为软钢阻尼器布置在板缝节点、装配式剪力墙竖向接缝以及梁柱节点中，以开孔钢板作为耗能元件，在抗震中形成一道抗震防线，破坏后可以错开结构自身频率，因此开孔钢板的刚度退化是需要重点关注的内容，本文以垂直于受力方向的开孔率、平行于受力方向的开孔率以及钢板厚度为参数，探究其对开孔钢板剪切刚度退化的影响。

为探讨3类参数对刚度退化的影响，本文设计3组中心开孔构件，平面尺寸均为200 mm×100 mm。研究垂直受力方向开孔率影响时，设计试件Kx1～Kx9，厚度均为10 mm，平行受力方向的开孔率固定为10%，下标x1～x9表示垂直受力方向的开孔率依次为10%、20%…90%；同理设计试件Ky1～Ky9研究平行受力方向开孔率对剪切刚度退化的影响，垂直受力方向的开孔率固定为10%，下标y1～y9表示平行受力方向的开孔率依次为10%、20%…90%；对于厚度参数的影响设计Kt5、Kt10、Kt15、Kt20共4组构件，双向开孔率固定为10%，下标t5～t20表示钢板厚度分别为5、10、15、20 mm。根据有限元结果得出荷载-位移曲线，进行求导并做归一化处理，以刚度削减系数(剪切刚度与弹性剪切刚度之比)对各试件进行对比分析，结果如图9～11所示。

表3 开孔板弹性抗剪刚度Table 3 Elastic Shear Stiffness of Perforated Plate

由图9可知：随着垂直于受力方向开孔率的增大，构件的剪切刚度退化速度呈下降趋势，即开孔率越大，构件的剪切刚度退化越慢。由图10可知：构件剪切刚度的退化速度呈先下降后上升的趋势，随着开孔率增大至50%左右，构件的剪切刚度退化减慢，在开孔率继续增大至90%时，构件的剪切刚度退化迅速加剧。由图11可知：厚度对构件的剪切刚度退化速度影响较小，根据局部放大可知，厚度增大与刚度退化速度呈负相关，即厚度越大，剪切刚度退化速度略有降低。

5 结语

(1)本文提出了考虑剪切变形的深梁模型，用于软钢阻尼器开圆孔板、开椭圆孔板及带有弧形边板的弹性抗剪刚度理论计算，具有可行性与可靠性，65%的试件计算相对误差在10%以内，最大相对误差为23%，平均相对误差为7.5%。

(2)提出的针对开圆孔板的截面简化方式快捷方便，经过理论与有限元验证具有良好的适用性。开孔板的设计有利于增强结构的耗能能力，保证承载力的同时，有效降低整体结构的刚度，使其耗能能力提升，但开孔比过大会造成承载力损失严重，在应用时需要慎重考虑。

(3)开孔板的设计有效改变了应力分布，使得塑性变形集中在开孔薄弱区域，这对于设计可更换可修复的接缝连接件、软钢阻尼器具有重要意义。

(4)随着垂直于受力方向开孔率的增大，构件的剪切刚度退化速度呈下降趋势；随着平行于受力方向开孔率的增大，构件剪切刚度的退化速度呈先下降后上升趋势；厚度对构件剪切刚度退化速度影响较小。