有序-无序二维耦合系统的电子输运性质*

陆艳艳 王超 刘洁 蒋金益 钟建新

(湘潭大学物理与光电工程学院,湘潭 411105)

基于双层耦合正方晶格的紧束缚近似模型,通过对态密度、波函数格点占据数和量子扩散的计算与分析,系统研究了不同堆垛界面结构、层间耦合强度和无序强度对有序-无序双层二维耦合系统中电子输运性质的影响.研究发现,AA 堆垛双层耦合正方晶格在层间耦合较弱时保持单一能带,带尾态为局域态,带中态始终保持延展态及近似延展态的临界态,存在不随无序增强而消失的迁移率边;对于强耦合体系,弱无序时能带的带尾态为临界态,带中态为扩展态,而强无序使得耦合导致的两能带交叠为单一能带,其带尾态为局域态,带中态为临界态.AB 堆垛双层耦合正方晶格的能带始终为单一能带,且能带中心区始终包含延展态和临界态.对于AA 和AB 堆垛两种构型,有序-无序双层耦合系统的量子扩散随无序强度增大均呈现出先减弱再增强的反常量子扩散现象.AA 型弱耦合系统和AB 型耦合系统中的量子扩散均表现为超扩散,AA 型强耦合系统中弱无序导致超扩散,而强无序导致亚扩散.计算结果进一步表明,有序-无序双层耦合六角晶格系统表现出同样的行为.

1 引言

2004 年,Novoselov 等[1]分离出单层石墨烯,打破了二维晶体材料不可独立存在的传统观念,引发了二维材料的研究热潮[2−6].2018 年,双层石墨烯魔角的发现[7],将扭角双层石墨烯研究推至高潮[8−10],自此双层二维耦合量子体系引起了人们的广泛关注[11−13].二维材料以优越的性质而备受关注,电子输运作为二维材料最重要的性质之一,其相关研究一直是物理领域的热门课题.迄今为止,改善材料电导率最快捷有效的方法仍然是通过掺杂提高载流子浓度.然而掺杂引发无序,将导致载流子发生以掺杂原子为中心的随机散射,最终引发载流子的局域化.Anderson[14]指出局域态电子对传导没有贡献,因此掺杂过量反而导致电导率下降.局域化标度理论[15]进一步指出,对于无相互作用、存在非关联无序的所有一维和二维系统不存在扩展态电子,无序的存在极大地降低了电子迁移率,因此突破二维无序体系传统理论的限制,控制无序是关键.

表面无序是一种极为常见的无序形式,以石墨烯和MoS2为代表的典型二维材料(如过渡金属硫化物、黑磷和InSe)表面本身存在大量无序(缺陷)[16],二维层状材料在切割分离过程中也极易产生表面无序,纳米线掺杂过程中杂质极有可能分离在未钝化的纳米线表面[17]从而产生表面无序.另外,在纳米晶体中可采用溶剂诱导表面无序[18]以提高材料性能.表面无序应用广泛,在器件制作[19]及生物系统[20,21](如DNA 分子)等多领域适用.关于表面无序[22−26]的报道至今已有不少,但大部分工作仅关注实验现象.2006 年,Zhong 和Stocks[27]提出了有序-无序分区耦合的一维纳米线表面无序理论模型,指出表面无序一维纳米线在强无序下的载流子浓度及迁移率可实现同步提升,该纳米线表面掺杂模型被认为打破了传统掺杂局限[28],为一维无序耦合系统的研究提供新思路.随后,该模型被推广至多种一维有序-无序耦合链模型,用于研究无序强度及链间耦合能对电子输运性质的影响[29−31].2007 年,有序-无序分离概念被进一步推广至有序-无序双层耦合二维晶格[32],发现该体系存在金属-绝缘体转变以及不随无序强度增加而消失的迁移率边,并且其量子扩散呈现出超扩散式的反常量子扩散现象.

前期工作中所提出的有序-无序双层二维耦合系统模型[32]仅考虑了层间-层内耦合作用强度相同的各向同性双层二维正方晶格,没有考虑层间耦合作用的强弱对电子输运性质的影响.在近年来受到广泛关注的层状准二维晶体中,普遍存在各向异性的耦合跳跃能,即层间耦合跳跃能不同于层面耦合跳跃能,且其强度可通过施加应变的方式加以改变,同时亦可通过不同层面晶向角度的调节实现具有不同堆垛构型的错位双层结构.因此,有必要进一步研究不同堆垛结构、层间耦合强度、无序强度对有序-无序双层耦合二维系统中电子输运性质的影响,探讨前期发现的反常量子扩散和超扩散现象是否具有普遍性.本文基于单带紧束缚近似框架下的Anderson 格点能无序模型,以理论模型中常见的AA型堆垛(上层原子位于下层原子正上方)和AB型堆垛(上层原子位于下层晶格的空位中心)形成的有序-无序双层耦合二维正方晶格系统为例,深入研究不同界面构型、层间耦合强度和无序强度对有序-无序双层二维耦合系统中电子输运性质的影响.采用材料体系中常见的有序-无序双层耦合二维六角晶格系统,验证结论的普适性.

2 模型与方法

AA型和AB型有序-无序双层二维耦合晶格如图1 所示,体系格点数为N,其紧束缚哈密顿量H为

图1 有序-无序双层耦合正方晶格模型图(,)分别表示上、下层格点能,U 和h 分别表示层间与层内最近邻格点跃迁能) (a) AA堆垛 (上层原子位于下层原子正上方);(b) AB 堆垛 (上层原子位于下层正方格子中心正上方)Fig.1.Schematic illustration of the order-disorder coupling system of bilayer square lattices (,) are onsite energies of up-per and lower layers,U and h represent the hoping energy of inter-layer and intra-layer respectively): (a) AA stacking (the upper atom is directly above the lower atom);(b) AB stacking (the upper atom is located directly above the center of the lower square).

其中,H1表示下层周期晶格哈密顿量,H2表示上层无序晶格哈密顿量,Hint为层间相互作用哈密顿量,|2,i〉和 |1,i〉分别为上层与下层原子的轨道波函数基矢,和分别对应上层与下层格点能,和为层内最近邻跃迁项,和为层间最近邻跃迁能.依据Anderson 格点能局域化模型和我们提出的有序-无序双层二维耦合体系模型[32],本文对所有物理量采用无量纲形式对薛定谔方程进行数值求解.考虑到紧束缚近似下电子的格点能和跃迁能以电子伏特能量e0=1 eV 为特征,位置以晶格常数a为特征,引入以e0,a和以t0=ℏ/e0为单位的无量纲能量E,距离ri和时间t.数值求解过程中将体系晶格常数及层间距离设为1,仅考虑最近邻格点间跃迁能的贡献,层内跃迁能取1,有序层格点能取0,无序层格点能取 [−W,W] 之间随机数.无序强度W与层间耦合强度U为可调参数,W=0 及W >0 分别对应于双层耦合周期系统和有序-无序双层耦合系统.

采用固定边界条件和矩阵对角化方法求解静态与含时薛定谔方程,将哈密顿量(1)式代入耦合体系静态薛定谔方程:

式中,E为本征能量;Φ(E)为本征波函数,Φ(E)=(···,ϕi−1(E),ϕi(E),ϕi+1(E),···)T,ϕi(E)为Φ(E)在第i个格点的分量.通过矩阵对角化方法,可得本征能量Em(m=1,2,3,···,N)及对应本征矢Φ(Em) .根据静态薛定谔方程本征解,进一步求解含时薛定谔方程:

式中,Ψ(t)=(···,ψi−1(t),ψi(t),ψi+1(t),···)T为t时刻体系波函数,ψi(t)为Ψ(t)在i格 点的分量.设电子初始(t=0)位置r0位于i=0,即

由于Φ(Em) 为正交完备基,体系含时波函数Ψ(t)可表示为

结合初始条件(7)式可得

电子波函数Ψ(t) 可表示为

其中,|ψi(t)|2为t时刻i格点处电子出现的概率.为描述体系中的电子输运特性,常引入量子扩散均方位移:

式中,d(t)表示t时刻电子波包在体系的扩散宽度,ri为i格点的格矢.计算中为避免边界效应影响,仅考虑波包到达边界前d(t) 的行为.

对于AA型双层正方晶格周期体系,ε1,i=ε2,i=0,可得能带色散关系:

其中,f(k)=coskx+cosky,kx和ky为波矢k在x和y方向的分量.当U>4h时,能带分裂为两个子带,其带隙宽度 ∆E为

对于AB型双层正方晶格周期体系,可求得能带色散关系:

其中,g(k)=cos(kx/2)cos(ky/2) .

3 数值计算与模拟

本文研究在AA型和AB型堆垛情况下,无序强度W和层间耦合强度U对有序-无序双层耦合二维体系量子扩散的影响.综合考虑结论的准确性及计算时间成本,对该耦合体系尺寸采用N=5202(X ∈[−25,25],Y ∈[−25,25],Z=0或1)和50个不同随机样本进行样本平均.由于AB堆垛结构中的层间原子错位,结构中心与边界距离缩短,因此对AB堆垛耦合体系均方位移d(t) 的研究尺寸扩大为N=10082(X ∈[−35,35],Y ∈[−35,35],Z=0或1),取20 个不同随机样本进行平均,模型如图1 所示.

图2 为双层耦合正方周期晶格 (W=0)的能带与态密度(density of states,DOS) 随层间耦合能U的变化,其中图2(a)—(c)和图2(d)—(f)分别对应AA型耦合和AB型耦合体系.可以清楚地看出,AA型耦合与AB型耦合的能带结构具有显著的差异.对于AA型耦合,其上、下能带随U增大逐渐分离,能带在U >4 时在费米能处产生带隙,分离为与单层正方周期晶格相同的两个独立能带,其带隙宽度随U的变化服从(13)式.对于AB型耦合,其上、下能带相互交错,随着U增加,体系能谱范围变宽,DOS 的中心峰值不断下降,但费米面附近上、下能带始终保持交错,不产生带隙.

图2 双层耦合正方周期晶格的能带与DOS (a),(b) 分别为 U=1 和 U=6 的AA 型耦合系统的能带图;(c) AA 型耦合晶格的DOS 随 U 的变化;(d),(e) 分别为 U=1 和 U=6 的AB 型耦合系统的能带图;(f) AB 型耦合晶格的DOS 随 U 的变化Fig.2.Energy spectra and DOS for the periodic coupling system of bilayer square lattices: (a),(b) Energy spectra for the coupling system of AA stacking with U=1 and U=6,respectively;(c) variation of DOS with U for the coupling system of AA stacking;(d),(e) energy spectra for the coupling system of AB stacking with U =1 and U =6,respectively;(f) the variation of DOS with U for the coupling system of AB stacking.

图3 为AA型有序-无序双层耦合正方晶格的电子DOS 对W和U的依赖关系.如图3(a) 所示,对于较小层间耦合的系统,能带随W增大始终保持单带形式,其DOS 的带尾区不断扩大,而能带中心区则逐渐接近单层正方晶格周期体系的DOS分布.对于较大层间耦合的系统,随着W增大,带隙不断缩小,带隙消失后带中心区的DOS 不断增大,并有逐渐接近单层正方晶格周期体系的DOS分布的趋势,如图3(b)所示.图3(c)和图3(d)表明无论体系无序强度大小,随层间耦合能U的增加,带中位置出现带隙,且产生带隙的临界耦合能U临与无序度W满足线性关系U临=4+k1W(k1≈0.15),如图3(e)所示.从图3(f)可以看出,带隙宽度 ∆E随U和W的变化分别满足线性关系 ∆E=k2U(k2≈2)和 ∆E=k3W(k3≈−0.5).

图3 AA 型堆垛有序-无序双层耦合正方晶格电子能谱 (a)—(d) DOS 随 U 和 W的变化;(e) 产生带隙所对应的 U 和 W(空心圆)及其拟合线(虚线);(f) 带隙宽度 ∆E随 U和W的变化,左图为 ∆E(空心符号)随 U的变化及其拟合线(虚线),其中 W=1,3,5 分别对应斜率1.99,1.96,1.90;右图为 ∆E(空心符号)随 W的变化及其拟 合线(虚线),其中 U =6,8,10 分 别对应斜率–0.40,–0.44,–0.50Fig.3.Energy spectra for the order-disorder bilayer coupling system of square lattices with AA stacking: (a)–(d) Changes of the DOS for different Uand W;(e) the relationship of Wand U (open circles) for the band-gap opening with the linear fitting(dashed line);(f) the dependence of bandgap width ∆E(hollow symbols) on Uand W with the left panel for U with the linear fitting (dash lines),where W=1,3,5 correspond to the slopes of 1.99,1.96,1.90,respectively,and the right panel for Wwith the linear fitting (dash lines),where U=6,8,10 correspond to the slopes–0.40,–0.44,–0.50,respectively.

以常见的AB堆垛结构进一步探讨层间堆垛结构对有序-无序双层耦合系统电子性质的影响,并与AA堆垛结构数值结果进行对比.图4 为AB堆垛型有序-无序耦合正方晶格的DOS 分布.如图4(a)所示,与AA堆垛类似,随着W增大,对于弱耦合体系,带中态的DOS 逐渐稳定并最终与有序单层的DOS 一致.如图4(b)所示,对于强耦合体系,带中态的DOS 随着W增大逐渐稳定,但与有序单层的DOS 存在较大差异.然而随着U的增加,无论体系无序强弱,AB堆垛型耦合系统始终保持单一能带,没有产生带隙,如图4(c)和图4(d)所示,这与AA堆垛有着显著差异.

图4 AB 堆垛有序-无序双层耦合正方晶格DOS 分布 (a),(b) DOS 随无序强度W 的变化;(c),(d) DOS 随层间耦合能U 的变化Fig.4.DOS for order-disorder bilayer coupling system of the square lattices with AB stacking: (a),(b) Changes of the DOS for different W;(c),(d) changes of the DOS for different U .

耦合体系的本征波函数 |Φ(E)|2可表示对应本征能量的空间分布概率.图5 为AA型有序-无序耦合正方晶格部分典型能量的概率分布.如图5(a)—(d)右侧图形所示,带尾态波函数仅在上、下层的局部位置存在非零值,且其空间分布范围随W增大不断缩小,表现出局域态的特征.带中态波函数,无论W大小如何,对于较小层间耦合的体系,均弥散分布在上、下层的整个空间,具有扩展态特征,如图5(a)和图5(b)左侧图形所示;对于层间耦合较大的体系,W较小时,带中态的非零波函数分布在上、下层较大的空间内,但其分布范围随W的增大不断缩小,具有临界态特征,如图5(c)和图5(d)左侧图形所示.

图5 AA 型堆垛有序-无序双层耦合正方晶格本征态波函数分布图(其中D-L 和O-L 分别代表上层无序晶格和下层有序晶格)(a),(b) 分别为弱耦合系统(U=0.5)在弱无序(W=1)和强无序(W=10)时的带中态(E=0.140,0.016)和带尾态(E=4.60,11.46)的波函数 |Φ(E)|2分布;(c),(d) 分别为强耦合系统(U=4)在弱无序(W=1)和强无序(W=10)时的带中态(E=3.86,–0.17)和带尾态(E=8.08,12.96)的波函数 |Φ(E)|2 分布;黑色表示概率大于 0.005Fig.5.Eigen-wavefunctions |Φ(E)|2 for the bilayer coupling system of square lattices with AA stacking,where D-L and O-L represent the upper disordered layer and the lower ordered layer respectively: (a),(b) Eigen-wavefunctions of the eigen-states(E=0.140,0.016) in the spectral central region and the eigen-states (E=4.60,11.46) in the tail region for the weak coupling system of U=0.5 with small disorder of W=1 and strong disorder of W=10,respectively;(c),(d) the eigen-wavefunctions of the eigen-states (E=3.86,–0.17) in the spectral central region and the eigen-states (E=8.08,12.96) in tail region for the strong coupling system of U=4 with small disorder of W=1 and strong disorder of W=10,respectively.The black color means that the values are larger than 0.005.

由波函数的空间分布可知,与AA堆垛不同,强无序及强耦合下的AB堆垛有序-无序耦合正方晶格体系带中始终存在扩展态.图6 为AB型有序-无序耦合正方晶格结构带中及带尾部分典型能量的概率分布.可见,无论无序强度及层间耦合强度大小如何,带中态波函数始终弥散分布在整个体系,表现出扩展态特征,如图6(a)—(d)左侧图形所示,而带尾态则局限在体系中的特定范围内,且随无序强度增大更加局域化,表现出非扩展态特性,如图6(a)—(d)右侧图形所示.

图6 AB 型堆垛有序-无序双层耦合正方晶格的带中态和带尾态波函数分布图 (a),(b)分别为层间弱耦合(U=0.5)时弱无序(W=1)及强无序(W=12)体系中带中态(E=0.34,0.89)及带尾态(E=6.07,13.50)波函数的分布;(c),(d) 分别为层间强耦合(U=4)时弱无序(W=1)及强无序(W=12)体系中带中态(E=–1.98,–0.67)及带尾态(E=20.01,23.05)波函数的分布;黑色表示概率大于 0.005Fig.6.Eigen-wavefunctions of the eigen-states in the spectral central and tail regions for the order-disorder bilayer coupling system of square lattices with AB stacking: (a),(b) Eigen-wavefunctions of the eigen-states (E=0.34,0.89) in the spectral central region and the eigen-states (E=6.07,13.50) in the tail region for the weak coupling system of U=0.5 with small disorder of W=1 and strong disorder of W=12,respectively;(c),(d) the eigen-wavefunctions of the eigen-states (E=–1.98,–0.67) in the spectral central region and the eigen-states (E=20.01,23.05) in tail region for the strong coupling system of U =4 with small disorder of W=1 and strong disorder of W=12,respectively.The black color means that the values are larger than 0.005.

本征波函数的格点占据数 (P(E)) 能够很好地描述无序电子系统的电子局域化[33],其定义为其中ϕ(E,rn) 为本征态波函数.P(E)与系统格点数N普遍满足关系P(E)∝Nγ,其中γ=0和γ=1 分别对应于局域态波函数与扩展态波函数,0<γ <1 对应介于扩展态与局域态之间的临界态波函数.对比AA/AB堆垛结构中不同无序强度及层间耦合强度下指数γ随W的变化情况,发现随着W的增加AA堆垛结构带中电子态强无序时仅包含临界态 (0<γ <1),而AB堆垛结构带中始终包含扩展态 (γ=1) 及临界态(0<γ <1).

图7 展示出不同耦合强度下AA堆垛型有序-无序耦合正方晶格体系中P(E)随无序度W的变化情况.可以看出,无论耦合强度大小如何,无序导致的带尾态均具有极小的P(E) 值,具有局域态的特征.对于弱耦合系统(U=0.5),带中态的P(E)值随W增大呈现出先下降然后在W≥8 之后保持稳定分布的特征,如图7(a)所示.对于强耦合体系(U=4),两个子带的带中态的P(E)值随W增大先减小,然后在W≥12 后小幅上升,如图7(b)和图7(c)所示.

图7 AA 型堆垛有序-无序双层耦合正方晶格波函数的格点占据数 P(E)随 W的变化情况 (a) 弱耦合系统 U=0.5;(b),(c) 强耦合系统 U=4.0Fig.7.Variation of participation number P(E)with Wfor the order-disorder bilayer coupling system with AA stacking:(a) Weak coupling system of U=0.5;(b),(c) strong coupling system of U=4.0.

图8 给出了AA型堆垛有序-无序耦合正方晶格体系中部分典型无序强度和层间耦合强度下P(E)随体系尺寸N的变化情况.从图8(a),(b)和图8(c),(d)可以看出,弱耦合体系中P(E)随尺寸N的变化明显不同于强耦合体系.如图8(a)和图8(b)所示,弱耦合体系的带尾态不随N变化,表明带尾呈局域态;带中态P(E) 随N增大而增大,具有扩展态特征.对于强耦合体系,如图8(c)和图8(d)所示,无序较弱时的所有本征态P(E) 随N增大而增大,且带尾增大幅度明显小于带中,具有非局域态特性;无序较强时,带尾态P(E) 不随N变化,呈局域态,带中态P(E) 随N增大而增大,但其增大幅度明显小于弱耦合体系,表现出非局域态性质.

图8 AA 型堆垛有序-无序双层耦合正方晶格的格点占据数 P(E)随体系尺寸大小N 的变化 (a),(b) 弱耦合系统 U=0.5;(c),(d) 强耦合系统 U=4.0.Fig.8.Variation of participation number P(E) with system size N for order-disorder bilayer coupling system with AA stacking.(a),(b) Weak coupling system of U=0.5;(c),(d) strong coupling system of U=4.0.

通过对P(E)进行拟合,分析发现P(E)∝Nγ.图9(a)—(d)给出了AA型堆垛有序-无序耦合正方晶格体系带尾态和带中态中典型能量处的logP随 logN变化的依赖关系,图9(e)和图9(f)为拟合指数γ随能量的分布图.图9(a),(b),(e)显示,弱耦合体系(U=0.5)中γ在能带中心区(|E| Ec)表现出完全不同的行为,能带中心为严格的扩展态 (γ=1),其周围为不随无序强度增加而改变的近似扩展态的临界态 (γ ≈1),带尾态为局域态 (γ=0),并在强无序时存在清晰的与W无关的迁移率边,其中无序强度W=1,3,6,12 分别对应Ec=4.6,4.6,4.0,4.0,这一现象与我们早期在各向同性双层二维正方晶格中的结论一致[32].从图9(c),(d),(f)可知,强耦合体系(U=4)中,无序较弱时带中态和带尾态分别表现出扩展态(γ=1)和临界态(1>γ>0)特征.当无序W≥3时,带中态为临界态(1>γ >0),带尾态为局域态(γ=0),且带中态γ值在W <12区间随W增大而减小,而当W≥12时反而随W增大而增大.

图9 (a)—(d) AA 型堆垛有序-无序双层耦合正方晶格系统的带尾态和带中态中典型能量处的P(E)随N 的变化,符号对应计算结果,虚线为对 logP ∼γlogN的拟合线;(e),(f) 拟合指数 γ 随能量的分布Fig.9.(a)–(d) Variation of P(E) with N for the order-disorder bilayer coupling system with AA stacking at typical energy values in the spectral tail and central regions,where symbols are the calculation results,dashed lines are the fitting results to logP ∼γlogN ;(e),(f) distribution of fitting exponent γ with energy.

运用相同方法对AB型有序-无序正方晶格波函数的格点占据数P(E) 进行分析.图10(a)—(d)给出AB型有序-无序耦合正方晶格带尾态和带中态中典型能量处的 logP随 logN的依赖关系及对logP ∼γlogN的线性拟合,图10(e)和图10(f)为不同能量处指数γ随无序强度W及层间耦合强度U的变化情况.图中可见,指数γ随E的分布与AA型耦合体系显著不同,对于AB堆垛结构,无论W和U如何变化带中始终包含扩展态 (γ=1) 和临界态 (0<γ <1),弱无序时带尾区为少量临界态,带中态保持为扩展态;当W≥3,带尾态逐渐转变为局域态,带中态为扩展态与临界态.图10(a),(b),(e)显示,对于弱耦合体系,强无序导致负能带区在E=–4处电子态发生由扩展态 (γ=1)到局域态 (γ=0) 的转变,出现明显的迁移率边,而正能带区γ值由带中心区往E增加的方向逐渐由1 降为0,在E≈5处逐渐由临界态过渡为局域态.从图10(c),(d),(f)可看出,对于强耦合体系,相同无序强度作用下的带尾区电子局域态数量明显少于弱耦合体系,多数电子态为扩展态和临界态,尤其在–4

图10 (a)—(d) AB 型堆垛有序-无序双层耦合正方晶格的带尾态和带中态中典型能量处的 P(E) 随N 的变化,符号对应计算结果,虚线为对 logP ∼γlogN的线性拟合线;(e),(f) 拟合指数 γ 随能量的分布Fig.10.(a)–(d) Variation of P(E) with N for the order-disorder bilayer coupling system with AB stacking at typical energy values in the spectral tail and central regions,where symbols are the calculation results,dashed lines are the fitting results to logP ∼γlogN;(e),(f) distribution of fitting exponent γ with energy.

均方位移d(t) 随时间的演化,可表征耦合体系中的量子扩散行为.将双层耦合体系下层中心设置为量子波包起点对d(t) 进行数值计算与分析,发现AA和AB堆垛两种构型,有序-无序双层耦合系统的量子扩散随无序强度增大均呈现出先减弱再增强的反常量子扩散现象.AA型弱耦合系统和AB型耦合系统中的量子扩散均表现为超扩散,AA型强耦合系统中弱无序导致超扩散,而强无序导致亚扩散.

根据量子扩散理论,均方位移的长时行为通常符合d(t)∼tb关系,其中b=0,0.5,1.0 分别对应于局域化、正常扩散、弹道扩散,当 01)对d(t)∼tb进行拟合获得.从图11(a)和图11(b)可以看出,无论层间耦合强度如何变化,指数b随W增大均存在先减小再提升的转变现象,并且弱耦合体系的反转提升程度远大于强耦合体系.图11(c)给出了不同U情况下指数b对W的依赖关系,可见指数b随W增加均存在先减小再增大的反转现象.弱耦合作用(U≤ 1)导致超扩散;而强耦合作用(U>1)下,弱无序体系导致超扩散,而强无序体系导致亚扩散.

图11 AA 堆垛有序-无序双层耦合正方晶格中量子扩散的均方位移 d(t)(符号)及对 d(t)∼tb 的拟合结果(虚线) (a) 弱耦合系统 U=0.5;(b) 强耦合系统 U=4;(c) 拟合指数b 随无序度 W的变化Fig.11.Mean-square displacement d(t) (symbols) of the quantum diffusion for the order-disorder bilayer coupling system of the square lattices with AA stacking and their fitting results to d(t)∼tb (dash line): (a) Weak coupling system of U=0.5;(b) strong coupling system of U=4;(c) variation of the fitting results of b with the degree of disorder W.

图12 展示了AB型堆垛有序-无序双层耦合正方晶格中量子波包传播的均方位移d(t) 及其对d(t)∼tb拟合的结果.由图12(a)和图12(b)可见,U=1时d(t)在W=6处明显反转,U=4 时d(t)随时间的增长速率在W >15以后随W增大反而加快.图12(c)显示无论层间耦合强度如何变化,指数b随W增大均存在先减小再提升的转变现象,这与AA堆垛结构量子扩散规律一致.但不同于AA堆垛的是,由于AB堆垛结构无论层间耦合及无序强度大小如何变化带中始终存在扩展态电子,使得该体系始终表现出超扩散(b>0.5)行为,如图12(c)所示.

图12 AB 堆垛有序-无序双层耦合正方晶格中量子扩散的均方位移 d(t)(符号)及对 d(t)∼tb 拟合结果(虚线) (a) 弱耦合系统 U=1;(b) 强耦合系统 U=4;(c) 拟合指数 b 随无序度 W的变化Fig.12.Mean-square displacement d(t) (symbols) of the quantum diffusion for the order-disorder bilayer coupling system of the square lattices with AB stacking and their fitting results to d(t)∼tb (dash line): (a) Weak coupling system of U=1;(b) strong coupling system of U=4;(c) variation of the fitting results of b with the degree of disorder W.

有序-无序耦合体系中的反常量子扩散是有序、无序层两个子系统共同作用的结果.无耦合作用时,有序单层体系的所有态为扩展态,而无序单层体系的所有态为局域态.在耦合情况下,有序层的有效哈密顿量[32]减小为=Ho−δ,其中δ=Hod(Hd−E)−1Hdo,Ho为不考虑无序层影响的独立有序单层体系哈密顿量,Hd为不考虑有序层影响的独立无序单层体系哈密顿量,Hod和Hdo为有序、无序层相互作用项.由于Hd中无序格点能的贡献导致中包含无序干扰项,使得有序层中的电子运动受阻.随着W的增加,δ项贡献逐渐减小,因而弱无序时随W增加量子扩散减弱,但强无序时量子扩散随W增加反而提升[32].由于干扰项δ正比于U2,δ在弱耦合情况下远小于有序层内的跳跃能h,使得无序层对有序层的干扰较小,带中态仍维持扩展态或近似扩展态的临界态特征;而在强耦合情况下,δ与h相比不再是小量,使得带中态受到无序层的显著影响,导致近似局域态的临界态出现,而当W ≫U时,δ逐渐小于h,使得无序层对有序层的干扰再小,因此量子扩散在强耦合系统中存在随W增加先减弱再提升的反常现象,但其量子扩散要弱于弱耦合系统.

在实际二维体系中,相较正方晶格而言六角晶格结构(如石墨烯和六角氮化硼等)更为常见,因此有必要进一步讨论无序度和层间耦合强度对六角晶格结构电子输运性质的影响.计算结果表明,有序-无序双层耦合六角晶格系统具有与双层耦合正方晶格系统完全一致的结论.采用AA型堆垛有序-无序双层耦合六角晶格系统来展示计算结果,其模型如图13 所示.数值计算中设置键长a0及层间距离d=1,仅考虑最近邻格点间跃迁能的贡献,将层内跃迁能h=1,有序层格点能取0,无序层格点能取 [−W,W]之间随机数.无序强度W与层间耦合强度U为可调参数,W=0及W >0 分别对应双层耦合周期系统和有序-无序双层耦合系统.该耦合体系尺寸采用N=7912(X ∈[−33,35],Y ∈,Z=0或1)和50 个不同随机样本进行样本平均.

图13 有序-无序双层六角晶格耦合体系模型图,上层原子位于下层原子正上方Fig.13.Schematic illustration of the order-disorder coupling system of bilayer hexagonal lattices,the upper atom is directly above the lower atom.

对于AA型双层六角晶格周期体系,解薛定谔方程可求得能带色散关系为

当U>3h时,能带分裂为两个子带,其带隙宽度∆E为

图14 给出双层耦合六角周期晶格(W=0)的能带及DOS 随层间耦合能U的变化关系.可见,其上、下能带随U增大逐渐分离,能带在U>3时在费米能处产生带隙,分离为与单层六角晶格相同的两个独立能带,其带隙宽度随U的变化服从(16)式.与正方周期晶格相比,六角周期晶格能带分离所对应的临界层间耦合能U临更小.AA型有序-无序双层耦合六角晶格结构与AA型有序-无序双层正方晶格结构在电子态密度DOS、粒子参与数P(E)及均方位移d(t)对W和U的依赖关系上表现出类似的特征.从图15(a)可知,有序-无序六角晶格弱耦合体系能带随W增大始终保持单带形式,且能带中心区逐渐接近单层六角晶格周期体系的DOS 分布;对于强耦合体系,随着W增大,带隙不断缩小直至消失,随后带中DOS 逐渐增大,如图15(b)所示.图15(c)和图15(d)表明无论体系无序强度大小,随层间耦合能U的增加,带中均出现带隙,且带隙宽度随U增加.

图14 双层耦合六角周期晶格的能带与DOS (a) U=1 的能带图;(b) U=4 的能带图;(c) DOS 随 U 的变化Fig.14.Energy spectra and density of states for the periodic coupling system of bilayer hexagonal lattices: (a) Energy spectra with U=1;(b) energy spectra with U=4;(c) variation of DOS with U.

图15 有序-无序双层耦合六角晶格电子能谱 (a),(b) DOS 随W 的变化;(c),(d) DOS 随U 的变化Fig.15.Energy spectra for the order-disorder bilayer coupling system of bilayer hexagonal lattices: (a),(b) Changes of the DOS for different W;(c),(d) changes of the DOS for different U.

进一步研究有序-无序双层耦合六角晶格结构不同能量处的 logP随 logN的依赖关系并对logP ∼γlogN做线性拟合,图16 为不同能量处拟合指数γ随无序强度W及层间耦合强度U的变化情况.可见,随着W的增加,弱耦合体系(U=0.5)能带中心(|E|

运用函数d(t)∼tb对有序-无序双层耦合六角晶格中量子波包传播的均方位移d(t) 数值结果进行拟合,拟合参数b随无序度W依赖关系见图17.可知,无论层间耦合强度如何变化,指数b随W增加均存在先减小再增大的反转现象,弱耦合作用(U≤1)导致超扩散;而强耦合作用(U>1)下,弱无序体系导致超扩散,强无序体系导致亚扩散.

图17 有序-无序双层耦合六角晶格结构中对d(t)∼tb的拟合参数 b 随无序度 W的变化情况Fig.17.Variation of the fitting parameter of b of the fitting function d(t)∼tbwith the degree of disorder Wfor the order-disorder bilayer coupling system of bilayer hexagonal lattices.

4 结论与展望

基于紧束缚近似理论,采用矩阵对角化方法对电子本征波函数、DOS 及量子扩散行为进行数值计算,将单层无序强度及层间耦合强度作为可调参量,深入研究有序-无序双层二维耦合系统的电子输运性质.首先计算双层周期体系能谱特性,随后进一步研究有序-无序耦合体系.研究发现,对于AA堆垛的双层耦合正方晶格,层间耦合较弱时保持单一能带,带中部分始终保持为延展态和近似延展态的临界态,而带尾态为局域态,在正负能量区存在对称的不因无序强度增加而消失的迁移率边,这一现象与我们前期在各向同性的AA型有序-无序双层二维耦合系统中得到的结论一致[32];对于层间耦合较强的耦合系统,弱无序时能带带尾态为临界态,带中态为扩展态,而强无序时两能带交叠为单一能带,其带尾态为局域态,带中态为临界态且其延展性随无序强度增大呈现出先降低后增强的现象.在AB堆垛的有序-无序双层耦合正方晶格中,无论无序强度和层间耦合强度如何改变,其始终保持能带中心区为延展态和临界态的单一能带,且当层间耦合较弱时强无序作用导致负能量区存在明显迁移率边.在AA和AB堆垛两种构型的有序-无序双层耦合系统中,量子扩散随无序强度增大均呈现出先减弱再增强的反常量子扩散现象.AA型弱耦合系统和AB型耦合系统中的量子扩散均表现为超扩散,AA型强耦合系统弱无序体系导致超扩散,而强无序体系导致亚扩散.最后,将有序-无序分离概念进一步推广至六角晶格结构并得出与四方晶格结构一致的结论.有序-无序双层二维耦合系统可进一步应用于石墨烯和MoS2等其他层状材料.实验上可以通过掺杂微加工、衬底调制等方式使其中一个原子层形成不均匀的无序层,因此本研究将为层状材料的研究及电子器件的设计提供新思路.

感谢法国巴黎索邦大学凝聚态理论物理实验室Rémy Mosseri 教授以及湘潭大学物理与光电工程学院李金老师的讨论.