基于新型趋近律的永磁同步电机非奇异终端滑模控制

朱其新，黄旭，朱永红

(1.苏州科技大学机械工程学院，江苏苏州 215009；2.苏州科技大学建筑智慧节能江苏省重点实验室,江苏苏州 215009；3.景德镇陶瓷大学机电工程学院，江西景德镇 333001)

0 前言

永磁同步电机(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM) 因具有高精度、高速度、推力大、散热性能好等优点，广泛应用于动态性能和运动精度要求较高的进给伺服系统中。高精度机床对于电机的性能要求很高，但是永磁同步电机由于缺少中间的传动环节，使非线性摩擦力、端部效应、外部扰动、齿槽效应等不确定性因素作用到 PMSM 的动子上，增加了抖振，降低了系统的响应速度。永磁同步电机因非线性、强耦合、多变量的特点，普通的线性控制方法已经不能满足其在实际生产中的需要。

滑模控制(Sliding Mode Control，SMC)因不需要知道系统精确的模型，并且抗扰动性强，一直是研究的热点。它响应速度快，可以使系统处于一种滑动模态中，这种滑动模态可以在不受系统参数和外部扰动影响下进行设计，所以鲁棒性强，对系统内部参数变化和外部负载扰动不敏感，而且对未建模动态具有不变性，是当前比较被认可的一种非线性控制方法。由于滑模控制滑动模态的特性，不可避免存在抖振，常见的抑制抖振的方法有边界层法[1]、趋近律法以及和其他智能控制相结合的方法。高为炳[2]最先提出趋近律的概念，他提出的等速趋近律、幂次趋近律和指数趋近律对系统抖振的减小和趋近速度的提高有非常重要的意义。但是等速趋近律无法消除误差，指数趋近律在接近滑模面的时候抖振很大。幂次趋近律因为不存在符号项，抖振减少，而且在接近滑模面的时候速度不会过快，也减少了抖振的产生，获得了人们的关注。ROHITH[3]提出了分数幂次趋近律，解决了抖振问题,保持了很好的鲁棒性，系统响应速度快，他从指数项入手，利用数学关系提高了滑模性能。YANG和CHEN[4]结合了快速趋近律以及双幂次趋近律的优点，提出了分段快速幂次趋近律的设计方案，分段对指数进行讨论，提高了整体的趋近速度。KANG等[5]抓住了双幂次趋近律的特点，在靠近滑模面和远离滑模面的阶段进行分别讨论，将反正切函数加入幂函数的指数，分段函数简单、连续并且光滑，从而减小了抖振，提高了速度。张瑶等人[6]证实了多幂次趋近律存在的合理性，并且多增加了一个指数项，进一步提高了趋近速度。田野和蔡远利[7]设计了变指数趋近律，与双幂次趋近律和多幂次趋近律进行了对比，达到了自适应的效果，但是实际应用时，初始状态容易产生奇异点。

除趋近律的设计，滑模面的选取也是消除抖振的有效方法。滑模控制的鲁棒性主要体现在趋近阶段，而达到阶段既存在抖动又有不确定的外在因素，导致系统的鲁棒性下降，所以滑模面的设计非常重要。常见的滑模面有线性滑模面、终端滑模面[8-9]、高阶滑模面[10-13]和积分滑模面[14]等。线性滑模面和积分滑模面只能实现指数收敛，不能保证在有限时间内收敛到原点。DEEPIKA等[15]利用线性面和终端滑模面组合的方式，设计出非线性超曲面终端滑模面，但是没有考虑到奇异点的问题。梅红和王勇[16]提出了新型终端滑模面，在滑模面引入符号函数，重叠了趋近和到达阶段，但是收敛时间有待提高。YU等[17]设计了一种终端滑模面，通过切换函数，在快要接近零点的时候避免奇异点，然而影响了收敛性。

基于如上讨论，本文作者针对永磁同步电机控制系统，选取非奇异终端滑模面，设计新型幂次趋近律。该趋近律根据滑模两个不同的收敛阶段，运用切换函数改变趋近律的幂次值，使得该滑模变量在两个阶段都有较快的收敛速度。同时，增加一项指数项，进一步保证趋近律在远离滑模面阶段的快速性。

1 三相永磁同步电机数学模型

假定永磁同步电机是理想状态，并作以下假设[18-19]：

(1)永磁体的磁动势固定不变；

(2)电机反电势是正弦形式的；

(3)电机转子上不存在阻尼绕组；

(4)电机感应电动势和气隙磁场都是按正弦分布，且不考虑磁场的所有谐波；

(5)三相定子绕组在定子空间中呈对称分布，三相绕组中的各个电枢电阻均相等，三相绕组中的各个电感也均相等；

(6)不考虑电机铁芯的永磁饱和因素，同时不考虑电机中的涡流损耗；

(7)不考虑电机周围环境温度对电机的影响。

文中选择id=0的控制方式，所以选取d-q坐标系下进行研究。在d-q坐标系下永磁同步电机的模型[19]为

Uq=Rsiq+λq+ωeλd

(1)

Ud=Rsid+λd+ωeλd

(2)

λq=Lqiq

(3)

λd=Ldid+Lmdidf

(4)

ωe=npωr

(5)

式中：id、iq分别为定子电流 d、q轴分量；Ud、Uq分别为定子电压 d、q轴分量；Rs为定子电阻；Ld、Lq分别为定子d、q轴电感；ωe为转子电角速度；ωr为转子机械角速度；λd、λq为d、q轴定子磁链；Lmd为d 轴的互感；idf为d轴等效磁化电流；np为极对数。

永磁同步电机电磁转矩和机械转矩方程分别为

Te=3np[Lmdidfiq+(Ld-Lq)idiq]/2

(6)

Te=Jωr+Tl

(7)

式中：Te为电磁转矩;Tl为负载转矩;J为转动惯量。

当采用id=0的矢量控制策略时，该电机的电磁转矩方程可化简为

λd=λq

(8)

λq=Lqiq

(9)

(10)

至此就完成了永磁同步电机的解耦,本文作者通过设计永磁同步电机的速度环滑模控制器，以转速误差为输入、电流为输出，实现对永磁同步电机的控制。

2 滑模控制器设计

滑模控制器设计主要分为两个阶段：切换函数(滑模面)的设计；趋近律设计。趋近律设计主要针对的是系统从无穷远处趋近于滑模面的过程，而滑模面的设计是针对从滑模面趋向于零点的过程。为减小抖振和增加趋近速度，可以从趋近律设计和滑模面设计两个方面同时进行优化。

2.1 滑模面设计

滑模面也叫切换函数，它决定了滑动模态的稳定性和动态性能。

线性滑模面具有如下形式:

s=λ1x1+λ2x2+…+λnxn

(11)

其中：{λ1，…，λn}满足赫尔维茨条件。

线性滑模面的优点是设计简单，并且能够通过调节滑模面系数达到渐近稳定，缺点是不能完全保证在有限时间达到原点，不太适用于复杂的非线性系统。

终端滑模面引入了终端吸引子[20]的概念，可以使系统沿着滑模面在有限的时间达到原点。它克服了线性滑模面的缺点，并进一步提高了趋近速度。其基本形式为

(12)

(13)

其中：p>q>0；β>0。

在实际工程问题中，在计算的时候会面临奇异点的问题，例如电机瞬间启动的加速度或者是输入电流会很大，由此促使了非奇异终端滑模面[23]的产生：

(14)

其中：h>g>0；α>0。

文中选取式(13)所示的非奇异终端滑模面，将它与普通线性滑模面做对比，结果如图1所示。

图1 线性滑模面和非奇异终端滑模面的对比

由图1可以看出：非奇异终端滑模以非常快的速度到达了s=0的滑模面上，它对于提高系统性能具有积极的作用。

2.2 改进的新型趋近律

趋近律的概念由高为炳教授最先提出，它起初在数学中指的是一种到达条件，后面因为良好的抗扰动，并且不依赖模型的特性，被运用到控制之中。恰当地选取趋近律能够保证运动的品质以及减小抖振。

常见的趋近律有以下4种：

(1)等速趋近律：

(2)指数趋近律：

(3)幂次趋近律：

(4)一般趋近律：

很多文献中所采用的趋近律都是以上4种趋近律的组合，从而能达到一加一大于二的效果。趋近速度和抖振是两个相互影响的考量因素。本文作者在双幂次趋近律的基础上，引入了切换函数，分情况改善趋近效果。在|s|<1的情况下，通过引入终端因子项，减小抖振。在|s|>1的情况下，通过增加一个指数项，提高趋近速度。又因为非奇异终端滑模面的要求，其最后形式为

(15)

其中：

式中：k1>0；k2>0；a>1；0g；p>q,且p和q为正奇数。

根据滑模的存在条件[22]，构建李雅普诺夫不等式：

(16)

双幂次和新型趋近律在线性滑模面的条件下对比如图2和图3所示。双幂次趋近律设计的控制器输出为u1,其输出转速响应为n1,文中设计的控制器输出为u2,其输出转速响应为n2。对比图2和图3可以发现：文中提出的新型趋近律有更快的响应速度，振动也得到了有效的抑制。

图2 控制器输出u的对比 图3 转速响应n的对比

2.3 滑模控制器设计

设计状态方程为

(17)

其中：ω*为给定转速；ω为实际转速。

联立式(7)和式(10)，再代入式(17)，注意到φf=Lmdidf，可得：

(18)

对滑模面求导得：

(19)

式(15)(18)(19)联立得到控制器的函数：

k2|s|bsgn(s)+k3s]

(20)

3 仿真与结果分析

3.1 仿真模型的搭建

为验证文中滑模控制算法的正确性，搭建如图4所示的永磁同步电机Simulink仿真结构。速度控制器分别用双幂次趋近律和文中提出的新型趋近律进行控制，最后进行仿真结果的对比。

图4 永磁同步电机仿真结构

电机具体参数:定子电阻R=2.46 Ω;d、q轴电感Ld=Lq= 6.35 mH;永磁磁链φa= 0.175 Wb;转动惯量J= 1.02 g·m2;黏滞摩擦因数B=0.000 1;极对数P=4;额定转速3 000 r/min，逆变器开关频率为15 kHz。

3.2 仿真结果的分析

图5 永磁同步电机启动响应比较 图6 系统跟踪动态响应

为对比调速系统的跟踪效果，文中给出了正弦输入信号，其幅值为100，频率为1 Hz,其余参数仍然不变，其仿真波形如图6所示。

由图6可以看出：采用文中提出的趋近律的电机系统的转速跟踪响应曲线更加光滑，抖振更少。

综上可知，新型趋近律的终端滑模控制器比双幂次趋近律的终端滑模控制器在整体性能上更优。

4 结论

本文作者以永磁同步电机为对象，设计了新型的速度控制器。通过对比几种滑模面，根据控制对象非线性的特性，选择非奇异终端滑模面，提高了趋近速度。在趋近律的选取方面，综合比较了几种常见趋近律的优缺点，选择了双幂次趋近律进行改进。根据趋近阶段远离滑模面和接近滑模面的两个阶段，使用切换函数，引入终端因子，在增加速度的同时减小了抖振。同时增加了指数项，在远离滑模面的阶段大大提高了趋近速度。仿真结果表明：该新型滑模控制方法的综合性能更好。本文作者在设计中没有考虑扰动的影响，如何估计和补偿扰动的影响则有待于进一步研究。