“情境—问题—思维”视角下的数学情境设计解析*

胡连成|江苏省丰县梁寨初级中学

数学教学活动是教师积极引领的“教”的活动，更是学生主动思考的“学”的活动.如何在教学活动中实现学生的主动学习与思考，《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出了三条教学建议：丰富教学方式；重视单元整体教学设计；强化情境设计与问题提出.下面，笔者结合教学实践从“情境—问题—思维”的视角阐述情境设计的基本策略，并简要说明问题的生成与引领、理性思维的发展与培养之道.

一、情境、问题与思维

（一）情境与问题

情境通常指一个人在进行某种活动时所处的社会环境，是人们社会行为产生的具体条件、境地、状态.数学情境指学生参加数学活动、产生数学行为的环境或背景，是能够让学生产生主动思考的智力背景，是使学生主动提出问题、尝试解决问题并形成积极情感体验的信息材料或刺激模式[1].问题是个体面临目标难以达成时产生的心理困境.问题与情境相伴而生，一般认为情境即问题情境，不论是生活问题情境、数学问题情境还是科学问题情境等，其目的都是通过创设情境引发认知冲突，形成数学问题.问题伴随情境而产生，情境为问题而设计.

问题情境有两种区分视角：“情境指向”和“问题指向”.前者关注基于情境产生的一系列问题，后者关注情境引发的心理困境和探究氛围.笔者认为，问题情境指创设与教学目的、内容体系及学生认知结构、认知心理相关联，能引发认知冲突，形成核心问题，促进学生主动思考的学习探究氛围[2].

（二）理性思维

思维是人脑对客观现实概括的、间接的反映，是人脑在表象、概念的基础上进行分析、综合、判断、推理等认识活动的过程，它源于社会实践，体现的是事物的本质与其内部规律性.数学思维是人脑和数学对象交互作用并按照人类一般的思维规律认识数学本质和规律的理性活动[3].

数学最本质的特征是逻辑严密，理性思维是其第一属性.理性思维指具有明确思维方向、充分思维依据，能对所指向的问题进行观察比较、分析综合、抽象概括、反思质疑、批判创新等自觉思维活动的一种思维.它是一种注重自觉学习和主动反思的思维方式，强调经由具体的数学方法和策略的学习转向一般性思维策略的学习.

（三）“情境—问题—思维”教学视角

“情境—问题—思维”教学视角具有以下特征：注重在数学教学活动中通过问题情境设计，引发认知冲突，生成数学问题，发展问题意识；通过对问题的分析与聚焦，形成核心问题，引领后续的探究活动；倡导基于核心问题，通过一般化、特殊化、类比、逆向等思维方式形成问题链，在系列的问题思考中将思维引向深入.它能促进学生的深度思考与反思建构，使其在实现思维自觉的同时发展理性思维.

二、“情境—问题—思维”视角下的情境设计解析

数学的有效学习需要学生的深度思考，而引发学生思考的重要策略是情境的创设和问题的引领.吕传汉教授提出了基于问题意识培养的“科学性、探究性、发展性、趣味性”数学情境创设基本原则；章飞教授提出了数学问题情境创设“现实性、趣味性和数学一致性”的基本策略；李吉林老师提出了“真、情、美、思”“情景交融、境界为上”等情境创设基本要求.上述专家从宏观视角阐述了问题情境创设的基本原则与要求，概括性强、抽象度高.以下，笔者从“情境—问题—思维”视角出发，结合教学案例具体分析数学问题情境设计的前提、目的、内涵与形式.

（一）前提：立足最近发展区，引发认知冲突

最近发展区是指儿童在成人指导下或在有能力的同伴合作中解决问题的潜在发展水平[4].不同学生指向同一知识的最近发展区也有一定的差异.理想的教学应该着眼于大多数学生的最近发展区，准确定位教学最佳区，在兼顾个性发展的同时实现共同提升.数学问题情境设计要根据教学目标、教材内容体系和学生的认知结构、认知心理，提供中等难度的信息材料.当学生用已有的知识方法无法顺利解决信息材料中的问题时，就会产生思维困境和认知矛盾，然后在思维碰撞中形成认知冲突，最终在积极的问题思考中顺利超越其最近发展区而达到下一个发展阶段的水平.如此循环，就可达成“跳一跳摘到桃子”的教学效果.

【案例1】“正切”情境设计

笔者呈现两组图片（详见图1、图2）并提出问题，让学生观看图片并回答，然后梳理整合学生回答情况，形成问题链，启发学生理性思考和有序表达.

图1不同比值台阶组

图2同比值台阶组

问题1：图1中哪个台阶更陡？你是如何判断的？

问题2：比较图2中的两个台阶，你有什么发现？

问题3：你能用哪些不同的量来表示直角三角形斜边“陡”的程度？

问题4：问题3中这些不同的量之间有怎样的关系？你能用学过的知识解释其中的道理吗？

问题5：你能否找到类似的直角三角形中两边的比值与角的对应关系？

案例分析：“正切”是苏科版义务教育教科书《数学》（以下简称“苏科版教材”）九年级下册第七章第一节中的内容.笔者通过生活中的台阶问题引发学生对实际问题的数学思考，利用相似图形知识得出直角三角形的锐角大小与其对边邻边的比值之间存在对应关系.学生通过自主思考一般可以得出台阶“陡”的程度可以从两个层面加以说明：一是台阶的斜边与水平直角边的夹角大小可以说明台阶“陡”的程度，二是台阶的两个直角边长度变化会影响台阶“陡”的程度.教师要在学生自我发展可以达到的基础上明确其最近发展区，抓住教学最佳区，通过系列问题引领学生思维发展：（1）是否可以从“量”的角度精确刻画台阶“陡”的程度（直角三角形中的锐角大小及其对边与邻边的比值）？（2）这两种“量”之间有怎样的关系（通过图形动态演示，从图形变化的角度感知二者的对应关系）？（3）如何解释“直角三角形中的锐角与其对边邻边的比值之间是一一对应关系”（利用相似三角形知识解释）？经过主动思考和知识重构，学生对“正切”的概念形成了意义理解，进而建构基于相似图形和函数知识相融合的认知结构，并为后续学习正弦、余弦作铺垫.

（二）目的：基于认知冲突，生成核心问题

数学是个体思考的产物，如何让学生主动思考，是教师在教学中首先要考虑的问题.而通过情境创设，形成认知冲突，是引发学生思考的诱因，由此生成的系列问题是学生深度思考的载体.认知冲突是已有认知图式与解决新问题所要求的能力之间存在矛盾时的一种知觉状态，这时平衡的知识结构变成了不平衡，当人们利用同化或顺应的方式形成新的平衡的知识结构时，有意义的学习就产生了（详见

图3新的认知图式的建构过程

【案例2】“平方根”情境设计

师：计算两个直角三角形的斜边（详见图4），你有什么发现？

图4三角形示意

问题1：如果x12=25，那么x1=____.你是如何计算的？请你再举出类似的例子.

问题2：如果x22=2，那么x2=____.你能确定x2的值吗？如果不能，你能计算出它的近似值吗？它的准确值如何表示？请你再举出类似的例子.

问题3：如果x2=a，那么x=____.你能确定a的取值范围吗？如何表示x的值？

问题4：如果x3=a，那么x=____.你能确定a的取值范围吗？如何表示x的值？

案例分析：“平方根”是苏科版教材八年级上册第四章第一课时的内容，它是一种典型的抽象概念，对学生的数感和符号意识发展都起着重要作用.从这一章开始，学生的知识结构就从有理数范畴拓展到了实数范畴.这是从自然数到整数再到有理数之后的又一次重要数系扩充，而每一次数系的扩充都源于实际计算的需要，这节课的情境设计正基于此.学生根据已有的数学知识可求出第一个直角三角形的斜边长，而第二个斜边长的计算会出现问题，用已有的知识方法不能求出结果，形成了认知冲突.这能激发学生的求知欲，使其生成核心问题“如果x2=2，那么x=____”引领后续探究.问题探索遵循从“特殊到一般、从已知到未知”的思维发展规律，先结合可以开得尽方的有理数平方根计算过程，明确平方根的计算方法.再以核心问题“如果x2=2，那么x=____.”为例，探索不能开得尽方的有理数平方根计算问题，通过分析其“客观存在性”和现有方法的“不可表示性”，感受数系扩充的必要性，通过回顾历史上数学家创造的不同表示方法，体会数学的发展历程.然后通过“如果x2=a，那么x=____.”问题的一般化思考，明确平方根的计算原理（利用平方的逆运算进行计算）和一般的表示方法［a的平方根为±a（a≥0）］，顺利实现数系的扩充和运算体系完备化（加减、乘除、乘方与开方）.最后类比平方根的计算原理和表示方法，让学生课后解决立方根的相关内容.

（三）内涵：情境问题是载体，思维发展是主线

数学教育最重要的价值是培养学生根植于内心的数学素养和自觉的数学意识.日本数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》一书中指出：上学期间学习的数学知识，在学生进入社会后由于没有应用机会而很快被忘掉，唯有深深铭刻在头脑中的数学精神、思想和方法能随时随地发挥作用，使学生终身受益.数学是思维的科学，数学课堂是思维发展的舞台.“情境—问题—思维”视角下的数学情境教学，注重在问题的引领下发展学生的数学思维，使其运用数学的思维方式观察、分析、解决现实问题，学会用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维分析现实世界、用数学的语言描述现实世界，并在数学思维发展的同时养成主动学习、主动反思的意识，然后经由具体的数学方法和策略的学习转向一般性思维策略的学习，进而培养理性思维、发展理性精神.因此，数学情境设计不仅要基于认知冲突生成具体的问题，更要在问题生成、思考和解决的过程中发展学生的数学思维和理性精神.

【案例3】“勾股定理”情境设计

笔者利用数学实验学具模型，演示“勾股定理注水法证明”（详见图5），让学生说出自己的发现.

问题1：实验中的三角形是直角三角形吗？

问题2：如果不能确定是直角三角形，你应该如何思考？

问题3：是否所有的直角三角形都具有“两直角边的平方和等于斜边的平方”的性质？钝角三角形和锐角三角形也具有这一性质吗？

问题4：具备这种性质的三角形是否一定是直角三角形？

图5“勾股定理注水法证明”示意

案例分析：“勾股定理”是苏科版教材八年级上册第三章第一课时的内容，这节课的主要任务是“经历探索勾股定理的过程，发展合情推理能力”，其后的第二课时学习勾股定理的典型证明方法，第三课时学习勾股定理的逆定理.笔者以数学实验学具演示“勾股定理注水证明”的过程（演示时不要说明学具中的三角形是否是直角三角形），让学生观察、思考，说出自己的发现.学生常常将模型中的三角形默认为直角三角形，得到结论“直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方”.笔者及时以问题“它一定是直角三角形吗”引导学生进一步思考，生成这节课具有开放性和生长性的核心问题“哪类三角形两边的平方和等于最长边的平方”，然后借助方格纸画图计算验证.通过画出的诸多图形，学生可以归纳出：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，锐角三角形两边的平方和大于最长边的平方，钝角三角形两边的平方和小于最长边的平方.笔者再以问题“通过画图是否可以说明所有的直角三角形都具备上述性质”引领学生思考问题的一般化证明及其逆向思考（如果一个三角形两边的平方和等于长边的平方，它一定是直角三角形吗？）.如此，借助实验情境，生成数学问题，引发深度思考，通过从特殊到一般的归纳推理，多角度思考问题的分类讨论，执果索因、反向思考的逆向思维等系列思维活动，可在发展学生严谨的数学思维和理性精神的同时实现情境问题对后续学习的统领作用.

（四）形式：“：“真、趣、美、简”的和谐统一

情境的设计要能吸引学生的注意力，引发其深度思考，就应在注重思维内涵的同时兼顾“真、趣、美、简”等特点，力求实现问题与思维相融、形式与内涵统一.

其一，问题情境的“真”指向情境的生活性、真实性和科学性.我们可利用生活实际问题创设情境，增强学生的数学应用意识；可利用数学史话创设情境，让学生了解数学发展历程；可利用数学活动和科学实验创设情境，让学生在活动中思考数学真谛.不管是生活情境、数学情境还是科学情境等，我们都不能为情境而编造情境，尤其不能编造虚假的、违背科学常识的情境.

【案例4】“一元一次方程”情境设计

小明在2019年把10万元定期存入某银行2年，到期后共得本息12万元，问这家银行的定期存款年利率为多少？

案例分析：通过计算可知该银行定期存款年利率为10%，这与实际不符.经查询，2019年央行的2年期定期存款的基准年利率为2.25%，各银行在这基础上有适度调整，但最高没有超过3%的，这就属于典型的虚假情境.

其二，问题情境的“趣”指向形式之趣、变化之趣、方法之趣、人文之趣.变化的问题形式、动态的图形运动、充满想象的趣味情境、富有内涵的人文底蕴、妙趣横生的方法之变等，一定能吸引学生的眼球，引发学生的深度思考.如案例3中学具的动态演示、问题的直觉判断、严谨的理性思考，就充分体现了问题情境的形式之趣、方法之趣、思想之趣.

【案例5】“读心魔术”情境设计

师生共同完成下列步骤：教师首先猜一个数字，写在信封内；然后请学生任选一个以同一数字组成的三位数，计算出这个三位数除以其各数字之和的商，记在心中，不要告诉他人；教师随机抽取一个学生，让其公布心中的数字；最后揭晓教师写在信封中的数字.

案例分析：这是王奕玮老师在全国第十二届初中青年数学教师课例展示活动中执教“代数推理”一课的情境设计.每个学生想到的三位数各不相同，却得到一样的数字，为什么？每个学生心中都会有个大大的问号.情境设计有趣、有味、有内涵，引人深思.在这样的情境氛围中，学生能不主动发现问题、积极思考、深入探究吗？

其三，问题情境的“美”指向问题的数学美、思想美、意境美.数学情境不但要追求外在形式之趣，更要追求数学本质之美.指向数学本质的问题情境才值得学生思考、探究.教师要通过情境的创设，使学生在对有趣有味问题的思考中，得到简洁的数学规律，感受数学方法之妙，体会数学思想之味，进而从感性走向理性.这正是数学意境之美、理性之美的体现.

【案例6】“等分三角形面积”情境设计

AD是△ABC的中线（图略），图中有面积相等的三角形吗？你的理由是什么？你还有什么发现？

问题1：你能画出多少条可以等分△ABC面积的直线？

问题2：过三角形重心的直线是否一定等分三角形的面积？

问题3：点E在△ABC的边上（与顶点或各边中点均不重合，详见图6），过点E能否画出等分△ABC面积的直线？如果能，能画几条？你有什么发现？

图6等分三角形面积示意

问题4：如果我们可以画出无数条等分△ABC面积的直线，这些直线的分布是否存在一定规律？

案例分析：该案例是九年级学生在学习三角形重心之后所开展的探究性学习.学生回顾三角形中线等分三角形面积的相关知识后，结合图形提出自己的想法.学生提出的问题可归纳为两类：一是能画多少条符合条件的直线；二是符合条件直线的分布有没有规律.

符合条件的直线可分为三类.（1）三角形的中线所在的直线（如图6-1中的线段AD）.（2）平行于三角形一边且把另两边分为两部分的直线（如图6-2中的线段GH）.（3）更为一般的直线：画法一（见图6-1），连接AE，过点D作DF∥AE，交AB于点F，由S△ADF=S△EDF可得S△AOF=S△EOD，故S△EFB=S△ADB则直线EF为所求；画法二（见图6-2），连接EH，过点G作GF∥EH，交AB于点F，则直线EF为所求.所以可作出无数条等分三角形面积的直线.

符合条件的直线分布规律探究：（1）利用举例可说明“经过三角形重心的直线不一定等分三角形”，过三角形重心作一边的平行线，则该直线把三角形分成面积比为4∶5的两部分.（2）符合条件的直线可用几何画板动态展示其分布规律的图形之美，其间还蕴含着简洁的数量关系（初中生理解尚存在困难，可以让学有余力的学生课后查阅相关文献[5]）.如此，通过图形动态演示和计算推理，学生可以感受到图形变化的和谐美、数量关系的简洁美、思维转变的意境美.

其四，问题情境的“简”指情境设计不必繁、不必绕、不必难.教师可通过数学情境揭示数学问题，所设情境要直指数学的本质，应简约而不简单，不能为创设情境而生搬硬套，不能指向不明以致让人不知所言，也不能信息过多以致干扰学生的思维.

【案例7】“有理数的乘法”情境设计

七年级学习“有理数的乘法”时，某版本的教科书利用水位的变化设置情境，水位上升为正、下降为负，几天后为正、几天前为负.

案例分析：水位分正负、时间也分正负，本来负数就是理解上的难点，这样绕来绕去，对基础薄弱的学生来说无疑增加了理解难度.而人教版义务教育教科书《数学》就注意到了这个问题，采用“举例子、找规律”的简单归纳法进行情境创设，这种处理方式比较适合七年级学生的思维发展水平.拉普拉斯曾说归纳和类比是发现真理的主要工具.从一定程度上说，归纳推理更体现为一种学习智慧.以往知来、以见知隐，是培养学生创新能力的重要方式.

综上，数学是思维的体操，数学课堂是思维发展的舞台，如何让学生在课堂上实现有效的思考，值得每位数学教育工作者深思.“情境—问题—思维”视角下的课堂教学，强调基于学情，明确最近发展区，精心设计“真、趣、美、简”兼备的数学情境，引发学生的认知冲突，使其在思维的碰撞中生成数学问题，并以此引领探究活动，在问题探究中体会数学思想方法的变换之妙、简洁之美、思维之趣，在知识的类比和归纳中发展数学思维.这种教学方式注重培养学生的自觉学习和反思意识，强调通过具体的数学方法和策略学习，使学生转向对一般性思维策略的学习，实现理性思维的发展.