数学教育应该加强数学与哲学的联系

丽水学院教师教育学院(323000) 胡吉振 潘家乐 金璐瑶

华中师范大学数学与统计学学院 胡典顺

华中师范大学教育学院 周东明

1 问题提出

中小学数学,尤其是现代小学数学几乎都是彻底生活化的数学,数学与生活的密切联系已经得到了很好的贯彻执行.

中国古代数学与生活的联系也是像今天的小学数学课本那样关系是十分密切的.现实生活是丰富多彩、五彩缤纷的,但是现实生活是一个现象的世界或者说是一个事实的世界,数学的本质毕竟是抽象的,过渡的生活化就几乎等价于过渡的形象化或具体化,是远离数学本质的,而不是走向数学本质的抽象化,这就造成了数学越生活化,数学越脱离自己的本质,数学就越不像本质的数学,这样也不利于学生对数学的学习和抽象思维的培养.另外,一些学者提出在数学教育中,尤其是在小学数学教育中要加强数学与其他学科的联系,很多的老师会说到数学与化学、物理、生物等自然科学的联系[1]232,而很少强调数学与人文科学的联系,例如很少有学者强调经济学、艺术、哲学等人文科学与数学的联系.即使是物理、化学、生物等这些自然科学与数学的联系,也就是数学在这些具体学科上的应用,这些学科与数学有本质的差别,它们都是研究客观物质世界中具体存在之物,但是数学本质是抽象的,是研究观念之物或想象之物的.从这个意义上讲,二者的研究对象有本质的差别,强调数学与物理、化学的联系不外乎强调数学的应用性,数学的应用性也许能培养学生对学习数学的兴趣,然而不一定能够培养学生的抽象思维能力.但是强调数学与哲学的联系,则是强调抽象与抽象的联系,却可能更好的培养学生的抽象思维.哲学是人类对自然界、人类社会和思维的高度抽象概括,这种抽象是理论化的、系统化的体系,这与数学是一样的,都是抽象化的,理论化、系统化的体系.从这个意义上讲,哲学与数学是很类似的.因此笔者认为,数学更应该加强与以哲学为代表的人文科学的联系,具体来讲,其原因至少有以下三点理由.

2 三点理由

2.1 在历史上与数学关系最密切的是哲学

无论是从中国古代数学与哲学关系的角度,还是从古希腊数学与哲学关系的角度来讲,数学与哲学都有着十分密切的联系,这种联系是自然而然的.中国古代数学最早是在哲学著作中出现的,或者说中国古代数学最初是包含在中国古代哲学之中,随后才逐渐的从哲学这个母体中分离出来,成为一门独立学科分支的.我国古代伟大哲学家、思想家、道家学说的创始人老子的《道德经》中包含着丰富的数学思想和数学知识,例如“大直若屈(大的直线就和曲线一样或直线就是曲线)”、“大方无隅(大的方形是没有角的)”、[2]48“善算不用筹策(善于计算的人就摆脱了外在的计算工具,达到了一个更高的境界)”、[2]41“一生二,二生三,三生万物”[2]42等;另一部哲学著作《易经》中也是包含了丰富的数学知识和数学思想;在《庄子·天下篇》就记载了名家惠施的“一尺之捶,日取其半,万世不竭”的极限思想.墨家著作《墨经》上就有给一些基本的数学概念下“定义”、给数学命题“证明”的思想,例如圆被定义为:“圆一中同长也”.宋元数学家秦九韶在《数书九章》序中说:“数与道非二本,”这又一次强调数学与哲学的关系是如此的密切,杨辉和李冶等数学家也把数学提高抽象到“道”的高度,也就是哲学的高度,他们认为数学不仅是技艺,而且还是“道”的学问.李冶在《敬斋古今黈遗·卷五》中写道:“道术云者,谓众人之所由也.故从所由言之,道即术,术即道也,”[3]228李冶提倡的是“道技一体”的哲学观念.

我们再看看古希腊数学与哲学的关系.首先,在古希腊时期数学家是在哲学学园里工作的,例如柏拉图学园是个哲学学园.柏拉图虽然不是数学家,但是他是数学家的缔造者,数学家的缔造者比数学家还重要,在他的带领下培养了很多的数学家,例如梅内克缪斯(Menaechmus)、特埃特图斯(Theateus)、欧多克索斯等[4]35.而且在古希腊时期,很多的数学家又是哲学家,例如泰勒斯、毕达哥拉斯等.在某种程度上讲,古希腊数学也是属于哲学的,并且古希腊人把数学的地位置放到了哲学的高端.古希腊大哲学家亚里士多德认为,科学的第一原理和基本概念,如数学概念、形式逻辑的思维规律等,都是潜在于理性灵魂之中的[5]63,而柏拉图强调数学是理念世界的真理[5]48,数学为哲学更好的学习或研究奠定基础的,或者说数学是哲学的阶梯[3]37.柏拉图认为上帝是一个几何学家或我们这个宇宙是上帝以几何学的形式设计的.甚至亚里士多德这个哲学家在数学上都留下了几个定理,在欧几里得的《几何原本》中有几个定理是属于他的[3]43.这就彰显了古希腊数学与哲学的关系是如此的密切.而且后来西方人继承了古希腊数学与哲学密切联系的文化传统,在整个中世纪乃至近现代以来,数学与哲学的关系仍然是密切的,很多数学家依然是哲学家,例如笛卡尔、莱布尼茨、帕斯卡、罗素、怀特海等等.

2.2 数学与哲学的研究对象都具抽象性

数学在起源上与哲学有着密切的联系,数学与哲学的研究对象都是从现实世界中抽象出来的,都不是像物理、化学等自然科学那样研究具体的形象的物质形态(例如物理学家研究力、声、原子和光等),而是研究“假大空”的学问,几乎可以说都是“务虚”的学问,因为都是从现实生活中抽象出来了,抽象出来就脱离了具体的事物,而是变成了一种精神或者说是观念的东西.数学或哲学就是一种精神或一种观念,是一种非物质的东西,或者说是一种理论,这是二者的相同点,但是以物理学为代表的自然科学是研究客观世界具体的物质,有确定的研究对象.在人类历史上,不仅一些物理学家是数学家,更多的是哲学家也是数学家.德国哲学家、逻辑主义的代表人之一弗雷格曾说,一个不懂哲学的数学家仅仅是半个数学家,一个不懂数学的哲学家仅仅是半个哲学家[6]205.但是没有人说,一个不懂数学的物理学家仅仅是半个物理学家,一个不懂物理的数学家仅仅是半个数学家.从弗雷格的这个观点来讲,哲学与数学的关系其实是超过了物理与数学的关系的.这也说明了数学家可以不是物理学家,物理学家也可以不是数学家,但是不懂哲学的数学家却仅仅是半个数学家;不懂数学的哲学家也同样仅仅是半个哲学家;最后,物理学家应用数学仅仅是利用数学作为工具,而不是把数学作为研究对象,但是哲学家就不一样了,在某种程度上他们把数学当做研究对象.在西方很多的哲学家又是数学家,这就是西方文化的传统.哲学是科学的科学,哲学是属于人文科学的.哲学在某种程度上也给数学是雷同的,是对现实生活世界的概括与总结.所以说我们更应该强调数学与哲学的联系,从更广泛的意义上讲,我们更要强调数学与人文科学的联系,再往深处说就是要淡化数学的科学性,强调数学的人文性.加强数学与哲学的联系有那些好处呢?数学是抽象的,哲学也是抽象的,把二者联系起来可能使学生更容易接受数学的抽象,更容易让学生提出并思考数学问题,而且接受哲学思想,进而可以培养学生的抽象思维能力和思辨能力.

2.3 哲学的反思性、质疑性和批判精神有利于数学思维的培养

“哲学”这个词的英文是“Philosophy”,在古希腊语中是“爱智之学”.但是后来人们对这个词的理解可谓是智者见智仁者见仁的.黑格尔强调哲学就是哲学史,哲学史就是哲学[5]271.还有的学者认为哲学无定论,例如中国现代著名哲学家冯友兰就秉承这种观点[7]5.我们撇开哲学的定义,直奔哲学的主题,哲学是没有内容的,哲学家都是在批判前人的观点的基础上建立自己的学说体系.哲学不是知识,它是一种方法,它是一种反思、质疑和批判的精神.数学的学习、教学与研究也是需要这种反思、质疑与批判精神的.数学是需要反思的,是需要质疑的,也是需要批判的,在数学上真正的是“我爱吾师,吾更爱真理”,这点是来不得半点含蓄的.在哲学上讲思辨,在数学上也是需要讲思辨的,纯粹的数学就是形而上学.演绎证明,甚至即使是归纳证明本身就是一种思辨的过程,就是一种说理的过程,当然这个过程是抽象的,在这个过程中展示了或培养了人的抽象思维.在人类数学史上很多的数学家也是具有反思、质疑与批判的精神.古希腊数学在“第一次数学危机”反思之后的结果就是摆脱了直观与经验的局限性,把数学的真理性诉诸于理性的演绎证明的基础上.微积分诞生之初,微积分的理论基础不是太牢靠,经验主义哲学家贝克莱就发难于牛顿和莱布尼茨的微积分的理论基础,这就产生了数学史上的“第二次数学危机”,哲学家或数学家的反思、质疑、批判的精神促进了数学的发展,这种反思、质疑和批判的精神也有利于更好的提出问题和解决问题.古希腊第一次数学危机之后,反思、质疑和批判的结果就是认为经验与直觉是不可靠的,唯有经过演绎证明得出的结论才是真正的知识或绝对的真理,这样古希腊数学在反思、质疑和批判之后,就走向了演绎证明和公理化体系之路.第二次数学危机是由于微积分的基础不牢靠引起的,为了给微积分奠定了一个可靠的理论基础,很多的数学家开始反思、质疑和批判前人的数学工作,其中欧拉、达朗贝尔、拉格朗日、柯西等数学家都作出杰出的贡献,最终被维尔斯特拉斯引入“ε−δ”语言而彻底的解决两百年左右由微积分的基础不牢靠给人类带来的难题.由此可见,西方数学的进步与这种哲学的反思、质疑和批判的精神是有着密切的联系的.

不仅在西方数学界是这样,在中国古代数学界也是如此.《周髀算经》上认为“日影一寸,地差八千”,这种观点很早就遭到数学家的质疑.公元422年(南北朝文帝元嘉十九年)数学家、天文学家何承天通过测量影长来否定这一说法[8]254.“日影一寸,地差八千”到了唐代也遭到数学家刘焯[8]254、李淳风[9]89与僧一行[8]251-256的质疑,甚至否定.这就是中国古代数学家的科学精神,中国古代数学家的这种反思、质疑、批判的精神,用祖冲之的话说就是“不虚推古人”的精神.王孝通在“上辑古算经表”中说:“其祖暅之《缀术》,时人称之精妙,曾不觉‘方邑进行’之术,全错不通;‘刍亭方亭’之问,于理未尽.”可见王孝通对《缀术》是有微词的.虽然很多的学者认为王孝通是看不懂《缀术》而错误的批判《缀术》,但是中国古代数学家敢于反思、质疑、批判的精神也是值得肯定的.数学家李淳风对刘徽有微词,同样这种观点在郭书春看来也是不正确的[9]90.即使是当过老师的数学家刘焯为推行自己的《皇极历》多次参加辩论[8]183.这种反思、质疑、批判的精神其实早在数学家刘徽、祖冲之那里就存在了.刘徽注《九章算术》本身就是对《九章算术》在思想观念上的改进.刘徽在圆周率上他也质疑、批判过天文学家、数学家张衡.“失之远矣”、“不顾疏密,虽有文辞,斯乱道破义,病也”.[10]359-362祖冲之更具有反思、质疑和批判的精神,在他之前的数学家几乎全被他批评一遍:“臣少锐愚尚,专功数术,搜练古今,博采沈奥,唐篇夏典,莫不揆量,周正汉朔,咸加该验.罄策筹之思,究疏密之辨.至若立圆旧误,张衡述而弗改;汉时斛铭,刘歆诡谬其数,此则算氏之剧疵也.《乾象》之弦望定数,《景初》之交度周日,匪谓测候不精,遂乃乘除翻谬,斯又历家之甚失也.及郑玄、阚泽、王蕃、刘徽,并综数艺,而每多疏舛.臣昔以暇日,撰正众谬,理据炳然,易可详密,此臣以俯信偏识,不虚推古人者也.”[11]306祖冲之就是一个伟大实践主义数学家,在实践的基础上,他开始反思、质疑和批判之前的数学家，包括刘徽都被他批判.南宋数学家杨辉对《九章算术》很崇敬的,把它称为“黄帝九章”又说它是“圣贤之书”,但是杨辉仍然敢于批判《九章算术》,他认为《九章算术》的章节安排不合理,所以重新调整了九章的内容,使它更合理一些[12]53.另一个喜欢批判别人的数学家是李冶,在他的读书笔记《敬斋古今黈》中,他对前秦以来三十多位名家观点提出了自己的不同认识.这种对前人的反思、质疑、批判的精神就是一种科学精神.哲学在某种程度上说就是反思的学问、质疑的学问和批判的学问,从这点来说,中国古代数学家的这种精神也是哲学精神的重要体现.哲学的这种精神是学习数学和研究数学必不可少的优秀品质.

3 如何加强数学与哲学的联系

3.1 数学哲学思想渗入数学教材

前面讲到了数学与哲学的密切联系,但是摆在我们面前的一个问题是,如何加强数学与哲学的联系.数学、哲学都是庞大的学科分支,其实说加强数学与哲学的联系,并非加强所有的哲学分支都与数学所有分支的联系.在这里强调数学与哲学的联系主要指数学哲学与数学的联系,而不是也不可能是整个哲学与所有的数学学科的联系,而仅仅主要指中小学数学.整个哲学中与数学无关的理论也是存在的,但是我们没有必要也不能强调所有哲学理论与所有数学的联系,我们只需要加强数学与数学哲学的联系基本上就可以了.之所以要加强数学与数学哲学的联系,就是因为大学生,尤其是师范类数学专业或数学教育专业的大学生将来要从事中小学数学教育教学工作,这就需要对数学的本质有一个认识或者说有一个了解,这就涉及到数学哲学的内容.就像郑毓信所说,学生学习了数学很多年,对“数学是什么”或数学的本质并不一定能掌握[11]1,但是数学哲学对数学本质的认识和对数学教育又具有很重要的理论和实践指导意义.章建跃强调理解数学是教好数学的前提[12],因此加强数学与数学哲学的联系是理解数学的重要基础.加强数学与数学哲学的联系这是最基本的,但是也是具有可行性的.在这其中有很多的数学哲学内容是可以写入到中小学数学课本中的.例如数学是演绎的科学还是经验的科学?数学是发明的科学还是发现的科学?数学是关系的科学还是结构的科学?数学是约定的科学还是客观的真理?很多的数学哲学上的问题其实就可以作为数学与哲学二者的共同点来加深联系和理解的.数学哲学的一些内容可以写入中小学生的数学课本至少作为选修课的内容,当然也可以把数学哲学的相关内容写入中学哲学的课本.要加强抽象与抽象的联系,就是加数学与哲学的联系.再例如“一日之棰,日取其半,万世不竭”,这句话不仅含有哲学的思想还含有数学极限的思想,但是如果从现代数学哲学的视角来讲,“日取”到一定程度,这个木棍就无法再分割下去了,也就是说物质分割到一定程度或小到一定程度就不能再分割了[12]4.这就像古希腊哲学家德谟克利特提出的“原子论”一样,强调原子是最小的不可再分的单位,所以说现代物理学发展也证明了这一点的正确性,这就反映了哲学与数学的密切联系.在数学教育中或哲学教育中加强数学与哲学的联系的纽带是数学哲学,笔者认为最好的一部分教材是张景中院士编写的科普读物《数学哲学》,书中有很多的内容可以移植到中小学数学课本中或中学哲学教材中去.例如人类历史上的“第一次数学危机”[13]1,“罗素悖论”[13]74、“伽利略的困惑”[13]52等等是可以写入中小学数学教材和中学哲学教材的.在数学哲学与数学教育哲学方面还有很多著作对我们今天的中小学数学教育乃至哲学教育都有积极的影响和重要的参考价值,例如郑毓信编著的《数学教育哲学》,林夏水也有数学哲学方面的专著[4][14],这些数学哲学类的专著也是很通俗易懂的.

3.2 从教材中提炼数学哲学思想

其实有数学就有数学哲学.在中小学数学课本中有相当多的具有数学哲学思想的内容.在数学课本中也需要数学哲学思想的指导.例如2011年版义务教育阶段《数学课程标准》强调增强学生符号意识对学习数学的重要性[15]5,这就是向学生渗透抽象的数学符号语言,这就反映了数学是符号语言的科学.再例如在学数学解应用题中,最关键的是寻找已知量与未知量之间的关系.数量关系搞清楚是解题的关键,理清数量关系是如此的重要,这也说明了数学是关系的科学.数量关系是什么?在小学数学中应该说是加加减减乘乘除除,加减乘除就是关系,表达两个或更多个数量之间的关系.比例尺也是一种关系,一种图上距离与实际距离的比率,反比例或正比例也是一种关系,方程也是一种关系,表示两个量是相等的;不等式也是一种关系,表现两个量是不等的.数的大小其实也是一种关系,倍数也是一种关系,整除或不能整除也是反映了两个整数之间的关系等等.这就说明义务教育阶段的数学是关系的科学.再例如线段是人类发现的数学概念,但是直线是人类发明的数学概念,因为线段在现实生活中是有其模型的,但是直线在现实生活中是没有其模型的,是人为的假设存在的,是观念之物,是想象之物,而线段是现实客观之物.从这个意义上讲,在小学数学中的一些数学概念,既有发现的数学概念,也有发明的数学概念,必须承认在现实生活中存在模型的数学概念应该说都是比较容易理解的数学概念,但是也必须承认在现实生活中不存在模型的抽象数学概念应该说不太容易理解,例如直线就不是一个很容易理解的数学概念,因为直线是抽象的,是生活中没有原型的,是人观念的产物,是人类的发明而不是人类的发现,所以说这个概念是不容易理解的.也就说义务教育阶段的数学既有发现的学问,也有数学是发明的学问.中小学数学同样秉承了古希腊数学家毕达哥拉斯学派“万物皆数”的观念,一方面是与现实生活依靠的比较近,或者说就在现实生活之中,再加上中小学数学抽象的数学符号还是比较少,大多数都不是抽象的数字,还不是脱离现实生活中的纯粹数学.从这点来讲,小学数学真是“万物皆数”的数学.生活中有数学问题,可以用数学解决现实生活中的问题.

在中学数学课本中仍然能找到数学哲学的思想,例如“无理数”这个数学概念就是在第一次数学危机中产生的,第一次数学危机重要意义是摆脱了直观经验的束缚,直接诉诸于演绎推理,这是人类在数学史上认识论的一大转折,在此以前的古希腊数学有很多的成分是经验数学,但是经验不等于知识,要获取真正的知识还要经过理性精神的审判,也就是演绎证明的验证.在小学数学课本中就有一种把运动的思想引入数学,在中学继续把这思想引入数学,让学生看到数学是研究运动与变化的科学,尤其是到了高中的解析几何和初步微积分,就是用函数来刻画物体运动的数学概念.当然中学数学是小学数学的延续,数学是符号的科学,数学是关系的科学和数学是结构的科学等等数学哲学观念在中学继续有效,中学数学研究的数学更多的涉及到了观念之物和无限之物,展示了数学的魅力.以上仅仅从教材的角度强调把数学与哲学密切的联系起来,但是还是需要有配套的措施的,例如作为将来的中小学数学老师——师范生们也要学习一点数学哲学,这也是一个系统的工程.笔者抛砖引玉,希望更多的学者为进一步加强在中小学数学教育与哲学更为密切的联系而出谋划策.

4 结语

古希腊数学与哲学有着密切的天然联系,中国古代数学与哲学也是有着密切的天然联系,因此这种天然的密切联系应该继续的保持下去.而且数学与哲学的研究对象都是抽象的观念之物,二者在人类历史的发展中也有着十分密切的联系.数学需要反思、质疑和批判的精神,而哲学就具有反思、质疑和批判的精神.哲学与数学的交集主要在于数学哲学,数学哲学有一些内容就可以作为加强数学与哲学联系的纽带写入中小学数学教材.这就要求我们把数学哲学的部分内容经过合适妥当的方式移植到中小学数学课本或高中哲学课本中去,充分发挥1+1＞2的作用,这对培养学生的抽象思维能力和思辨能力具有积极的意义与影响.本文虽然强调的是数学教育要加强数学与哲学的联系,是从数学教育的视角,其实也可以从哲学的视角来分析问题,但是分析的结果也是强调需要加强数学与哲学的联系,也就是说哲学教育也需要加强与数学的联系.一些哲学家也是数学家,至少与数学与千丝万缕的联系,前文讲过了一些哲学家也是数学家的例子,在这里不再重述,需要讲的是即使不是数学家的哲学家,他们在数学上的造诣还是很深的,例如现象学的创始人德国哲学家胡塞尔是数学博士,曾经当过著名数学家“分析学之父”维尔斯特拉斯的助手,德国大哲学家伽达默尔都至少讲授过大学的数学课[16]620.