一种齿轮齿根弯曲疲劳寿命预测方法

时宏森，唐 超，蔡大静

(贵州航天林泉电机有限公司，贵州 贵阳 550081)

在日益严酷的市场竞争中，产品的使用寿命和可靠性成为人们越来越关注的焦点。每年因结构疲劳失效导致大量产品在其服役期内报废，且由于疲劳失效而造成的特重大事故也时有发生。在传统机械零件的设计过程中，机械产品的疲劳寿命通常是通过一定量物理样机的耐久试验得到的，不但试验周期长，耗资巨大，且疲劳试验结果存在很大的分散性，影响因素众多。

齿轮是传动机构中常用的典型元件，也是关键零件。齿轮的寿命决定了传动机构的寿命。齿轮失效，可分为齿根弯曲断裂和齿面损伤两大类。本文主要考虑齿轮齿根的弯曲疲劳断裂及其相应的寿命预测方法。

1 某型电动机构齿轮轮齿寿命预测

某型电动机构外形轮廓如图1所示。该型电动机构主要由电动机、多级齿轮减速器、输出轴、输出摇臂以及安装支架等组成。其中，减速器由一级平行轴圆柱齿轮传动加三级串联式行星齿轮组成。

图1 某型电动机构三维剖视图

1.1 构建轮齿材料的S-N曲线

轮齿材料为38CrMoAlA，从材料手册[1]中可知，材料38CrMoAlA的强度极限σb=980 MPa，光滑试样(kt=1)的旋转弯曲疲劳极限σ-1约为520 MPa。缺口试样(kt=2.4)的疲劳极限约为320 MPa。

在103次循环处，按照Robert C. Juvill等的建议，疲劳强度σ103约为[2]：

σ103=0.9σb=0.9×980=882 (MPa)

(1)

在长寿命、高周疲劳范围可构建材料的S-N曲线(见图2)。中值S-N曲线在双对数坐标中近似为一条直线，满足直线关系式：

图2 材料38CrMoAlA的S-N曲线

N=aS-b

(2)

取对数

logN=loga-blogS

(3)

图2中，直线AB通过点A(103, 882 MPa)、B(107, 520 MPa)，则可得到系数

a=1054.331=2.142×1054

所以，材料的S-N曲线的数学表达式为：

N=2.142×1054S-17.43

(4)

同理，可构建应力集中系数kt=2.4的直线AC的数学表达式。

1.2 构建齿轮轮齿的S-N曲线

材料的S-N曲线一般都是基于光滑、抛光小试样进行试验得到的。真实构件的S-N曲线与构件的形状、构件的尺寸、表面加工质量、使用条件以及外界环境等因素都有直接关系，必须考虑这些综合因素的影响。

1.2.1 考虑齿形形状影响(应力集中系数kt)的齿轮弯曲疲劳极限

真实构件的形状主要是考虑真实结构的不连续性，即存在应力集中。在齿轮齿根处，过渡圆角r的大小会影响应力集中的程度，过渡圆角r越小，应力集中程度越高。模数m=0.4 mm的齿形齿根应力集中系数计算示意图如图3所示。按照早期的Earle Buckingham以及近期的Peterson等推荐的经验公式，参照图3，可以确定齿根应力集中系数。

a) 齿形应力集中系数

对于20°压力角的齿形，Peterson推荐的应力集中系数经验公式为[3-4]：

(5)

按照已有的38CrMoAlA材料试验数据，光滑试样(kt=1)的旋转弯曲疲劳极限σ-1约为520 MPa，缺口试样(kt=2.4)的疲劳极限约为320 MPa。可根据线性插值应力集中系数kt=2.49所对应的疲劳极限：

得到：σkt=2.49=312.5 MPa。所以，考虑应力集中的影响，将模数m=0.4 mm的齿形疲劳极限修正为312.5 MPa。

1.2.2 轮齿构件尺寸影响系数εσ

在疲劳试验机上试验的试样直径通常为6～10 mm，而一般零件的尺寸与试样有很大差别。根据疲劳理论，在相同的名义应力水平下，大尺寸构件的高应力区域大于小尺寸的高应力区域，所以大尺寸构件的疲劳寿命小于小尺寸构件的疲劳寿命。

根据轮齿的齿宽2.3 mm、齿厚0.646 mm，按照矩形截面的尺寸修正因子公式，计算有效直径[5]：

(6)

所以，尺寸修正系数εσ为

(7)

1.2.3 轮齿表面加工质量影响系数β

材料疲劳试件的表面都是经过抛光处理的，表面质量较高。考虑制造成本，实际服役零件的表面一般不可能都经过抛光处理，粗糙的表面相当于存在很多微小缺口，即结构缺陷(裂纹源)，在零件承受交变载荷时就会产生应力集中。根据齿轮加工方式，选择相应的机械加工表面质量系数[6]，计算表面质量影响系数：

(8)

式中，Sut是材料的拉伸极限强度，单位为MPa。

综上所述，考虑齿形的应力集中、尺寸效应以及表面加工质量等因素，齿轮轮齿的疲劳极限为[7-8]：

σ齿轮=312.5·εσ·β=312.5×1.26×0.726 9=286.22 (MPa)

(9)

至此，可以构建齿轮轮齿的S-N曲线(见图4)，该曲线经过A(103, 882 MPa)、D(107, 286.22 MPa)。

图4 模数m=0.4 mm轮齿的S-N曲线

1.3 齿轮服役工况下的应力计算

应用有限元软件ANSYS Workbench，可以实现齿轮啮合瞬态动力学仿真，获得轮齿啮合运行工作状态下准确的动态应力/应变-时间历程响应。以第1级展开式圆柱直齿轮为例，主要计算过程如下。

1.3.1 齿轮结构简化及网格划分

真实的齿轮结构，细节特征众多，应对齿轮结构进行合理的简化，以便实现高质量的网格划分及仿真计算。

1.3.2 边界条件设置

瞬态动力学仿真能很好地模拟齿轮啮合的动态过程，包括启动瞬间的加速冲击，所以转速、转矩边界条件都考虑瞬态冲击的影响，采用斜坡加载，加速时间为5 ms。

1.3.3 瞬态动力学分析设置

齿轮啮合瞬态动力学仿真，涉及轮齿接触摩擦、大转动大变形以及材料塑性变形等非线性效应，所以瞬态动力学仿真面临的最大挑战就是计算的收敛性，应重点考虑如下几个方面：1)接触表面网格的精细化；2)打开大变形、大转动开关；3)材料的非线性效应；4)载荷采用斜坡加载；5)积分时间步长Δt的正确设置。

根据结构动力学理论[9]，当积分时间步长Δt≤T/20时，Newmark法的计算结果与解析解的误差小于5%，其中，T为结构的自振周期。

1.3.4 有限元计算结果

齿轮啮合瞬态动力学应力计算结果如图5所示。从应力-时间响应历程曲线可以看出，轮齿最大应力随着齿轮啮合呈周期性变化，符合齿轮啮合一般规律，说明有限元仿真结果体现了齿轮啮合单齿受力呈周期性的特点。局部放大最大应力区域所在位置，结果如图6所示。

图5 齿轮啮合等效应力-时间历程曲线

从最大应力的局部放大图(图6)中可以看到，最大应力主要分布在齿形接触表面、齿根等位置。决定齿轮弯曲疲劳强度的是齿根过渡圆角处的弯曲应力，由于齿根过渡圆角处存在应力集中，局部应力提高。从齿根圆角处的等效应力图中提取拉伸侧的齿根圆角等效应力值174.46 MPa。根据该型电动机构使用过程中双向啮合-44°～+65°的特点，两侧齿面均循环重复受载，属于对称循环载荷，平均应力等于0，所以不用考虑平均应力的影响。

综上所述，齿轮啮合对称循环受载，具有如下的循环参数：最大应力σmax=174.46 MPa，最小应力σmin=-174.46 MPa，平均应力σmean=0 MPa。

结合38CrMoAlA材料以及轮齿的S-N曲线可见，局部最大应力为174.46 MPa，小于轮齿疲劳极限286.22 MPa(且未考虑应力集中的影响，未将局部应力转化为对应的名义应力S)，所以第1级圆柱齿轮理论上能长期使用，不会发生轮齿弯曲断裂现象，能满足该型电动机构设计使用寿命270 000次循环的要求。

1.3.5 减速器末级行星齿轮寿命预测

该型电动机构的第2、3、4级传动均为行星齿轮传动，且减速比相同，均为6.35。除了第4级行星齿轮的齿宽为9 mm，第2、3级齿宽均为2.3 mm以外，各级行星齿轮结构形式均相同。按照减速器的能量转换特点，末级转速最低，输出转矩最大，对末级行星减速齿轮进行相应的计算，计算结果见表1。

表1 行星齿轮齿根局部应力及其转换名义应力

由于轮齿齿根处存在应力集中，按1.2.1节确定的应力集中系数2.49，将局部应力转换为名义应力：

655.83/2.49=263.38 (MPa)

477.74/2.49=191.86 (MPa)

389.39/2.49=156.38 (MPa)

由于263.38 MPa<286.22 MPa，即太阳轮齿根最大名义应力263.38 MPa小于齿根疲劳极限286.22 MPa，所以行星齿轮能够长期使用，不会发生轮齿弯曲断裂，满足该型电动机构设计使用寿命270 000次的要求。

2 试验验证情况

针对该型电动机构设计寿命270 000次循环的要求，开展了实物试验(见图7)。试验设备主要由测试台、负载装置、计数器、控制电路以及试验产品等组成。考虑试验成本及试验周期，试验件只加工了3套合格产品。

图7 试验装置

经过耐久疲劳试验，3套试验产品均通过了270 000次循环寿命的试验考核，传动系统无故障，齿轮轮齿无断裂现象发生，结构安全可靠。限于试验件只有3件，不能进行疲劳寿命的概率统计分析[10]。

按照各级齿轮的理论寿命预测，齿轮齿根弯曲寿命均低于疲劳极限286.22 MPa，理论上可以无限次使用，3套试验件的试验结果也论证了理论计算的正确性，说明本文采用的疲劳寿命预测方法具有一定的可信度，可以作为齿轮齿根弯曲疲劳寿命预测的参考。

3 结语

通过对某型电动机构传动系统齿轮啮合的瞬态动力学仿真，得到齿轮运行工况下的应力-时间响应历程曲线。进一步结合材料的S-N曲线，并考虑齿形的应力集中系数、尺寸效应系数，以及齿轮表面加工质量系数等因素的影响，得到齿轮的修正S-N曲线。将齿形根部的局部应力通过应力集中系数转换到对应的名义应力，就可以对标齿轮修正的S-N曲线，得到齿轮的齿根弯曲疲劳寿命N。最后，结合产品实物试验，验证了齿轮齿根弯曲疲劳寿命计算方法的准确性，可以将该方法推广应用于其他机械产品的疲劳寿命预测。