一类阶为2p2q的CA-群①

仝巍， 林子靖， 周伟

西南大学 数学与统计学院， 重庆 400715

对特殊子群的研究一直是有限群论中的一个热门课题． 例如文献[1-6]通过研究交换子群、 极大交换子群、 循环子群等， 得到了群的性质与结构． 群的交换性是群结构复杂程度的一个重要体现， 而群中元素的中心化子也与群的交换性有密切联系， 并且对群结构有着很大的影响．

如果对于任意x∈G(G)， 都有CG(x)交换， 则群G被称为CA-群．CA-群在群结构的研究中有着非常重要的作用， 关于CA-群的研究也是人们一直十分感兴趣的问题． 文献[7]证明了CA-群是单群或者可解群． 文献[8]构造出了偶数阶CA-单群． 文献[9]证明了偶数阶CA-群是Frobenius-群、 交换群或特殊射影线性群PSL(2， 2m)， 其中m>2． 文献[10-11]研究了根据群的阶去判定CA-群． 文献[12-15]研究了根据中心化子的个数去确定群的结构．

本文继续进行这方面的研究， 得出结论： 若|G|=2p2q， 其中p

为了便于证明本文的结论， 下面给出几个相关的引理：

引理1[14]设p为有限群G的最小质因子， 如果G的Sylowp-子群循环， 则G有正规p-补．

引理2[15]设G是一个群， 如果G/Z(G)是循环群， 则G是交换群．

引理3[16]对于素数p

引理4[10]如果|G∶Z(G)|=pqr， 则群G是CA-群， 其中p，q，r是素数(p，q，r可以相同)．

本文所涉及的群都是有限群， 所用符号都是标准的．

有了前面的预备知识， 现在可以对本文的主要结论进行证明．

定理1若|G|=2p2q， 其中p

证群G的Sylowp-子群的个数np=1+ap，np|2q． 由条件q为奇素数，p|/q-1可知np≠2，q． 下面对np的值分情况讨论．

如果np=1， 此时G的Sylowp-子群只有一个， 记为P，P◁_G． 设Q∈Sylq(G)， 则PQ=P×|Q． 考虑Q在P上的作用， 若P为p2阶循环群， 则

|Aut(P)|=p(p-1)

若P为(p，p)型初等交换p-群， 则

|Aut(P)|=(p2-1)(p2-p)

而(|Q|， |Aut(P)|)=1， 故Q在P上作用平凡， 因此PQ=P×Q． 又因|G∶PQ|=2， 从而有QcharPQ◁_G， 则Q◁_G， 结论成立．

如果np=1+ap=2q， 考虑G的Sylowq-子群的个数nq=1+bq，nq|2p2． 由条件p

若nq=1+bq=p2， 则q|p2-1， 即q|(p+1)(p-1)， 与p，q均为奇素数矛盾．

若nq=1+bq=2p2， 此时G中q阶元的个数为2p2(q-1)=2p2q-2p2，G中只剩下2p2个元． 而此时G有2q个Sylowp-子群， 分别记为Pi(i=1，2，…，2q， 2q>3)， 它们最少需要的元素个数不小于

矛盾．

若nq=1+bq=2p， 此时np=1+ap=2q， 从而有

(4-ab)q=a+2

其中a，b为正整数，q≥5为奇素数． 此等式只有在a=3，b=1，q=5 时才可能成立， 在此种情况下有

|G|=2·32·5=90

由引理1可知G有正规2-补， 记为H． |H|=32·5，H的Sylow 5-子群的个数为1+5k|32， 则H只有唯一的Sylow 5-子群， 记为M． 从而有McharH◁_G， 则M◁_G， 即90阶群的Sylow 5-子群正规， 结论成立． 若nq=1， 则Q◁_G， 结论成立．

综上所述， 群G的Sylowq-子群正规．

定理2设|G|=2p2q， 其中p

证反证法． 若群G不是CA-群， 则存在x∈G(G)， 有CG(x)不交换． 由x∈G(G)， 可知Z(G)〈x，Z(G)〉． 又根据CG(x)不交换， 可知Z(CG(x))CG(x)， 从而可以得到一个子群链， 即

{1}⊆Z(G)〈x，Z(G)〉⊆Z(CG(x))CG(x)G

(1)

当|Z(G)|>1时， 由(1)式可知CG(x)/Z(CG(x))的阶是一个素数， 则是循环群． 根据引理2知CG(x)交换， 矛盾．

当|Z(G)|=1时， 〈x，Z(G)〉=〈x〉， 此时子群链变为

{1}〈x〉⊆Z(CG(x))CG(x)G

(2)

接下来考虑x的阶． 当x的阶为合数时， 由(2)式可知CG(x)/Z(CG(x))的阶是一个素数， 则它必为循环群， 故CG(x)交换， 矛盾． 当x的阶为素数时， 若〈x〉≠Z(CG(x))， 则CG(x)/Z(CG(x))的阶是一个素数， 则为循环群， 故CG(x)交换， 矛盾． 因此只需考虑x的阶为素数且〈x〉=Z(CG(x))， 即CG(x)/Z(CG(x))的阶为两个素因子的情况．

下面对|x|的值分情况讨论．

情形1 |x|=2．

因为|x|||CG(x)|， 则|CG(x)|=2pq，2p2．

若|CG(x)|=2pq， 则有

|CG(x)/Z(CG(x))|=pq

又因p|/q-1， 则根据引理3可知CG(x)/Z(CG(x)) 为循环群， 又根据引理3知CG(x)交换， 矛盾．

若|CG(x)|=2p2， 则有CG(x)=HK， 其中H，K分别为CG(x)的Sylow 2-子群和Sylowp-子群． 又因为H≤Z(CG(x))， 则CG(x)=H×K， 故CG(x)交换， 矛盾．

情形2 |x|=p．

此时|CG(x)|=p2q，2pq，2p2．

若|CG(x)|=p2q， 则有

|CG(x)/Z(CG(x))|=pq

根据上面的讨论可知CG(x)/Z(CG(x))为循环群， 故由引理2可知CG(x)交换， 矛盾．

若|CG(x)|=2pq， 由|x|=p可知〈x〉包含在某个Sylowp-子群内， 记为P， |P|=p2， 因此CG(x)为交换群． 又因〈x〉⊆P， 则x与P中的元可交换， 则有P⊆CG(x)， 故|P|||CG(x)|， 即p2|2pq， 矛盾．

若|CG(x)|=2p2， 由定理1可知G有唯一Sylowq-子群， 记为Q，Q◁_G， 则Q〈x〉为G的pq阶子群， 由引理3知Q〈x〉为pq阶循环群， 则Q中的元与x可交换， 故Q⊆CG(x)， |Q|||CG(x)|即q|2p2， 矛盾．

情形3 |x|=q．

此时|CG(x)|=p2q，2pq．

若|CG(x)|=p2q， 则有CG(x)=PQ， 其中P，Q分别为CG(x)的Sylowp-子群和Sylowq-子群． 又因为Q≤Z(CG(x))， 则CG(x)=P×Q， 故CG(x)交换， 矛盾．

若|CG(x)|=2pq， 根据上面的讨论可知

〈x〉⊆〈y〉⊆CG(x)=〈y〉×|〈a〉

其中〈y〉为CG(x)的pq阶正规子群， |a|=2． 考虑〈a〉在〈x〉和〈y〉上的共轭作用， 因为〈x〉=Z(CG(x))， 则xa=x． 如果ya=y， 则

CG(x)=〈y〉×〈a〉

则CG(x)交换， 矛盾． 如果ya=y-1， 又因为x=yp， 则

xa=(yp)a=(ya)p=(y-1)p=(yp)-1=x-1

与xa=x矛盾．

综上所述， 群G是CA-群．

由定理2可得到如下群例：

例1因为3|/5-1， 所以， 若|G|=2·32·5=90， 则群G是CA-群．

下面例子说明定理2中的条件p|/q-1不可缺少．

例2构造一个群

G=〈a，b，c，d|a2=1，b3=1，c3=1，d7=1， [a，b]=1， [a，d]=1， [b，c]=1， [c，d]=1，ca=c2，db=d2〉

从而

G≅((C2×C3)|×C3)|×C7|G|=2·32·7=126

由定义关系可知d∈G(G)，a，c∈CG(d)． 而a，c不交换， 故CG(d)是非交换群， 则群G不是CA-群．