基于反步滑模的偏转弹头导弹姿态控制

吕 硕，张庆振，郭云鹤，丰 硕

（1.北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院，北京 100083；2.上海机电工程研究所，上海 201109）

0 引 言

偏转弹头控制是一种通过控制弹头在导弹飞行过程中相对弹体轴线偏转，从而产生导弹气动控制力的技术［1］。传统的空气舵导弹控制技术普遍具有响应速度慢、导弹机动能力不足的缺点，并且容易受到复杂气流干扰的影响从而导致其控制效果变差。而偏转弹头控制作为一种特殊的控制方式，通过控制在空气流中的整个导弹头部的角度偏转来产生空气动力矩，相较于传统空气舵控制技术的优势主要表现为：①偏转弹头可以直接建立起弹体与来流的大攻角态势，快速完成大过载响应，过载响应更为迅速；②偏转弹头控制降低了导弹操纵面的数量却增加了其有效面积，改善了导弹的操纵效率，弹头仅需较小角度的偏转就可以获得较大法向、横向过载，提升了机动能力；③偏转弹头控制没有常规意义的气动舵面，仅通过弹头小角度的偏转进行机动，导弹所受的阻力更小，而且结构简单、质量更轻，有利于导弹增程［2-3］。

由此可见这种特殊的控制方式同时兼顾了导弹飞行过程中的稳定性、机动性和操纵性，具有较好的应用前景。

同时，在偏转弹头控制领域仍然存在许多亟待解决的技术难题，复杂的气动特性和惯性耦合、强不确定的模型参数以及大干扰条件，这些都对偏转弹头导弹的姿态稳定控制提出了挑战。文献［4］采用了多刚体动力学建模的方法建立了偏转弹头导弹的动力学模型，同时为了方便控制系统的设计，采用了弹头质心位于偏转铰链中心的假设并研究了这种假设下的简化模型对导弹动态响应的影响。文献［5］采用计算流体力学方法，对偏转弹头导弹和鸭式导弹的气动特性和俯仰控制特性进行了比较分析，验证了偏转弹头控制操纵效率高、机动性强的优点。文献［6］较为系统地研究了有关偏转弹头导弹的控制问题，包括了偏转机构、导弹控制系统、导引系统以及制导律的设计。

从国内外的研究现状来看，研究偏转弹头导弹的姿态控制系统的设计，保证控制系统的响应速度和稳态精度是偏转弹头控制领域最重要研究内容之一。基于经典控制理论的频域设计方法需要在小扰动线性化的假设下对导弹的运动方程进行线性化处理，并不适用于偏转弹头导弹的强非线性姿态控制问题。滑模控制的优点体现在系统的特性是完全由预先设计的“滑动模态平面决定的”，且这种滑动模态与对象参数及扰动无关，具有良好的鲁棒性。反步设计方法的优点在于可以将高阶复杂系统的设计问题分解成许多低阶子系统的设计问题，不需要强行将系统线性化，避免了有效非线性项的丢失。

本文针对偏转弹头导弹的姿态控制问题，首先建立了偏转弹头导弹的六自由度非线性数学模型。其次，对偏转弹头导弹的气动特性进行了研究分析。在此基础上，设计基于反步滑模的姿态控制系统，利用扩张状态观测器对包括模型不确定性以及外部干扰在内的系统“总扰动”进行观测补偿。最后进行了仿真验证。

1 偏转弹头导弹动力学模型

在对偏转弹头导弹的气动特性和姿态控制问题的研究中，精确的动力学模型是必需的，因此首先要建立偏转弹头导弹的数学模型。首先对偏转弹头导弹建模问题进行了分析和简化，然后采用适用于多刚体系统动力学建模的方法对其进行建模。

1.1 偏转弹头导弹建模问题分析及简化

在研究建立偏转弹头导弹模型的过程中，为了简化问题的复杂程度，力求抓住问题的最主要因素，对飞行器做出以下4点假设。

1）假设偏转弹头导弹的弹头和后体均为独立刚体，导弹无弹性形变且在飞行过程质量保持不变。

2）假设偏转弹头导弹为轴对称飞行器，惯量积为零且忽略弹头的偏转对全弹相对弹体坐标系各轴的转动惯量影响。

3）假设偏转弹头相对弹体无旋转运动。

4）假设忽略地球自转和曲率影响，即采用所谓的“平板地球假设”。

在做出上述假设的基础上，得到偏转弹头导弹装配图及简化模型分别如图1和图2所示。

图1 偏转弹头导弹装配图Fig.1 Structural diagram of missile with defectable nose

图2 偏转弹头导弹模型简化图Fig.2 Schematic diagram of missile with defectable nose model

采用传统苏式坐标系，以整个导弹的质心O为基点，弹头和后体为相邻刚体，弹头质心为On，后体质心为Ob，采用适用于多刚体系统的建模方法建立偏转弹头导弹的动力学模型，为后续控制器设计奠定基础。

1.2 偏转弹头导弹的动力学模型建立

根据前文假设，将偏转弹头导弹视为一种无弹性变形的刚体。然后把偏转头导弹的弹头和后体组成的系统当作典型的多刚体系统，应用多刚体系统动力学对其进行建模，得到偏转弹头导弹质心运动的动力学方程和绕质心转动的动力学方程如式（1）所示［7］。

式中：v表示导弹质心运动速度；P表示主发动机的推力；X、Y、Z分别为导弹产生的不包含弹头部分的阻力、升力、侧向力；Fnx2、Fny2、Fnz2表示弹头偏转产生的气动控制力在弹道坐标系各轴上的分量；Jx、Jy、Jz为导弹对弹体坐标系各轴的转动惯量；Ix、Iy、Iz为弹头对弹体坐标系各轴的转动惯量；ωx1、ωy1、ωz1为导弹绕质心转动的角速度在弹体坐标系各轴上的分量；ωxn、ωyn、ωzn为弹头相对后体的旋转角速度在弹道坐标系各轴上的分量；MOx、MOy、MOz分别为导弹后体（不包括弹头部分产生的控制力）阻力、升力、侧向力作用在导弹质心O上的力矩在弹体坐标系各轴的分量；MOyn、MOzn分别为弹头产生的控制力矩；α为导弹攻角，又称迎角；β为导弹侧滑角；θ为弹道倾角；ψv为弹道偏角；μ为速度倾斜角。

建立偏转弹头导弹的运动学方程，包括地面惯性坐标系下导弹质心运动的方程、导弹相对地面惯性坐标系姿态变化的运动方程和弹头相对弹体运动的姿态运动方程，如式（2）所示［7-9］。

式中：η、τ分别为弹头的纵向偏角和横向偏角；ϑ为导弹的俯仰角；ψ为导弹的偏航角；γ为导弹的滚动角。

2 偏转弹头导弹气动特性分析

偏转弹头导弹进行变形运动时，除了所受空气动力会随着气动外形的变化而改变之外，不同气动构型下的气动参数差异很大［10］，因此，需要研究偏转弹头导弹的主要气动参数随气动构型改变的变化规律，需要研究弹头偏角的变化给导弹的重要气动参数所带来的影响，为后续设计基于反步滑模的导弹姿态控制系统做好充分的准备。

当飞行速度一定且弹头偏角分别为0°和8°时，偏转弹头导弹的轴向力系数、法向力系数和俯仰力矩系数随攻角的变化规律如图3~5所示。

由图3可知：当弹头未偏转时轴向力系数基本不变；当弹头偏角为8°时轴向力系数随着攻角的增大而增大。

图3 马赫数为3时轴向力系数随攻角变化曲线Fig.3 Curves of axial force coefficient vary with angle of attack when the Mach number is 3

由图4可知：法向力系数随着攻角的增大而增大，弹头偏角在8°以内时，攻角对法向力系数影响相对较小。

图4 马赫数为3时法向力系数随攻角变化曲线Fig.4 Curves of normal force coefficient vary with angle of attack when the Mach number is 3

由图5可知：当弹头未偏转时俯仰力矩系数随攻角的增大近似呈线性减小；当弹头偏角为8°时俯仰力矩系数随攻角的增大而减小，当攻角大于4°后，俯仰力矩系数的减小趋于平缓。

图5 马赫数为3时俯仰力矩系数随攻角变化曲线Fig.5 Curves of pitching moment coefficient vary with angle of attack when the Mach number is 3

3 基于反步滑模的姿态控制器设计

基于偏转弹头导弹动力学模型和气动特性分析，重点研究偏转弹头导弹的姿态控制问题，保证控制系统的响应速度和稳态精度。首先通过对动力学模型的转换得到姿态控制系统的数学模型；然后利用反步滑模的方法设计偏转弹头导弹的姿态控制系统；最后设计扩张状态观测器观测补偿控制系统存在的不确定性干扰，保证控制系统的鲁棒性。

3.1 姿态控制模型转换

偏转弹头导弹姿态控制器设计的目的是实现姿态角指令的跟踪，因此主要考虑由导弹攻角α、侧滑角β、速度倾斜角μ和角速度ωx1、ωy1、ωz1构成的姿态控制系统，将偏转弹头六自由度模型进行转换，得到姿态控制系统的数学模型为

令：y=[α β μ]T，ω=[ωx1ωy1ωz1]T，u=[Mx My Mz]T，原六自由度非线性模型方程可以写成

式中：f1、f2、g1、g2为系统参数；d1、d2为外界干扰。

各参数表达式分别为

由于在实际的飞行过程中精确的气动参数未知，因此，系统参数f1、f2、g1、g2不能实时得到准确值，故式可写成

式 中：f10、f20、g10、g20分 别 为 已 知 的 系 统 参 数f1、f2、g1、g2的标称值；Δ1、Δ2为系统非线性广义不确定项，表达式为

一是针对因学致贫贫困户，对疆内外高中专、大学院校学生给予资助。二是对医疗费用经保险赔付后仍无力支付的贫困户全部低保兜底，防止因病致贫、返贫。三是针对因灾致贫贫困户，给予过渡性救助，保障其基本生活。四是针对“特殊人员”家庭中的困境儿童给予生活补助。五是对60岁以上生活不能自理的孤寡老人按照意愿集中供养。

3.2 基于反步滑模的姿态控制器设计

考虑式（4）中的姿态角动态方程

令：yd=[αdβdμd]T为姿态角的指令信号，y͂=y-yd为姿态角跟踪的误差状态变量，则有

将ω视为虚拟控制量，选择

式中：Q1为正定对角矩阵，将式（10）代入式（9），得

选择Lyapunov函数［11］

则有

由于ω并非最终的控制量，所以需要进行下一步的设计，定义

则有

再次选择Lyapunov函数

求导可得

选择滑模控制律

式中：Q2为正定对角矩阵；K=diag(k1，k2，k3)，ki>0。将式（19）代入式（18）可得

上述滑模控制律使用的是饱和函数，为了削弱和防止由此引起的抖振现象，使用式（21）所示的logistic函数替换sgn函数，可得

通过选择合适的k值，可以达到鲁棒性和抖振的平衡。

3.3 基于ESO的控制系统补偿器设计

偏转弹头导弹在弹头偏转的过程中，其多刚体系统存在的内部作用机理会导致不确定的扰动，同时外部飞行环境也会产生干扰力矩，这些干扰无法被精确建模。在控制系统数学模型式中，Δ1、Δ2是系统非线性广义不确定项，代表包括模型不确定性以及外部干扰在内的系统“总扰动”。需要设计基于扩张状态观测器（extendedstate-observer，ESO）的控制系统补偿器对Δ1、Δ2进行观测，并在控制器中进行实时补偿［12-17］。

将式（6）改写成

式中：x3、x4为扩张状态，分别表示总扰动Δ1、Δ2；h1、h2分别表示总扰动Δ1、Δ2的导数。首先针对角速度动态方程设计扩张状态观测器，可表达为

式中：0<α1<1、δ1>0、β11、β12为观测器增益；fal函数表达式为

选择合适的α1、δ1、β11、β12，观测器输出z11、z12分别逼近y、Δ1，即

同理可针对姿态角动态方程设计扩张状态观测器，将观测器的估计值加入到观测器中得到修改后的控制律为

4 仿真验证

为验证所设计偏转弹头导弹姿态控制器的性能，进行数字仿真。仿真条件为：飞行高度9 800 m，速度3Ma，初始攻角为8°，跟踪5°阶跃指令，侧滑角和侧倾角保持0∘，仿真过程中加入环境干扰为风干扰，风速为100 m/s。

4.1 标称工况条件下的仿真验证

在无气动参数拉偏的条件下，攻角指令的跟踪曲线及弹头偏角的仿真曲线图6~8所示。

图6 攻角仿真曲线Fig.6 Simulation curve of angle of attack

由图6可知，系统能够快速跟踪攻角指令信号，响应时间约为0.2 s，且超调量小于10%，稳态误差小于5%。由图7和图8可知，弹头偏转幅度和导弹过载均保持在合理的范围之内，基本满足工程要求，整个系统的响应良好。并且在加入风干扰的条件下仍然能够保证控制效果，证明基于反步滑模的鲁棒姿态控制器具有优良的控制性能。

图7 弹头偏角仿真曲线Fig.7 Simulation curve of missile warhead deflection angle

图8 过载仿真曲线Fig.8 Simulation curve of G-load

4.2 气动参数拉偏条件下的仿真验证

在气动参数拉偏+20%的条件下，攻角指令的跟踪曲线及弹头偏角的仿真曲线如图9~11所示。

图9 攻角仿真曲线Fig.9 Simulation curve of angle of attack

图10 弹头偏角仿真曲线Fig.10 Simulation curve of missile warhead deflection angle

气动参数拉偏+20%条件下的仿真曲线说明导弹的攻角、弹头偏角和导弹过载的变化仍在合理范围内，证明了所设计的偏转弹头导弹姿态控制系统具有较强的鲁棒性。

图11 过载仿真曲线Fig.11 Simulation curve of G-load

4.3 与基于经典控制的俯仰通道控制器控制效果的对比验证

为了验证基于反步滑模的偏转弹头导弹姿态控制器的优越性，将其与基于经典控制的频域设计方法设计的控制器进行控制效果的对比验证。首先在导弹短周期运动、小扰动线性化假设的情况下对运动方程进行简化处理，得到俯仰运动线性化方程组为

针对所设计的2种控制器进行控制性能的对比仿真试验，仿真条件为：飞行高度9 800 m，速度3Ma，初始攻角为0°，跟踪1°阶跃指令，对比结果如图12所示。

图12 控制效果对比曲线Fig.12 Curve of control effects comparison

由图12可以看出，采用反步滑模方法设计的偏转弹头导弹控制系统在响应时间、超调量、控制效果等方面优于基于经典控制的频域设计方法设计的控制器。因此，基于反步滑模的姿态控制方法控制效果更加优越。

5 结束语

本文主要研究了基于反步滑模的偏转弹头导弹在超声速飞行、风干扰存在条件下的姿态控制方法。针对偏转弹头控制这种区别于传统空气舵面控制的新型控制方式，本文提出了一套适用于该导弹的强鲁棒、快响应的姿态控制系统。具体来说，首先建立了偏转弹头导弹数学模型，对偏转弹头导弹进行了必要的气动特性分析，之后设计了一种基于反步滑模的偏转弹头导弹姿态控制系统，并且尝试解决抖振问题。针对变结构的气动构型可能导致的不确定性干扰和外部环境的干扰，设计基于扩张状态观测器的控制系统补偿器。最后通过仿真验证所设计的姿态控制器能够实现对姿态控制指令的快速跟踪，整体控制效果满足工程要求，可为后续偏转弹头控制的工程化实现提供一定的研究基础。