斐波那契数列若干性质的台阶法证明*

唐得娇，邓伟升

(1.通海县第一中学，云南 玉溪 652700；2.云南师范大学 数学学院，云南 昆明 650500)

斐波那契数列是组合数学中一个重要和活跃的研究课题，它有许多奇特的性质及应用[1-4]；斐波那契数列性质的证明方法有归纳法、公式法、母函数法及平铺法等[5-7]，但在某些性质的证明中，使用上述方法有的比较困难，有的则比较简单，本文利用台阶法证明了斐波那契数列的若干性质，并赋予其一定的组合意义。

1 斐波那契数列及台阶法

在1202年出版的《算盘书》中,意大利数学家列昂纳多·斐波那契提出了有趣的“兔子问题”[1]：在一年之初把一对兔子(雌雄各一只)放入围墙内，从第二个月起，雌兔每月可产一对兔子(雌雄各一只)，而雌小兔长满2个月后开始产兔，也是每月产一对兔子(雌雄各一只)，若不考虑死亡问题，到年末围墙内共有多少对兔子？

设第n(n=0,1,2,…)个月底，围墙内共有Fn对兔子，则F0=1,F1=1.当n≥2时，第n个月底的Fn对兔子可分为两类：1)第n-1个月的Fn-1对兔子；2)在第n个月出生的兔子，共有Fn-2对；则第n个月底，兔子的对数Fn=Fn-1+Fn-2.由特征根法或生成函数法可得

数列{Fn}n≥0称为斐波那契数列，数列中的项Fn称为斐波那契数.

“兔子问题”可等价描述为“上楼梯问题”：设某人上有n级台阶的楼梯，每步只能上1级台阶或2级台阶，试求上法数gn.显然g0=1,g1=1；当n≥2时，上法可分为两类：1)若第一步上1级台阶，则剩余的n-1级台阶的上法数为gn-1种；2)若第一步上2级台阶，则剩余的n-2级台阶的上法数为gn-2种；因此gn=gn-1+gn-2.由于数列{gn}n≥0与{Fn}n≥0有相同的初始值和递推关系，从而gn=Fn；将上有n级台阶的楼梯，每步只能上1级台阶或2级台阶的上楼梯方法称为台阶法.

2 斐波那契数列若干性质的台阶法证明

性质1F0+F2+F4+…+F2n=F2n+1(n≥0).

证明i)利用递推法证明

由F0=F1及Fn=Fn-1+Fn-2，可得

F0+F2+F4+…+F2n=(F1+F2)+F4+…+F2n=

(F3+F4)+F6+…+F2n=…=F2n-1+F2n=F2n+1.

ii)利用台阶法证明

因为台阶数2n+1为奇数，所以至少有一步只上1级台阶.将F2n+1种上法分为n+1类：第k(k=0,1,…,n)类为最后一次上1级台阶到达第2k+1级台阶，其上法为先从第0级台阶上到第2k级台阶，然后上1级台阶，其上法数为F2k种，剩下的2(n-k)级台阶，每步上2级台阶.由加法原理可得

F0+F2+F4+…+F2n=F2n+1.

性质2F1+F3+F5+…+F2n-1=F2n-1(n≥1).

证明i)利用递推法证明

由F0=1及Fn=Fn-1+Fn-2，可得

F1+F3+F5+…+F2n-1=(F2-F0)+(F4-F2)+

(F6-F4)+…+(F2n-F2n-2)=F2n-F0=F2n-1.

ii)利用台阶法证明

上2n级台阶的上法数共有F2n种，上法可分为两类：1)每步均上2级台阶，其上法数只有1种；2)至少有一步上1级台阶，上法数为F2n-1，因为台阶数2n为偶数，则最后一次上1级台阶到达的位置必在偶数级台阶上，可将这F2n-1种上法分为n类：第k(k=1,2,…,n)类为最后一次上1级台阶到达的位置为第2k级台阶，其上法为先从第0级台阶上到第2k-1级台阶，然后上1级台阶，其上法数为F2k-1种，剩下的2(n-k)级台阶，每步上了2级台阶.由加法原理可得

F1+F3+F5+…+F2n-1=F2n-1.

由上可见，利用递推法和台阶法都可对斐波那契数列的某些性质进行证明，但是台阶法证明过程能够赋予这些性质一定的组合意义，易于理解；而且对于斐波那契数列的某些性质，采用递推法等方法证明比较困难，而采用台阶法进行证明则很简洁.

性质3Fn+m=FnFm+Fn-1Fm-1(n≥1,m≥1).

证明Fn+m种上法可分为两类：1)有一步踏在第n级台阶上，其上法是先上前n级台阶，然后上后m级台阶，上法共有FnFm种；2)没有踏在第n级台阶上，其上法是先上前n-1级台阶，然后上2级台阶越过第n级台阶到达第n+1级台阶，最后上剩下的m-1级台阶，上法共有Fn-1Fm-1种.从而

Fn+m=FnFm+Fn-1Fm-1(n≥1,m≥1).

3 结语

斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它与树木生长、几何图形、黄金分割和杨辉三角等有着非常奇妙的联系，在优选法和计算机科学等领域有着非常广泛应用.斐波那契数列的性质的证明方法多种多样，本文主要采用台阶法来证明了若干斐波那契数列的性质，这种证明方法简洁明了且易于理解，同时赋予其一定的组合意义.