立足图形变化 提升推理能力*

蒋惠丽

(江苏省苏州学府中学校 215009)

1 基本情况

为配合疫情防控的要求，我校上半年经历了由线下教学转为线上教学．本节课是学生线上学完《全等三角形》，转线下学习后的一节单元复习课．因环境的改变，不少学生还不能完全适应线下课堂，因此，在结束了本章学习后，笔者开设了一节借助全等三角形纸片的运动变化，巩固基本知识、基本技能的单元复习课．

(1)教材与学情分析

本节课教学内容是在完成《全等三角形》一章的学习后，为进一步培养学生的推理能力，主要是从一些事实和命题出发，依据规则推出其他结论的能力．利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等，所以本章的内容也是后续学习等腰三角形、四边形、圆等几何图形的基础，教材以平移、翻折、旋转为主线展开“图形与几何”的学习．

线上教学中教师没有办法实时关注所有学生的学习状态，且通常会存在网络延时的问题、偶尔会出现网络异常、家庭学习氛围不浓、同伴互助缺失等因素，线上学习期间，学生的听课、作业等情况都与线下授课有差异，而由此积累下来的学习习惯也对后续的线下学习产生一定的影响．由于学习环境不同导致学习效果存在一定的差异，学生推理能力的发展也存在着不同程度的差异．

借助“靶向教学”进行数学复习教学，能够给班级和学生提供个性化、针对性的指导，可以提升复习的效益．[1]基于此，笔者对前测调研数据进行了靶向分析，发现不少学生在几何解题书写的规范性、条件与结论之间的逻辑性分析方面还存在一些问题，亟需一节针对性较强的单元复习课以弥补不足，帮助学生解决难点、痛点问题，及时清理几何学习道路上的障碍．

(2)教学目标及重难点

教学目标 复习全等三角形的概念、性质和判定；建构全等三角形的知识网络，让学生初步体会几何学习的方法；通过自主设计、合作学习，让学生感悟数学的严谨性，初步形成逻辑表达与交流的习惯；培养学生通过独立思考获得证明的思路，注重遵循小步走、多层次的原则，由易到难、由浅入深地发展学生的演绎推理能力．

教学重点 掌握三角形全等的判定和性质，建构全等三角形的知识网络．

教学难点 规范解题书写，感悟数学的严谨性，初步形成逻辑表达与交流的习惯．

2 教学过程

教师展示三组三角形纸片(图1)，分别是锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，叠合每组图形后均重合，自然引出本节课的复习内容，并帮助学生回忆全等三角形的定义．

图1

2.1 问题驱动，建构知识体系

问题1如图2，△ABC≌△DEF，你能得到哪些结论？

图2

师：任取其中一组三角形(图1(3))，如图2放置，你能得到哪些结论？

生1：AB=DE，CB=FE，AC=DF．(全等三角形的对应边相等)

生2：∠A=∠D，∠C=∠DFE，∠ABC=∠E．(全等三角形的对应角相等)

师：很好！这些都是全等三角形的性质．除此以外，你们还能得到其他结论吗？

生3：AC∥DF，AB∥DE．

师：依据是什么？

生3：同位角相等，两直线平行．

师：完全正确！还能得到什么结论？

生4：CF=BE．

师：它们为什么相等？

生4：因为CB=FE，同时减去BF，剩下的部分仍然相等．

师：依据是什么？

生4：等式的性质．

师：非常好！你不仅拥有一双善于发现的眼睛，还拥有一个积极思考的大脑．

设计意图问题1比较基础，意在帮助学生复习全等三角形的性质——全等三角形的对应边、对应角相等．除此以外，联系之前学过的几何知识，还有些结论需要转化才能得到，通过复习帮助学生建立新旧知识之间的关联．

问题2如图2，在△ABC和△DEF中，要说明△ABC≌△DEF，需要添加几个条件？

师：反过来，如果要说明△ABC≌△DEF，我们需要添加几个条件？

生：三个．

师：具体是哪三个条件呢？

生5：AB=DE，∠A=∠D，AC=DF．

师：判定的依据是什么？

生5：SAS．

师：表达得很正确．还有另外的判定方法吗？

生6：AB=DE，∠A=∠D，∠ABC=∠E．其实只要有两组对应的角相等，再加任意一组边即可．

师：判定的依据是什么？

生6：ASA或者AAS．

师：很好！描述清楚到位．

生7：还可以添加AB=DE，CB=FE，AC=DF，依据是SSS．

师：回答非常完整！同学们，如果我们当初的选择是一对直角三角形(图1(2))呢？

生7：只要加两个条件了，因为它自带一组直角．

师：非常好！你来试试．

生7：如果加两条直角边相等，那就是用SAS；如果加一组锐角相等，并且任意一组边相等，那就是用AAS或者ASA；如果加一组直角边相等，并且斜边也相等，那就是用HL．

师：总结得很好！对于直角三角形，一般三角形全等的判定仍然适用．当然，因为已知一组直角相等的缘故，SSS这一判定需要添加三个条件，显得有些“浪费资源”，是被舍弃的．同时也因为直角三角形的特殊性，与一般三角形相比，它还拥有一个特殊的判定方法(HL)．如果我们把这两张钝角三角形纸片放置到另一特殊的位置(图3)，此时需要添加几个条件呢？

图3

问题3如图3，在△ABC和△DEF中，要说明△ABC≌△DEF，需要添加几个条件？

生8：两个．因为它们有一组公共边，所以只要加两角、两边或者一角一边即可．

师：观察得很仔细，表达得也很清楚．我们把公共边这样的条件叫做隐含条件，善于挖掘隐含条件，会为我们解决问题提供很大的帮助．

设计意图问题2和问题3也属于非常基础的题目，目的是帮助学生复习全等三角形的判定，强化判断一组三角形全等需要三个条件，其中一组边相等是必备条件．问题3引导学生善于挖掘题目中的隐含条件——公共边、公共角、对顶角等，从而有助于问题的顺利解决．

从大容量习题的学案走向简约呈现、内涵丰富的问题驱动，可有效促进学生思维卷入高质量问题中，从而追求探索未知的有效教学．[2]在问题1～3的驱动下，学生从定义、性质、判定三个方面回忆了《全等三角形》这一章的知识点，这也是继续研究其他几何图形的策略．同时，图2和图3还可以看成由△ABC平移、翻折而来，让学生感悟图形的运动变化是研究几何的重要手段之一．

2.2 例题示范，规范解题格式

例1如图2，已知AC∥DF，AC=DF，CF=BE．求证：AB∥DE．

例2如图3，在△ABC和△DBC中，AC=DC，AB=DB，连结AD，试说明CB与AD的位置关系．

在原有图2和图3的基础上进行命题，通过学生板书、师生合作点评，帮助学生梳理逻辑关系，明确几何解题的规范，同时巩固了位置关系和数量关系、间接条件和直接条件之间的相互转化等知识点．因使用原图，学生接受情况良好，节省了重新审题的时间，可以把更多的精力转移到规范书写上来．

例题过后设计一个开放的变式，如把钝角三角形替换成锐角三角形或者直角三角形、把平移和翻折结合起来或者加上旋转均可，这一选择由学生自己来决定，师生合作完成．有了前期问题的铺垫，学生进而会思考这两张三角形纸片还可以如何放置，一般放置到某一特定位置，一定会生成一些新的特殊图形，这是一个命题者极容易捕捉到的信息，根据这一信息，可以命制出一些新的题目来．

2.3 自主设计，落实四基四能

课程目标以学生发展为本，以核心素养为导向，进一步强调学生获得数学基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验，发展运用数学知识与方法发现、提出、分析和解决问题的能力，形成正确的情感、态度和价值观[3]．

例题是教师命题学生做，最后教师把命题解题的自主权交给学生．学生利用手中的全等三角形，围绕本节课的主题来设计图形，继而发现和提出问题，并能够分析和解决问题．在此活动过程中，学生拼搭出很多作品，并在此基础上尝试命题解题．

学生部分作品如下：

作品1 将两个全等三角形如图4放置，∠A=75°，∠DBC=40°，求∠DCB的度数．

作品2 如图5，已知△ABC≌△CDA，求证：AB∥DC，AD∥BC．

图4 图5

作品3 在Rt△ABC和Rt△CDE中，∠B=∠D=90°，将两个全等的直角三角形如图6放置，B,C,D三点在同一条直线上，求证：∠ACE=90°．

图6 图7

作品4 将三个全等的三角形如图7放置，若∠ABC=18°，∠ACB=29°，求∠DAE的度数．

不少学生经历了近30分钟的学习后，有些疲惫和懈怠，通过这一活动环节，自主设计图形、自主或者互相命题、独立或者合作解决问题，不仅能帮助学生巩固本章知识，还能拓宽学生思维，同时调动了学生学习的积极性，增进同伴互助，提高课堂实效．当然，因为条件的限制，本节课生成出的作品大都是直接使用拼搭的图形本身，已知三角形全等，求边求角的问题．课后教师还可以引导学生利用拼搭好的图形，逐步添加线条，使得图形更加丰富；也可以反过来通过添加合适的条件，转而证明三角形全等．

2.4 课堂小结，布置作业(略)

3 回顾与反思

3.1 分析学情，定位精准

学生刚刚恢复线下学习，学习的状态和以往相比还是略有不同，处于线上线下学习的过渡期．学生刚刚学完《全等三角形》这一章，许多知识点还有待进一步巩固提高，通过本节课的复习帮助学生串联全等的相关知识，初步建构全等三角形的知识体系，感悟几何学习的方法．

在选题设计方面充分考虑学情，选择的图形简洁清晰．课堂中出现的所有图形都是由两个全等的三角形构成，学生比较容易厘清边、角之间的数量关系，帮助学生建立解题自信；同时注重基本图形的变化，让学生感知复杂图形可以由简单图形运动变化获得，逐步帮助学生完成从简单图形到复杂图形的过渡；在学生完全掌握了基本知识，积累一定的解题基本经验后，再逐步接触比较复杂的图形，从而减少学生学习数学的畏难情绪．

3.2 动手设计，自主命题

通过学生访谈，了解到他们也不是故意不听课，有些时候听着听着就走神了，等到回过神来的时候已然听不懂了，长此以往学生也就慢慢失去了数学课堂的参与能力．基于此，把课堂还给学生，把命题解题的自主权交给学生，让他们利用两张全等的三角形纸片进行拼搭，设计图形—提出问题—分析问题—解决问题，通过这个活动，让学生过了一把当老师的瘾，学习劲头就上来了．从简单的拼搭开始，慢慢添加线条，图形越来越复杂，学生能解决的问题越来越多，自信和兴趣便随之增多．

在“做”数学的活动中，要时刻关注学生是否能在教师的引导下，积极主动进行操作、探索、归纳；能否有条理地思考和表达；能否有意识地反思探索的过程，获得分析问题的经验．此外，教师不仅要关注学生参与操作、探索、归纳活动的程度，而且要关注

学生能否通过独立思考获得证明的思路，能否运用规范的数学语言表述论证的过程．

活动的顺利进行基于小组合作，如果学生只会拼搭图形，但解决问题的能力偏弱些，组内的成员们会帮助他一起解决，同时其本人也会更加专注别人解决问题的方法，更有针对性地去关注自己当时的难点，为下一次自己能够独立解决问题奠定基础．

3.3 适当放手，留有余地

学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者，作为教师应该把更多的时间和空间留给学生自己，而不是急于表达教师想表达的，应当多关注学生学习的过程，给予更多学生表达自己的机会．有了轻松民主的课堂氛围，学生思维的火花就能精彩频出．

课后一位学生分享了他的思考．他认为使用三角形纸片不妥，他拿出自己使用毛根(一种可弯曲定型的手工材料)制作的三角形，很认真地说，这才是三角形，而且叠合时前面的三角形也挡不住后面的．确实如此，他的想法是正确的，笔者大力表扬了他勤于动手、善于观察、专于思考、敢于发问．然后解释，用他的道具更好，只是不太常见，同学们不容易找到，解题时不能及时应急，纸片虽然不够严谨，但是能表达清楚题目意图，关键是它随时可取，在必要的时候能够帮助我们解决问题．不过纸片三角形也好，毛根三角形也罢，它们都只是协助我们思考的“脚手架”，当我们能够顺利解决问题时，也可以无需通过道具就能解决问题，但是毋庸置疑，这些道具在帮助我们设计图形、分析问题时发挥了极其重要的作用．