动态可靠度小样本评估方法

傅惠民， 付越帅， 吴 琼

（1.北京航空航天大学 小样本技术研究中心， 北京 100191； 2.北京空间飞行器总体设计部， 北京 100094）

0 引言

工程上， 通常要求对产品设计寿命下的可靠度进行评估，有的还要求对产品服役过程中可靠度的变化情况，即对其动态可靠度进行实时评估， 结合可靠度的指标要求，实现单机健康状态监控。 但是，由于传统方法通常采用干涉模型计算产品的动态可靠度， 这需要确定产品相应时刻的损伤量分布和抗损伤强度分布， 不但导致难度大误差大，而且还无法实现单机健康状态在线实时监控。所以有待更为精确的分析方法的提出[1-4]。 文献[5]用可靠寿命（较弱产品的寿命）定义了可靠损伤（较弱产品的损伤），并证明了可靠损伤的临界值为1，很好地解决了寿命估算领域存在的长期悬而未决的损伤临界值到底是1 还是小于1 的数，或是一个随机变量的难题。 此外，文献[5]还证明了若各应力水平下可靠寿命的置信水平为γ，则各应力水平下的损伤经线性累加后， 其累积损伤的置信水平仍然为γ， 从而为高置信度的可靠寿命和可靠度评估奠定了理论基础。 因此，基于文献[5]，本文进一步提出了一种产品动态可靠度小样本评估方法， 建立了程序块谱下高置信度的可靠寿命计算公式，提出了程序块谱、一般载荷和复杂情况下高置信度的可靠度计算公式， 不但能够对产品设计寿命下的可靠度进行评估， 而且还能够对产品的动态可靠度进行实时评估， 克服了传统干涉模型方法的缺点。 高置信度的可靠寿命和可靠度评估的关键是如何通过小样本方法得到产品、 模拟件或材料的置信水平为γ、可靠度为R 的性能曲线，文献[6-8]给出了各个应力水平下方差不相等情况的小样本测试方法。 本文进一步建立了方差相等和方差已知情况下高置信度高可靠度性能曲线的小样本测试方法， 从而实现产品高置信度的可靠寿命和可靠度小样本评估。

1 动态可靠度评估方法

动态可靠度是结构健康监测的一项重要指标，因此，在文献[5]给出的可靠损伤及其临界值的基础上，下面进一步给出高置信度下的可靠寿命和可靠度计算公式。

1.1 程序块谱下的可靠寿命评估方法

设产品受到由应力水平Si（温度、湿度、载荷、电应力等），加载时长为ni（循环数或单位时间等），i=1，2，…，q，组成的程序块谱的作用，则根据文献[5]可知，在该程序块谱作用下产品置信水平为γ、 可靠度为R 的可靠寿命NR单侧置信下限NRL（以块谱数为单位）由下式给出

式中：NRL，i为产品在应力水平Si下置信水平为γ、可靠度为R 的可靠寿命单侧置信下限， 可由该产品相应的置信水平为γ、 可靠度为R 的性能曲线获得， 例如P-S-N 曲线、P-ε-N 曲线或蠕变性能曲线等，也可以由其材料性能曲线修正得到。 NRL的置信水平γ 可采用文献[9]方法证明。

1.2 程序块谱下的可靠度评估方法

设截至某一时刻t，产品在应力水平为Si、加载时长为ni，i=1，2，…，q，的程序块谱下，工作了Nt次循环，则可通过求解下式[10]

得到满足式（2）的可靠度，根据置信限曲线等同性原理可知， 此可靠度即为产品在t 时刻 （经过Nt个程序块谱循环）置信水平为γ 的可靠度R（t）单侧置信下限RL（t）。

1.3 一般载荷下的可靠度评估方法

设截至某一时刻t，产品在应力水平Si下的工作时长为ni，i=1，2，…，m，则可通过求解下式[10]

得到满足式（3）的可靠度，根据置信限曲线等同性原理可知， 此可靠度即为产品在该使用载荷条件和工作时长下置信水平为γ 的可靠度R（t）单侧置信下限RL（t）。

1.4 复杂情况下的可靠度评估方法

设截至某一时刻t，通过文献[5，11-13]等方法求得产品置信水平为γ、可靠度为R 的可靠寿命消耗百分比单侧置信上限为LCUt，则通过求解下式

得到满足式（4）的可靠度，它即为产品在时刻t 的置信水平为γ 的可靠度R（t）单侧置信下限RL（t）。式（4）既可用于单应力情况，也可用于多应力情况；既可用于程序块谱，也可用于随机载荷；既可用于单失效模式，也可用于多失效模式（如疲劳、 蠕变、 松弛、腐蚀、老化等）；既可以用于无整机寿命试验数据情况， 也用于有整机寿命试验数据情况等的动态可靠度评估。

2 高置信度高可靠度性能曲线小样本测试方法

工程实际中许多性能曲线均可线性化，例如常见的阿伦尼斯模型、逆幂律模型和指数模型等。 下面将以P-S-N曲线为例，给出小样本测试方法，其他情况可以类推。 众所周知， 金属材料中寿命区的S-N 曲线通常可用幂函数（逆幂律模型）描述，即

式中：a=lgC，b=-β。

2.1 中值性能曲线

大量试验证实， 金属材料在中寿命区对数疲劳寿命遵循正态分布。 因此，通常可设

2.2 方差相等时高置信度高可靠度性能曲线

根据式（14）、式（17）和文献[14]的百分回归分析可知，该产品对数寿命y=lgN 的置信水平为γ、可靠度为R的可靠寿命yR的单侧置信下限由下式给出

式中：uR和uγ为标准正态偏量，即uR=Φ-1（R），uγ=Φ-1（γ），Φ（·）为标准正态分布函数；c 是与R，γ 和ν，n 有关的参数，可由式（24）求得，进一步的研究发现，c 受ν 和n 影响较小，因而使问题进一步简化，可由文献[15]查得，特别是当ν≥5 时，可取c=0.64。

根据式（23）可求得产品疲劳寿命的置信水平为γ、可靠度为R 的可靠寿命NR单侧置信下限为

2.3 方差已知时高置信度高可靠度性能曲线

当方差已知时，即有σ2=σ02，则根据式（14）和式（17）可知，该产品对数寿命y=lgN 的置信水平为γ、可靠度为

R 的可靠寿命yR的单侧置信下限由下式给出

从推导过程可知， 上面以P-S-N 曲线给出的小样本方法， 对工程实际中其他可线性化的性能曲线也同样适用。 而且对于多应力情况的高置信度高可靠度性能曲线，同样可根据文献[14]方法进行小样本测试。

3 算例

3.1 产品动态可靠度评估算例

设某产品在服役过程中主要受疲劳载荷作用， 现给出其服役期间的在线实时动态可靠度评估。

（1）产品性能曲线小样本测试

设在5 个应力水平下各投入了2 个产品试件开展疲劳寿命试验（对称循环），试验结果列于表1。

表1 产品疲劳寿命试验数据（循环数）

采用本文第2 节方法对表1 试验数据进行处理，得到该产品置信水平为γ、可靠度为R 的疲劳性能曲线为

（2）产品动态可靠度在线实时评估

设该产品投入外场使用， 且分别截至5 年、10 年和15 年时，该产品受到的疲劳载荷情况见表2。

表2 产品受到的疲劳载荷情况（对称循环）

下面以10 年为例，给出该产品的动态可靠度评估步骤：首先，根据式（30）求得各应力水平下置信水平γ=0.9、可靠度为R 的可靠寿命单侧置信下限NRL，i。 然后将它们代入式（3），并通过对R 的迭代计算，求得该产品在10 年时置信水平γ=0.9 的动态可靠度单侧置信下限为

同理，可计算得到该产品在5 年时置信水平γ=0.9 的动态可靠度单侧置信下限为

该产品在15 年时置信水平γ=0.9 的动态可靠度单侧置信下限为

3.2 螺旋压缩弹簧设计寿命下的可靠度评估算例

某航天器螺旋压缩弹簧主要受应力松弛作用， 其设计寿命为10 年， 下面给出该弹簧在10 年设计寿命下置信水平γ=0.9 的可靠度评估。

（1）弹簧性能曲线小样本测试

设在4 个温度水平下各投入了1 个弹簧试件开展应力松弛加速寿命试验， 取载荷损失率5%为失效阈值，求得各试件寿命列于表3。

表3 弹簧应力松弛寿命试验数据

设弹簧寿命与绝对温度之间服从阿伦尼斯模型，即弹簧对数寿命lgN 与绝对温度倒数1/T 之间满足

式中：kR，γ（2）为二维单侧容限系数，其中

（2）弹簧设计寿命下的可靠度评估

设该弹簧每年预计的服役温度和服役时长列于表4，现对该弹簧Nt=10 年设计寿命下的可靠度进行评估。

表4 弹簧预计每年服役温度和时长情况

首先， 根据式（37） 求得各应力水平下置信水平γ=0.9、可靠度R 的可靠寿命单侧置信下限NRL，i。然后将它们代入式（2），并通过对R 的迭代计算，求得该弹簧在Nt=10年设计寿命下置信水平γ=0.9 的可靠度单侧置信下限为

RL（t）＝0.999997 （39）

4 结论

提出一种产品动态可靠度小样本评估方法， 建立了程序块谱、 一般载荷和复杂情况下高置信度的可靠度计算公式，既能够对产品设计寿命下的可靠度进行评估，也能够根据单个产品在使用过程中完成的不同任务、 对应的不同载荷，实时评估其动态可靠度，结合可靠度的指标要求，实现在线单机健康状态监控。

给出了程序块谱下高置信度的可靠寿命计算公式，能够对无法直接进行寿命试验或试验困难的设备等进行高置信度高可靠度的小样本寿命评估。

建立了各个应力水平下方差相等和方差已知情况下高置信度高可靠度性能曲线的小样本测试方法， 结合文献[6-8]给出的方差不相等情况的小样本测试方法，可以对工程上多数情况的高置信度高可靠度性能曲线进行小样本测试。

传统干涉模型计算动态可靠度的方法， 需要确定损伤量分布和抗损伤强度分布，不但难度大误差大，而且无法实现真正意义上的单机健康状态在线实时监控， 本文方法克服了传统方法的缺点。