泛函分析课程思政的教学改革探索①

方 莉，孙宜民，崔苗苗

（西北大学 数学学院，陕西 西安 710127）

习近平总书记在全国高校思想政治工作会议上指出：“要用好课堂教学这个主渠道，思想政治理论课要坚持在改进中加强，提升思想政治教育的亲和力和针对性，满足学生成长发展需求和期待，其他各门课都要守好一段渠、种好责任田，使各类课程与思想政治理论课同向同行，形成协同效应。”对于专业课程而言，不存在自身思政体系，教师要通过充分挖掘专业知识中蕴含的德育元素，自主设计课程教学，围绕“知识传授与价值引领相结合”的课程目标将思政要素融入课堂教学的各环节，做严谨又温暖的数学课堂，让学生潜移默化地形成正确的价值观和学习观，做到敬畏课程、敬畏学习，将教学过程育人与课程思政育人目标相统一。本文结合西北大学数学学院专业基础课泛函分析的思政教学改革，充分发挥教师和课程本身的内在功能，探索新时代下地方综合院校数学专业拔尖创新型人才培养体系。

一、泛函分析课程思政建设的必要性

泛函分析课程是数学专业重要的课程之一，开设对象为数学专业本科三年级的学生。泛函分析课程综合了分析、代数和拓扑的观点、方法，学习需要有数学分析、线性代数、解析几何以及点集拓扑的基础，同时该课程的知识在数学物理方程、概率论、计算数学等学科中有着广泛的应用。

泛函分析旨在引导学生掌握基本概念、领会基本知识的同时，提高学生的逻辑思维能力与推理论证能力。泛函分析的课程特点以及学生的毕业去向，使得教师、学生感到该课程难教难学，尤其是在地方综合院校，这个问题尤为突出。通过调查，我们发现：85%的学生表示泛函分析知识与大学生思想政治教育之间联系甚微；65%的学生表示该课程的德育功能无法确定；55%的学生表示不确定将来是否把现在所学的专业作为终生职业；70%的学生表示上课不预习新课；35%的学生表示上课“只记不理解”；很多学生也表示“实变函数学十遍，泛函分析心犯寒”。此外，对于数学专业学生而言，泛函分析是考研复试必考科目。针对这种情况，充分挖掘思政元素与泛函分析教学的合理切入点，将思政要素融入课堂教学各环节，推动学生全方面成长，是非常必要的。

二、泛函分析课程思政建设的可行性

（一）融入学科发展历史，增强学生的爱国情怀

泛函分析是从变分问题、积分方程和理论物理的研究中发展起来的，综合运用函数论、几何学、现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函、运算元和极限理论。国内外数学家、物理学家对泛函分析的发展和广泛应用都有重要贡献。授课过程中，融入数学史及中国数学家简介，打造严谨又温暖的数学课堂。

例如，关肇直是我国著名的数学家，是中国现代控制理论的开拓者与传播人。国内第一本泛函分析教程是他于1958年在北大开课时写出来的。为响应国家关于理论联系实际、科学技术为国民经济建设服务的号召，我国著名数学家田方增及时结合数学物理、国防科技数学开展泛函分析的工作，与关肇直合作共同开辟了中国原子能科学技术领域中“粒子迁移理论的数学问题”之研究，填补了中国在尖端科学技术领域中数学研究工作的一个空白，在中国成功地探索出应用泛函分析的一个重要科研领域。

用新时代的话语，润物无声地把数学家的故事适时融入相关知识的教学中，让学生感受到数学知识的更迭和数学家对知识的孜孜追求，增强学生的爱国情怀，激发学生民族自豪感和文化自信意识的共鸣。

（二）构建课程之间的桥梁，培养学生的分析思维

泛函分析课程涉及大量的数学分析、实变函数、复变函数、拓扑学知识，与高等代数、常微分方程、偏微分方程等课程的知识紧密相连。如泛函分析课程中的算子理论和算子谱理论主要介绍了Banach空间中有界线性算子的基本定理及其应用、有界线性算子的基本性质、有界自共轭算子和紧算子谱的性质，这些内容是泛函分析应用于数学物理方程、概率论、计算数学等学科的核心。

新时代下，如何在教学过程中将前期所学知识有效地应用到泛函分析的授课中，加强课程之间的联系？如何由浅入深、由易到难地进行知识讲解，培养学生的抽象思维能力和分析、解决问题的能力？这些问题的有效解决，都是泛函分析的教学过程中培养学生分析思维的关键。

例如，距离空间中压缩映射定理及其应用，将“方程的求解”问题转化为“求映射的不动点”问题，用逐次迭代法求不动点（见图1）。此方法是计算数学、分析和代数中常用的一种重要方法。

图1 “方程的求解”问题转化为“求映射的不动点”问题流程图

例如，（Riesz引理）设X为一赋范线性空间，M为其闭线性真子空间。对任意ε∈（0，1）存在x0∈X-M使得且d（x0，M）|＞ε。在讲解Riesz引理时引导学生探索有限维赋范线性空间中Riesz引理的实质。学生分组讨论了欧氏空间R3和R2中的Riesz引理，进一步分析比较了Hilbert空间中的Riesz引理。以R3中Riesz引理的分析为例，在R3中选取过原点的平面3y-4x+0z=0，即点集M={（x，y，z）|3y-4x+0z=0，（x，y，z）∈R3}。记R3中元素为β≡（x，y，z），讨论ε的取值对于满足d（β，M）>ε的β的影响。事实上，Riesz引理结论中‖β‖2=x2+y2+z2=1且的点β在与平面3y-4x+0z=0垂直的直线族4y+3x=C（C∈R）上。特别地，当ε=1时，C=0；当ε=0.5时，先得到满足d。可以看到，当ε=1时，仅有两个点满足引理要求；当ε=0.5时，满足引理要的点有无数多个且分布在两段对称的球冠上。

图2 R3中Riesz引理的分析

图3 R2中Riesz引理的分析

（三）增加实践教学环节，提高学生的操作能力

信息时代下，通过粉笔将课本上的知识搬到黑板上这一传统的教学方式，已经不适用当代大学生了。传统的教学方式，侧重解题过程而忽略与学生的互动，较少关注学生的个性化需求，学生往往处于盲目被动学习过程。此外，泛函分析知识的抽象性极度限制了学生学习泛函分析过程中与实践相结合的积极性。面对这种实际问题，教师带领学生还原数学知识的生活背景，引导学生使用Matlab等数学软件实现与知识点有关的数学模型，通过具体例子使学生深切体会到泛函分析中所谓的抽象，降低学生学习这门课的抽象感，培养学生运用计算机解决实际问题的能力。

例如，针对距离空间中ε-网知识点，引导学生采用ε-网回顾了1999年全国大学生数学建模竞赛B题第一问，启发学生在二维欧氏空间中考虑不同距离定义解答该问题，并进一步使用Matlab软件实现。部分学生将12个旧井点集合记为A={pi：i=1，2，…，12}，新井点集合为B={qi：i=1，2，…，100}（以新建坐标系的单位网格总结点数为新井点数），记以新井点qi为中心，以ε为边长的一个方形邻域为S（qi，ε），即A⊂qi∈∪BS（qi，ε）。本题选定ε=0.05，即A具有一个0.05-网，该题旨在解决在确定A的一个0.05-网时满足方形邻域S（pi，ε）内包含旧井点pi个数最多的方案问题。图4中，*表示集合A中的所有元素，△表示集合B中的所有元素，绘制的圆即为集合B生成的ε-网，由图4可以明显看出该ε-网完美覆盖了A中的所有元素。

图4 ε-网绘制结果示意图

三、结语

思政要素融入数学专业课程教学是一种新的教学模式，更是必然趋势。数学课堂中的课程思政，从加减乘除、方程公式和定理论证到课程育人，表于知识点、深于思维、贵在内化、成于育人，强调的是“润物细无声”，将德育内化于课堂教学中，培养学生的创新精神和创新能力，让学生在学习具体科学知识的同时得到价值观的熏陶，最终实现“知识传授、能力提升、价值引领”的育人效果。