基于弹性地基梁理论的端面顶板稳定性分析

李鹤鹤， 冀宇鑫， 宋高峰

(北方工业大学土木工程学院， 北京 100144)

煤炭资源是中国重要的矿产资源，在中国能源消耗占比中处于主体地位，持续稳定的煤炭工业发展是推动中国经济稳定发展的重要保障[1-3]。随着煤炭的开发利用，地表往往发生沉陷，严重影响了农田耕种、建筑物安全稳定等。为解决地下采煤引起的地表沉陷问题，充填采煤技术得到了广泛应用[4]，该采煤法可以采用煤矸石、膏体等作为充填材料，有效控制覆岩移动变形，解决了地表沉陷问题[5-6]。然而，充填开采过程中的端面顶板破碎往往成为制约煤炭安全开采、工作面正常生产的事故之一，特别是在特殊地质构造带情况下，端面顶板破碎会进一步加大液压支架前方无支护空间，支架围岩相互作用关系更加恶化，影响工作面快速推进和正常循环作业[7]。因此研究充填开采端面顶板稳定性具有重要意义。

中外学者从不同角度对端面顶板稳定性进行了研究。张强等[8]通过建立液压支架与充填体共同控顶力学方程，揭示了充填开采直接顶位态对冒顶的影响机制，并提出了直接顶位态控制的精准方法，为预防端面冒顶提供了参考依据。李强等[9]通过分析重复采动下端面冒顶演化过程，得到了影响端面冒顶4个影响因素，采用UDEC软件模拟分析了4种因素对端面冒顶的影响，提出了相应的防护措施，为控制近距离煤层群重复采动下端面冒顶提供了方案。段宏跃等[10]对煤层顶、底板进行了现场采样和分类，通过实验室岩石力学测试，获得了顶、底板岩石的各项强度力学参数，明确了各煤层顶、底板岩石类型及稳定性，并针对端面冒顶问题提出了相应建议。王楠等[11]认为急倾斜煤层端面顶板破碎严重影响安全生产，采用顶板钻孔窥视仪、端面顶板稳定性物理模型及数值模型等方法，研究了急倾斜煤层端面顶板稳定性，并得到了急倾斜煤层端面顶板破坏的主要原因。谷拴成等[12]通过理论分析、数值模拟及现场监测相结合的方法，分析了中浅埋深矩形巷道顶板冒落及围岩变形，并给出了矩形巷道顶板下沉变形的理论计算公式。牟秀超等[13]对端面冒顶建立了冒落拱结构力学模型以及“梁”结构力学模型，分析了顶板厚度的影响机制及最大冒落高度，并根据UDEC数值模型获得了单纯加固端面顶板不能有效控制端面冒顶。

目前在端面顶板稳定性的研究方面已取得了较多成果，但大多数学者主要采用欧拉伯努利梁理论进行分析，且数值模拟很少考虑充填体对上覆岩自重的分担，导致直接顶下沉量及支承压力计算结果偏大。因此仍可以从其他角度进一步丰富端面顶板稳定性的理论分析及数值模拟研究。现采用弹性地基梁理论求解工作面前方煤体及液压支架挠曲线方程表达式，明确煤层埋深、液压支架刚度、煤层地基系数及顶板岩梁弹性模量4种因素对端面顶板变形的影响；并采用PHASE 2D有限元软件模拟煤层埋深、煤体弹性模量对端面冒顶的影响，分析工作面前方煤体塑性区、直接顶下沉量及工作面前方支承压力分布规律，进一步揭示和丰富端面冒顶机理。

1 端面顶板稳定性理论分析

1.1 端面冒顶力学模型建立

根据弹性地基梁理论建立端面顶板稳定性力学模型，以煤壁上方为坐标原点，假设工作面前方实体煤及液压支架为弹性基础，工作面前后方顶板为弹性地基梁，建立如图1所示的工作面“支架-顶板-煤体”力学模型。

pz为上覆岩层作用在弹性基础梁上的载荷；pc为工作面前方实体煤对梁产生的作用力；ps为工作面后方控顶区内液压支架对梁的作用力；ks为液压支架的刚度，MPa/m；kc为煤层的地基系数，MPa/m；z为顶板岩梁的挠度，假设在载荷pz的作用下煤壁处的下沉量为z0图1 工作面“支架-顶板-煤体”力学模型Fig.1 “Support-roof-coal” mechanical model of working face

1.2 端面顶板受力分析

根据弹性地基梁理论[14]，液压支架上方及工作面煤体上方的顶板岩梁下沉方程分别为

(1)

式(1)中：E为顶板岩梁的弹性模量，MPa；I为顶板岩梁的惯性矩，m4；z为顶板岩梁挠度；z-z0为顶板岩梁真实下沉量，m。

式(1)的通解分别为支架上方顶板岩梁、煤层上方岩梁的下沉量，即

(2)

当x→∞时，顶板的下沉量趋于定值，因此式(2)可简化为

(3)

根据顶板在煤壁处下沉量、斜率、应力相等，可求得式(3)中的待定参数A1、A2、B1、B2分别为

(4)

因此，工作面前方实体煤的挠曲线方程zc为

(5)

工作面煤壁处的下沉量z0为

(6)

液压支架的挠曲线方程zs为

(7)

由式(7)可知，影响顶板下沉量的主要参数为上覆岩层作用在弹性基础梁上的载荷pz、液压支架的刚度ks、煤层的地基系数kc以及顶板岩梁弹性模量E，顶板岩梁及煤体力学参数如表1所示。分析这4个影响因素对直接顶下沉量的影响，并绘制相应的端面顶板变形曲线，如图2所示。

由图2(a)可知，距煤壁5 m范围内，煤层埋深越大，直接顶下沉量越大，等额增大煤层埋深，直接顶下沉量越来越明显。由图2(b)可知，距煤壁5 m范围内，随着距离煤壁越来越远，直接顶下沉量不断增大；随着液压支架刚度的增大，直接顶下沉量减小程度有所减弱。由图2(c)可知，距煤壁5 m范围内，直接顶下沉量随着煤层地基系数的增大而不断减小，当煤层地基系数增大到一定程度，直接顶下沉量减小程度不

表1 顶板岩梁及煤层力学参数取值

再明显。由图2(d)可知，随着直接顶弹性模量的增大，顶板下沉变化不大，在距煤壁5 m范围内，顶板岩梁弹性模量越大，直接顶下沉量略微减小。

因此，根据工作面“支架-顶板-煤体”力学模型，煤层埋深越大、液压支架刚度及煤层弹性模量越小，工作面顶板变形越严重，加大了工作面端面冒顶及煤壁片帮的风险，顶板弹性模量对顶板变形影响较为有限。提高液压支架刚度，可以有效控制端面顶板变形及煤壁片帮现象，但液压支架刚度增加到一定程度时，对端面顶板变形的影响逐渐减弱。

图2 直接顶下沉量影响因素分析Fig.2 Analysis of influencing factors of immediate roof subsidence

2 端面顶板稳定性数值模拟

2.1 模型建立

采用PHASE 2D有限元软件建立二维数值模型，模型尺寸为长×宽=400 m×100 m的长方形，如图3所示。模型的地层结构从上到下依次为粉砂岩、细粉砂岩、泥岩、煤层、泥岩、粉砂岩、石灰岩。模型边界条件为左、右方向施加水平链杆约束，上部边界施加覆岩自重等效补偿应力，下部边界为垂直方向链杆约束。模型中总共包括1.812×104个单元和3.581 5×104个节点。模型中工作面推进200 m，左右两侧各留100 m煤柱，模型煤层厚度为3 m，煤层底部距离模型底端30 m。模拟研究不同煤层埋深及煤层弹性模量下的工作面顶板稳定性情况。建立6个模型方案，其中煤层埋深分别为200、250、300 m，煤层弹性模量分别为2 500、3 500、4 500 MPa。

模型采用霍克-布朗强度准则，各个岩层的煤岩体参数如表2所示。

2.2 数值模拟结果分析

2.2.1 煤层埋深

(1)工作面前方塑性区。模型工作面推进200 m，工作面前方塑性区如图4所示。不难看出，工作面前方塑性区呈现上端宽、下端窄的特征，当煤层埋深为200 m时，工作面前方塑性区最大宽度为2.885 m；当煤层埋深为250 m时，工作面前方塑性区宽度为3.392 m；当煤层埋深为300 m时，工作面前方塑性区宽度为3.762 m。由此可知，当煤层埋深从200 m增至250 m时，工作面前方塑性区增加0.51 m，增大了17.6%；当煤层埋深从250 m增至300 m时，工作面煤壁前方塑性区增加0.37 m，增大了10.9%。因此，煤层开采深度越大，工作面煤壁前方塑性区不断增大，进一步加大了煤壁片帮及端面冒顶的风险。

(2)直接顶下沉量。模型工作面推进200 m，工作面前后方直接顶下沉量如图5所示。由图5可知，在工作面前方，距离工作面越远，直接顶下沉量越小，并逐渐趋于稳定；在工作面后方，距离工作面越远，直接顶下沉量逐渐增大。当煤层埋深为200 m时，直接顶下沉量最大值为61 mm；当煤层埋深为250 m时，直接顶最大下沉量为78 mm；当煤层埋深为300 m时，直接顶最大下沉量96 mm。由此可知，煤层埋深从200 m增至250 m时，直接顶最大下沉量增加17 mm，增大了27.9%；煤层埋深从250 m增至300 m时，直接顶最大下沉量增加18 mm，增大了23.1%。因此，煤层开采深度越大，对工作面顶板变形下沉影响越明显，增大了工作面端面顶板破碎及冒落的概率。

(3)支承压力。模型工作面推进200 m，工作面前方支承压力分布如图6所示。由图6中可以看出，在工作面前方支承压力先快速增大，直至达到峰值，并逐渐减小至原岩应力水平。当煤层埋深为200 m时，工作面前方支承压力最大值为15.2 MPa；当煤层埋深为250 m时，工作面前方支承压力最大

表2 煤岩霍克-布朗强度参数

图3 数值模型Fig.3 Numerical model

图4 工作面前方塑性区云图Fig.4 Cloud image of plastic zone in front of working face

图5 工作面前后方直接顶下沉量Fig.5 Direct roof subsidence in front of and behind working face

图6 工作面前方支承压力Fig.6 Abutment pressure in front of working face

值为18.5 MPa；当煤层埋深300 m时，工作面前方支承压力最大值为23.0 MPa。由此可知，当煤层埋深从200 m增至250 m时，支承压力最大值增加3.3 MPa，增幅为21.7%；当煤层埋深从250 m增至300 m时，支承压力最大值增加3.8 MPa，增幅为19.8%。随着煤层开采深度的增加，工作面前方支承压力最大值不断增大。工作面前方5 m范围内的支承压力是工作面前方煤体发生变形、煤壁片帮的直接原因，煤壁片帮反过来又会加剧端面顶板不稳定，进而造成端面冒顶。

2.2.2 煤层弹性模量

(1)工作面前方塑性区。模型工作面推进200 m，工作面前方塑性区如图7所示。工作面前方塑性区主要分为完全塑性区(红色)、部分塑性区(黄绿色)、弹性区(蓝色)。当煤层弹性模量从2 500、3 500、4 500 MPa依次增大时，工作面前方完全塑性区最大宽度分别3.257、3.386、3.408 m，分别增加了12.9、15.1 cm，增幅分别为4.0%、4.6%。由此可知，工作面前方塑性区宽度随着煤层弹性模量的增大而略微增大。

图7 工作面前方塑性区云图Fig.7 Cloud image of plastic zone in front of working face

(2)直接顶下沉量。模型工作面推进200 m，工作面前后方直接顶下沉量如图8所示。在工作面前方10 m范围内，直接顶下沉量不断减小；在工作面煤壁处，直接顶下沉量为35 mm左右；在工作面后方10 m范围内，距离工作面越远，直接顶下沉量越大，达到55～60 mm。当煤层弹性模量从2 500、3 500、4 500 MPa依次增大时，直接顶下沉量最大值分别为57.8、56.6、55.8 mm，随着煤层弹性模量的增大，直接顶下沉量略微减小。由此可知，其他因素一定时，煤层弹性模量对端面顶板下沉影响不大。

图8 工作面前后方直接顶下沉量Fig.8 Direct roof subsidence in front of and behind working face

图9 工作面前方支承压力Fig.9 Abutment pressure in front of working face

(3)支承压力。模型工作面推进200 m，工作面前方支承压力如图9所示。不难看出，工作面前方支承压力随距煤壁距离先增大后减小，在工作面前方5 m范围内出现峰值，并逐渐恢复至原岩应力。当煤层弹性模量从2 500、3 500、4 500 MPa依次增大时，支承压力峰值分别为16.6、17.3、17.7 MPa，分别增大了0.7、0.4 MPa。由此可以看出，工作面支承压力峰值随着煤层弹性模量的增大而略微增大，但增幅相对有限，这与理论分析的结果相一致。

3 现场矿压监测

3.1 矿压监测内容

通过监测队伍现场跟班、地表及工作面实时监测等方法，对郭二庄矿2911工作面和运输巷进行矿压观测，分析了充填条件下液压支架工作阻力与推进时间的关系、巷道顶板位移、工作面超前段裂隙分布，获得了工作面及巷道矿压显现规律。观测结果可用于评价充填条件下液压支架支护效果及支架与围岩相互作用关系，可为充填条件下岩层控制及工作面顶板管理提供理论依据。

3.2 矿压监测结果

3.2.1 支架阻力

通过对支架进行一个月在线监测，收集监测数据，随机在上部、中部、下部抽取具有代表性的三台支架，即7#、26#、44#支架。绘制工作阻力与推进时间关系如图10所示。可以看出，在充填开采条件下，工作面液压支架压力整体较小，支架工作阻力主要集中于10～20 MPa。一方面由于采空区充填体分担了一部分顶板压力，造成支架承担荷载较小，另一方面也说明充填开采条件下顶板具有较强支承能力。此外，由于工作面进行了直接顶的松动爆破，减弱了直接顶自身的支承能力，导致上覆岩层一部分荷载由支架承担，因此工作面每推进10～15 m，支架阻力会有小幅度上升。

图10 充填支架阻力与推进时间关系Fig.10 Relationship between backfilling support resistance and face advance

3.2.2 回采巷道离层

通过现场收集三个月的顶板离层监测数据并绘制如图11所示。不难看出，在0～5 d，顶板离层值几乎没有变化；在6～25 d，顶板离层值稳定在20 mm左右；在26～55 d，顶板离层值随推进时间显著增大；在56～90 d，顶板离层值随推进时间近似线性增长，最大值为156 mm。

图11 运输巷顶板离层值Fig.11 Roof separation value of head gate

图12 距工作面不同距离煤体内部裂隙情况Fig.12 Internal fractures of coal body at different distances from working face

3.2.3 钻孔窥视仪监测结果

工作面前方不同范围内煤体裂隙情况如图12所示。在工作面前方10 m处，煤体裂隙较发育，但破碎程度不是很明显；在工作面前方20 m处，煤体裂隙发育情况有所减弱；在工作面前方30、40 m处，煤体中未发现明显裂隙。总体而言，工作面前方煤体内部无明显裂隙，这主要是由于充填体分担了部分上覆岩荷载，从而降低了顶板下沉，一方面保持了工作面前方煤体的完整性，另一方面也说明工作面矿压显现较缓和，端面稳定性较好。

4 结论

(1)根据弹性地基梁理论建立了工作面“支架-顶板-煤体”力学模型，求解出了端面顶板挠曲线方程，采用控制变量法研究了端面顶板下沉的变化规律。开采深度越大、液压支架刚度及煤体弹性模量越小，端面直接顶下沉量越大，端面顶板破碎风险增大；直接顶弹性模量的变化对顶板下沉的影响较为有限。

(2)采用PHASE 2D有限元软件研究了工作面及端面顶板稳定性。煤层埋深从200 m增加至250、300 m时，工作面顶板变形愈加严重，工作面前方不远处出现应力集中，导致端面冒顶及煤壁片帮风险提升。煤层弹性模量从2 500 MPa增加至3 500、4 500 MPa时，工作面区域直接顶下沉及工作面前方支承压力变化并不明显。

(3)通过对郭二庄矿2911充填工作面和运输巷进行矿压观测，发现充填条件下支架阻力较低，回采巷道离层值较小，工作面前方煤体裂隙无明显发育，说明工作面及巷道矿压显现不明显，因此工作面区域顶板下沉得到了较好的控制，充填开采工作面能够有效预防端面冒顶。