随机环境中带迁入加权分枝过程的收敛性

徐乐群,彭点江,吴金华

(长沙理工大学 数学与统计学院,湖南 长沙,410114)

加权分枝过程是分枝过程一种较新较热的推广,已经取得许多基础性的研究结果,例如,Rosler[1]引入加权分枝过程给出了规范化过程(Wn)几乎必然收敛的条件;Rosler等[2]研究了稳定加权分枝过程,得到Wn收敛到一个随机变量W,并给出了其收敛速率;Kuhlbusch[3]首次将加权分枝过程推广到随机环境,给出了随机环境中加权分枝过程的定义,证明了Wn的收敛性以及极限随机变量W非退化的等价条件;Li等[4]给出了Mandelbrot鞅极限变量的矩和调和矩的存在条件;Li等[5]在随机环境中带迁入的上临界分枝过程中证明了下鞅(Wn)的收敛速率;彭点江等[6]在给定环境下证明了规范化序列(Wn)pL-收敛的4个判别准则,并证明当环境立同分布时,4个判别准则等价;关于其他模型的极限性质,可参考文献[6]、[7]以及其相关文献。在随机环境中加权分枝过程的基础上引入迁入分枝过程是一个很自然的推广,本文在文献[3]以及文献[8]的研究基础上,给出了随机环境中带迁入加权分枝过程的模型定义,并给出了(Wn)a.s.收敛性的证明。

1 模型的引入

本节引入随机环境中带迁入的加权分枝过程模型的定义,为了对该模型进行通俗的描述:认为所有系统内粒子都起源于祖先粒子O,并假设所有迁入粒子都是祖先粒子o0的后代。与分枝过程一样,用Ulam-Harris树的元素来标记下一代的每个粒子,对它的谱系进行编码,为了形成完整的族谱树,在以后每一代中都引入1个虚拟粒子,分别记为 (o0) ,(o1),…和(on):=(on-1,o),n∈N ,并且认为第n+1代的迁入粒子Yn+1是(on)的直接后代粒子,每个虚拟粒子的权重均为1,且虚拟粒子权重不记入每一代的总权重。分别用向量序列u= (u1,···,un) 和v=(o1,… ,on-1,vn)来标记系统内粒子和迁入部分粒子的每1个后代(粒子一旦迁入后便属于系统粒子)。对于系统内粒子,用O表示系统内第0代粒子,权重XO= 1 ;经过1个单位时间产生NO个粒子标记为(O,1),(O,2)… ,(O,NO);用AO1,AO2,… ,AONO表示从母体粒子获得的权重,用XO,1,XO,2,… ,XO,NO表示粒子所携带的权重。若其中O省略不写,则可简记为Ai,Xi,i∈ (1,N),再经过n个单位时间,第n代粒子|u|=n产生Nu个粒子标记为(u,1),… ,(u,Nu);从母体粒子获得权重分别记为Au1,Au2,… ,AuNu,粒子所携带的权重分别为Xu1,Xu2,… ,XuNu,且Xui=XuAui,i∈ (1,Nu)。同样地,对于迁入的粒子,用o表示第0代迁入的虚拟粒子,权重Xo=1,并假设所有虚拟粒子权重为1,即X(on)=1;经过1个单位时间迁入1个虚拟粒子(o1)和Y1个正常粒子标记为 (o,1 ),(o,2),… ,(o,Y1) ,用Ao1,Ao2,… ,AoY1表示从母体粒子获得的权重,用Xo1,Xo2,… ,XoY1表示粒子所携带的权重;迁入以后,除了虚拟粒子,其它粒子均同系统内粒子有同样的繁衍机制。经过n个单位时间,第n代迁入1个虚拟粒子(on)和Yn个正常粒子标记为 (on-1,1),… ,(on-1,Yn);从母体粒子获得权重分别为,粒子所携带的权重分别为,(其中|v|=n),粒子数记为Nv=Yn。如果令|w|=n且w∈U,则第n代总粒子数可记为Nw。

令平稳遍历序列ξ=(ξ0,ξ1,…)是取值于空间Ω上的环境序列。设每1个ξn在N×R+×R+×…上对应2个概率分布:一个是子代分布p(ξn) =Pξ{Nu=k} = {pk(ξn):k≥ 0} ,其中另一个是迁入粒子的数量分布,其中,其中 N ={0,1,…},R+= [0,∞)。对于2个序列u和v,通常用uv=(u,v)表示u和v并列得到的序列,为了方便,令uO =Ou=u,vo=ov=v。因此模型定义如下。

定义1称（Zn）n≥0为随机环境ξ中带迁入（Yn）n≥0的加权分枝过程,如果

其中,Zn表示第n代所有粒子的总权重;Yn表示第n代迁入系统的粒子数;u=u1…un∈Nn表示系统内粒子所带的权重;表示迁入粒子所带的权重;Aui表示粒子u的第i个后代在随机环境中从母体获得的权重;|u|=n表示第u代粒子向量的长度(|O|=0);权重树。

在给定环境ξ下,考虑σ-代数Fn:=σ(ξ,Z0,Z1,… ,Zn),F0:=σ(ξ) 。记Eξ为条件期望,对应的条件概率为Pξ,其中,总期望记作E,总概率记作P。为了简单起见,首先给出本文将要使用的一些符号。设

在本文中始终假设考虑的情况。类似于带迁入的Galton-Watson过程[9]和随机环境中的分枝过程[10],很自然地考虑Zn的正规化因子,考虑规范化过程

感兴趣的是 （Wn）的a.s.收敛性。

2 主要结果及其证明