注重方法渗透 落实素养提升——以《二次函数》章起始课为例*

魏玉华 (江苏省苏州高新区实验初级中学 215011)

章起始课是章节的第一课,作为一章之首，需要执教者在系统思维和整体观念的引领下，对整章内容做一个提纲挈领的设计，使学生对后续一章的学习有一个全局认识．2021年5月，笔者有幸参加了苏州市数学优质课评比活动，比赛课题为苏科版数学九年级下册《5．1二次函数》章起始课．笔者经历了认真研读教材、精心设计教学、专家听课修改、正式参加比赛、赛后及时反思等过程，对章起始课，尤其是《二次函数》章起始课，有了更清晰、深入的认识和理解．

1 章起始课的研究现状

在实际教学中，章起始课的实际开展情况和研究现状并不乐观．2017年江苏省数学优质课评比中有过《分式》的章起始课，在平时的示范课、随堂课中则很少涉及章起始课．笔者在各类视频网站搜索《二次函数》视频课，很少涉及包含章头图内容的章起始课视频．在中国知网、万方数据库等网站上搜索“章起始课”“章头图”“章引言”等关键词，仅找到30余篇与章起始课相关的文章，其中有9篇为高中数学章起始课的研究，11篇与初中数学章起始课相关，涉及到的课题较少，主要为一元二次方程、分式、反比例函数、平面直角坐标系等．其余研究重在章起始课的教学功能、教育属性、心理学意义等．

2 章起始课的研究价值

章起始课与传统第一课的区别在于对章头图和章引言的运用以及对一章的引领和示范．章头图和引言有以下教学功能[1]：了解学习背景，增强学习兴趣；优化学生认知结构，布局知识网络；理解学习方法，养成学习思路与学习能力；应用知识解答实际问题，学有所用；对学生进行德育教育，提升个人修养和民族荣誉感；认识世界和发展之窗，与世界接轨．可见章起始课对学生的知识理解、情感态度、能力培养、思维提升等方面都有重要作用．而教师在研读教材章头图和章引言的过程中，对教材编者的意图产生全面的理解和认识，这种蕴含在章头图和章引言中的编者意图无形中指引着教学设计的方向和思路．

3 章起始课的课例分析

《5．1二次函数》是在学生已经有了函数、一次函数、反比例函数相关知识和研究经验的基础上展开的．通过类比展开对二次函数相关知识的研究能加深学生对函数研究方法的认识，为后续研究二次函数的图象、性质和应用奠定基础，也为后续研究其他函数提供范式．

3.1 情境创设，导入新知

展示从苏州高新区实验初级中学到常熟外国语初级中学的百度地图搜索结果，提出问题：

问题1从苏州高新区实验初级中学前往常熟市外国语初级中学，在西环路某一段上，汽车以80 km/h 的速度匀速行驶．随着时间t(h)的变化，汽车行驶的路程s(km)怎样变化？

问题2在苏虞张公路的某一段上，汽车以速度v(km/h)行驶了3 km．随着速度v(km/h)的变化，汽车在该段所用时间t(h)怎样变化？

问题3途中有一段下坡路，汽车在下坡时速度为v(km/h)，在坡面上行驶的路程为s(km)，随着时间t(h)的变化，汽车的速度v(km/h)怎样变化？

追问1 汽车在下坡时行驶的路程s(km)随着时间t(h)的变化会怎样变化？

数学实验 播放小车沿斜面下滑的视频．

追问2 观察表格，汽车在下坡时行驶的路程s(km)与时间t(h)的关系是之前学习的一次函数或者反比例函数吗？画出图象，观察有什么特征．

时间t/s0.10.20.30.40.5…路程s/cm0.20.81.83.25.0…

追问3 回忆以往研究函数的经验，如何研究一个函数？

设计意图通过问题1和2回忆函数、一次函数、反比例函数的概念，为后续类比学习二次函数的概念做铺垫．在第3个下坡情境中，通过问题串的设计以及观看数学实验的视频，让学生直观感受下坡时速度越来越快，通过数据的展示、学生动手画图的过程，体会这是一个函数，但不是熟悉的函数．

3.2 类比学习，建构新知

展示校园一角的图片(图2)：

图2

1．水滴激起的波纹不断向外扩展，圆的面积S与半径r之间的函数关系为．

2．学校想再建一个周长为20 m的矩形水池，水池的面积S(m2)与一边长x(m)之间的函数关系为．

3．如图3，外侧大矩形ABCD长10 m，宽 3 m，水池的边缘是等宽的，宽度均为xm，则内部小矩形EFGH的面积y(m2)与x之间的函数关系为．

图3

问题S=πr2，S=-x2+10x，y=4x2-26x+30三个表达式有什么共同特征？

小组讨论：类比一次函数的学习经验，思考二次函数的一般式及自变量取值范围．

追问1 上述所得的三个函数关系式中二次项系数、一次项系数、常数项分别是什么？

追问2 上述所得的三个函数关系式中自变量的取值范围分别是什么？

设计意图将刚开始的行程情境进一步延伸至学生熟悉的校园：矩形水池．通过三个问题串的设计，引导学生感受两个变量之间的关系，并观察归纳共同特征，引出二次函数．

3.3 数学运用，巩固新知

小组活动每人写出一个二次函数，并请你的同伴说出二次项系数、一次项系数和常数项．

例题如图4，在长300 m、宽90 m的矩形广场ABCD内修建等宽的十字形道路，设道路宽为x(m)，绿地面积为y(m2)．写出两个变量之间的函数关系表达式及自变量的取值范围．

图4

设计意图该环节具有一定的开放性和趣味性，通过设置有针对性的活动，在应用中进一步强化概念的认识，教师适时举出正例与反例，让学生辨析，进一步明确概念的内涵和外延．

3.4 拓展提升，深化新知

如图5，用长50 m的护栏围成一块一侧靠墙的矩形花园，墙的长度是20 m．请利用本节课所学，提出一个问题并解决．

图5

设计意图此环节延续矩形背景，条件和问题都具有一定的开放性．培养学生分析问题、提出问题、解决问题的能力．

4 章起始课教学策略的思考

4.1 创设真实情境，顺畅教学流程

对于章头图的作用，不难定位．如何呈现使其发挥作用，则是备课时遇到的难点．在章头图中有一个小球沿斜面下滑的实验，具体设计时遇到了两个问题：首先，实验数据对精确度要求很高，普通的工具在测量时间和距离时有误差；其次，在引入时直接呈现实验有些突兀，且与后续内容的衔接不够顺畅自然．

对于第一个问题，笔者想到了物理实验中的打点计时器，它每隔0．02秒打一次点，小车拖动纸带沿斜面下滑，经过打点计时器，会在纸带上打下一系列点，这些点既记录了行驶的时间，又记录

了对应的距离．对于第二个问题，以笔者驾车从自己学校到参赛学校这一真实情境开场，设置三个小场景，并将第三个小场景依次抽象成实验场景、数学场景．在这一系列思考与转化的过程中，让学生体会数学源于生活，数学实验是科学研究的重要方法．

4.2 精心设计问题，引发深度思考

本节课情境贯穿始终，通过层层递进的问题串的设计，利用同一背景问题的不断变式与追问将本节内容顺畅、自然地衔接起来．问题从简单到复杂，思维由低阶向高阶．情境引入环节是学生熟悉的行程问题，在三个问题的解决中完成知识回顾与新课引出．接着将行程问题延伸至校园一角，选取边缘等宽的矩形水池，通过对水滴落入池中圆的面积与半径之间的函数关系，周长固定的矩形的面积与一边长的函数关系，双矩形问题里中间小矩形面积与边缘宽之间的函数关系进行探究，得到三个具体的二次函数表达式，通过观察、归纳等活动得出二次函数的概念及相关概念．在例题巩固环节，继续以矩形为背景，进行变式．在拓展延伸环节，依然是依托矩形背景，选取一边靠墙的矩形花园，让学生设置条件，提出问题，并尝试解决．

尤其在拓展延伸环节，学生的思维是开放的、发散的，同一问题的解决方式也是多样的．如很多学生提出矩形面积如何表示的问题．此处有两种设未知数的方法，可以设AB,也可以设BC．两种方式对应的二次函数表达式不同，自变量的取值范围也不一样，但本质却是相同的，都表示了这个矩形的面积．还有的学生会进一步提出面积何时最大的问题，或者面积何时为某个定值，或者面积何时是某个具体范围，那么此时二次函数问题又转化为方程和不等式的问题．自然地将接下来要研究的问题提了出来，完善本章的知识结构图．

4.3 注重方法渗透，落实素养提升

章起始课具有统领全章的重要作用，对于二次函数的学习，学生是有学习基础的．因此，本节课笔者采用探究式学习，启发式教学，突出学生的“探”和教师的“导”．通过熟悉的情境、层层递进的问题设计激发学生求知欲，借助多媒体、实验演示、小组活动，让学生在教师的引导下参与探究活动，并让学生充分经历类比过程，切身体验和感悟，又从理性的角度进行分析．在回顾反思环节，引导学生从学了什么？为什么学？怎么学？三个层面进行概括和归纳，完善认知结构(图6)，提高学生推理、归纳、表达的能力，真正落实核心素养的提升．

图6

以情境之土，育问题之花，结素养之果.在实际教学中，教师要善于挖掘身边的真实情境，精心设计触及数学本质的优质问题，眼中既有树木，更有森林，在课堂教学中落实学生核心素养的提升和关键能力的发展.