反思题目通法 突出变换引领——2021年南通市中考试题第25题赏析*

张 俊 (山东省淄博市周村区城北中学 255300)

时翠萍 (山东省淄博市周村区第二中学 255300)

笔者近来研究2021年南通市中考试题第25题时，发现该题以最基本的图形变换“轴对称”为背景，渐次生长，思路开阔，是一道值得回味的题目，特撰文与大家交流．

1 原题呈现

如图1，正方形ABCD中，点E在边AD上(不与端点A，D重合)，点A关于直线BE的对称点为点F，连结CF，设∠ABE=α．

图1

(1)求∠BCF的大小(用含α的式子表示)；

(2)过点C作CG⊥AF，垂足为G，连结DG．判断DG与CF的位置关系，并说明理由；

(3)将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△CBH，点E的对应点为点H，连结BF，HF．当△BFH为等腰三角形时，求sinα的值．

2 思路突破

2.1 基于对称变换，构造对称图形

图2

2.2 导角突破难点，多维角度探寻

如图2，对于第(2)问，学生可以直观判断出DG与CF的位置关系，但如果要说明理由，对大多数学生来说有一定的难度，此时题目已经进入宽进难出的环节．那么突破的方向在哪里呢？在此问中，有一个“知识坎”很多学生未能逾越，导致问题探究无法进行到下一步.在这里我们有必要细细品味一下：在图2中，很多学生凭直观猜测出了△CGF是等腰直角三角形，但一直无法说明∠AFC=135°(这里考查了学生利用带有字母的角的导角能力)．如图3，基于前面的分析我们可以得到∠AFB=90°-α，∠BFC=∠BCF=45°+α，所以可得∠AFC=∠AFB+∠BFC=90°-α+45°+α=135°．从而可以看到，尽管点F的位置是变化的，但∠AFC始终是一个定角．那该问题的本质在哪里？因为BA=BF=BC，所以点F在以点B为圆心、BA为半径的圆上运动，根据定弦对定角，可知∠AFC始终为135°．解决了这一问题，就为后面的探究做好了铺垫．

图3

图4 图5

思路3 如图6，从点共圆的角度，连结对角线AC.因为∠ADC=∠AGC=90°，所以点A，D，G，C在以AC中点O为圆心、OA为半径的圆上．在同圆中，可得∠DGA=∠ACD=45°，即∠CFG=∠DGA=45°，故DG∥CF．

图6 图7

思路4 如图7，从构造全等三角形角度来思考，在AG上截取AH=CG.因为∠AMD=∠CMG，∠ADM=∠CGM=90°，所以∠DAH=∠DCG．又有AD=CD，所以△DAH≌△DCG，可得∠ADH=∠CDG，HD=GD．因为∠ADH+∠HDM=90°，所以∠HDG=90°，此时△HDG是等腰直角三角形，故∠DGH=45°，即∠CFG=∠DGH=45°，从而DG∥CF．

2.3 始于分类讨论，终于转化分析

第(3)问以旋转为背景，重点考查了分类讨论的思想．本题的难度还是在分类后的验证上，对学生的说理能力要求较高．如图8，对于△BFH为等腰三角形，我们考虑：①当BF=BH时，由于△BAE≌△BCH，所以BH=BE，又因为BA=BF，这时出现了BE=BA，在Rt△BAE中是不可能的，显然这种情况不存在．②当BF=HF时，∠FBH=∠FHB=90°-α，可得∠BFH=2α，由于∠ABF=2α，所以此时AB∥FH，即点F与点C要重合，则需要点E运动到点D，与题意不相符，因此这种情况也不存在．相比第①种情况的验证，第②种情况的验证要求学生进行适当的推理说明，综合性较强．结合上述分析，只有一种可能是BH=FH，此时解决问题的方向又在哪里？

图8

3 深入思考

图9

第(2)问的思路2是基于“8”字相似的成对存在性，如图5，若△ADM∽△CGM，则必有△DMG∽△AMC，本身构成这样相似的点D，G，A，C与思路3的四点共圆是一致的．

第(3)问的第二种思路如同神来之笔，连结EC，构造的其实是一对具有对称性的全等三角形，△BFH≌△BCE，并且关于直线BN成轴对称(图10)．基于图形的对称，联想到全等，这其实就是一种发现对称美的过程．

图10 图11

基于本题图形的变化，我们考虑再进行一下变式的生长：原题点E在线段AD上运动，我们让点E在射线AD上运动，其他条件保持不变，此时仍然可以得到DG∥CF(图11)．

图12

当然本题还有其他方法，这里不再赘述．现在我们改变对称点，继续思考一下．如图12，作点C关于BE的对称点F，连结BF，作AG⊥FC，垂足为G，连结DG，求证：DG∥AF．

这里通过推导角度仍然可得△AGF为等腰直角三角形，连结AC，此时△AGF与△ADC是相似的等腰三角形，由旋转相似的成对性，还可以得出△DAG∽△CAF，进而问题可以突破．

我们让该问题在此基础上继续生长．如图13，正方形ABCD中，点E在边AD上(不与端点A，D重合)，点C关于直线BE的对称点为点F，连结CF，BF，同时连结FA，BE并分别延长交于点G，连结DG，设∠ABE=α．

(1)求∠BGF的大小；

(2)猜想DG与AF之间的数量关系，并说明理由．

图13 图14

4 教学反思

4.1 重视基本图形渗透，强化识图能力

基本图形是复杂图形组成的基本元素，主要包括教材上的基本事实和定理及其推论，以及在平时教学中获得的一些典型图形．学生之所以解题时没有思路，关键就是没有从复杂的图形里把基本图形抽取出来．正如2021南通市中考第25题，其中蕴含的基本图形非常多，例如旋转相似的成对存在性，以及“8”字型相似的成对性、四点共圆等，如果学生没有较强的识图能力，是很难突破问题的．因此，教师在平时的教学中要为学生及时总结和提炼一些基本图形，对其应用条件和基本结论要熟悉．这里要特别注意一点，千万不能让学生死记，而要引导学生从已知条件中挖掘关键条件，找到问题的核心，回归到书本上最基本的定义和定理，这样才能真正实现基本图形与数学概念的有效结合．只有这样潜移默化地不断渗透，学生才能逐步形成基本图形分析观念，在面对几何问题时，主动寻找或构造头脑中的基本图形，运用其来解决问题．

4.2 突出几何变换引领，积累构图经验

初中的图形变换分为两种，一种是全等变换，主要包含平移、旋转、轴对称，另一种是相似变换，指的是相似与位似，新课标也特别提倡让图形运动起来，让学生在运动中发现不变．然而实际情况是，学生仍然习惯于静态地去思考问题，这导致他们不能深入问题的本质．比如南通这道中考题，以正方形作为背景，正方形本身就是轴对称和中心对称图形，从点A与点F关于直线BE对称入手，引导学生构造对称图形，然后通过构造旋转相似这一变换作为解决问题的主线，继续生长，第(3)问基于图形的旋转分类思考，最终呈现了一对对称性的全等三角形．可以说本题始于轴对称，发展于旋转，最终止于轴对称，整个解答的过程都突出了几何变换的统领．因此，在平时的教学中，教师要多引导学生从几何变换的视角来分析几何图形，通过这种运动的观点构造出准确的图形，这样学生就会站在更高的高度来认识几何图形．长此以往，可以让学生养成从几何变换的视角来审视几何问题的习惯，促进学生数学素养和解题能力的提升．