作业设计：提升线上教学质量的有效抓手*

范世祥 (江苏省太仓高级中学 215411)

2022年上半年，鉴于严峻复杂的新冠疫情防控形势，我市复学复课工作按下“暂停键”．因为有了2020年线上教学的经验积累，本次线上教学组织有序，师生在技术上均能熟练操作，但对线上教学的积极探索、创新、实践从未停止．聚焦从“新鲜感”向“新常态”转变，从“教师中心”向“学生中心”转变，从满堂灌的“单声道”向互动式的“双声道”转变，从“教学设计”向“作业设计”转变，一线教师一直在实践中思考．本文以一节高二数学导数复习课为例，就如何优化作业设计、提升线上教学质量，谈谈笔者的思考，与大家交流．

1 瞻前顾后的昨天作业

作业1 (1)求曲线f(x)=ex在x=0处的切线方程，并作出相应的图象；

(2)求曲线f(x)=lnx在x=1处的切线方程，并作出相应的图象；

(3)求曲线f(x)=sinx在x=0处的切线方程，并作出相应的图象；

(4)过原点作f(x)=ex的切线，求切线方程，并作出相应的图象；

(5)过原点作f(x)=lnx的切线，求切线方程，并作出相应的图象．

作业2 给定函数f(x)=ex-e-x．

(1)请研究该函数的性质与图象；

(2)求该函数图象在x=0处的切线方程．

(1)请研究该函数的性质与图象；

(2)求该函数图象在x=0处的切线方程．

设计意图基于线上教学的特殊性，我们在作业布置上尽可能少而精，以原创和改编题为主，问题设计更具探究性，让不同的学生可以有自由发挥的空间．本节课是高二导数基础知识教学结束后安排的第一节导数复习课，此项作业设计的教学目标是：一方面巩固前面所学基础知识和基本技能；另一方面，通过发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，从中积累基本活动经验，感悟导数应用的基本思想，提升综合运用的能力．作业的设计更加关注大单元观念，本章研究的数学对象是函数，所以上述作业设计中既有常见的基本初等函数，又有略微复杂的函数；研究的内容包括高一阶段学过的函数的性质与图象以及高二阶段导数的几何意义；研究方法在高一函数方法的基础上还增加了导数作为工具；研究路径体现了由数到形、再由形到数的思考历程，深刻体现数形结合的思想方法．所以该项作业就是注重让学生经历以“一般观念”为引导发现规律、获得猜想，并通过数学的推理、论证来证明结论的过程，以提升逻辑推理、数学运算等素养．

2 融会贯通的今天课堂

·作业1讲评

借助常见的基本初等函数，复习回顾切线的计算方法，引导学生作出函数图象，进而发现曲线与切线的位置关系，再由形到数，提炼出不等关系(如ex≥1+x).接着带领学生分析问题，从图象直观到代数论证，引导学生按照波利亚的“解题表”进行问题分析与解决．

·作业2讲评

第一环节：根据高一所学的基础知识不难发现该函数是单调递增的奇函数，可以作出大致图象，同时求出曲线在x=0处的切线方程为y=2x，进一步根据图形提炼出以下两个不等关系：(1)当x>0时，ex-e-x>2x；(2)当x<0时，ex-e-x<2x．

第二环节：对上述两个不等关系进行严格的代数论证，具体方法同作业1．

·作业3讲评

教是为了不教，当带领学生评讲了作业2之后，就可以放手让学生自主探究作业3.这时他们的上课兴趣自然提升很多，而且也主动参与进来，整个作业3的讲评经历了“学生先行——交流在中——教师总结”的过程，学生对自己收获的这些不等式(表1)倍感亲切，既体验了成功的乐趣，又深度理解了此类指数与对数型的不等关系．

表1

设计意图学生做作业基本都是“就题写题”，这三道作业题的解答并不困难，教师“就汤下面”的评析拓展才是本节课的重点，尤其是带领学生一起研究这类问题，获取研究这类问题的一般套路．研究的内容、过程和方法是一脉相承的，正所谓“研究的函数在变，研究套路不变，思想方法不变”．本节课我们以“研究一个数学对象的基本套路”为指导设计和展开课堂教学，促使学生通过一个个数学对象的研究，体悟具有普适性的数学思想和方法，逐步掌握解决数学问题的那个“相似的方法”，进而逐步形成“数学的思维方式”．在这样的过程中，数学学科核心素养就潜移默化、润物无声地得到落实了．

3 意犹未尽的今天作业

作业(2) 请从作业(1)中任选一个函数，模仿本节课的研究路径，从函数的图象、性质、切线、不等式角度对其进行研究，写出一份研究的微报告.

思考(1) 当x>0时，不等式ex-e-x-ax>0恒成立，求a的取值范围；

思考(2) 若函数f(x)=ex-e-x-ax在(0,+∞)上存在零点，求a的取值范围．

设计意图作业(1)是从基本初等函数出发，通过乘法和除法构造出形式各异的函数，让学生画函数图象是函数学习的重要环节；作业(2)是巩固今天的教学内容，开放的试题便于不同层次的学生有更好的自主探究空间.思考题是将作业2讲评中不等式的系数2用参数a隐藏，设计出恒成立问题和零点问题，自然过渡到后续的导数复习内容，引发学生课后的自主探究学习，实现环环相扣的教学流程．

4 作业设计的实践思考

4.1 注重知识融合

作业即教学巩固，作业的功能之一就是巩固与评价学生当堂所学内容的掌握程度，所以作业设计中每一道题都应该有明确的指向，作业题应该与本节课的知识点或方法技能有对应关系，尽量做到不重复考查，以此减轻学生的作业负担．另外，设计的内容尽可能要“瞻前顾后”，设计的作业可以自然过渡到下一课时，如学习二项分布之后，为了更好地衔接下一节课时“超几何分布”，可以设计如下作业：

示例1已知10件产品中有2件次品，分别选择下列抽取方式进行试验．设抽取的3件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列．

方式(1)：逐个有放回地抽取3件产品；

方式(2)：逐个不放回地抽取3件产品；

方式(3)：一次性抽取3件产品．

通过设计三种不同的抽取方式，对比深化理解概率分布类型，方式(1)是二项分布，方式(2)和方式(3)的分布列应该是相同的，方式(3)的另一个意图是自然过渡到下一课时“超几何分布”，实现作业与新授课的无缝衔接，作业即学习延伸．

类似这样的案例有很多．再如，在讲授“独立性检验”之前可以布置下面这道代数式的恒等变形题作为课前作业，以便为课堂中推导卡方公式做好铺垫．

4.2 丰富作业形式

为了保护学生的视力，线上教学时间缩短，这就需要将更多的教学内容通过作业的形式延伸至课外.提升线上教学质量的重要一环就是提升作业设计的质量，而此与教师命制试题的能力有关，这就需要教师花心思设计高质量的试题，试题的形式尽可能多样，尽可能改编或原创，一方面提高学生课后做题的兴趣，另一方面原创或改编的试题避免学生使用软件搜题．

示例3写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)=．

①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0, +∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．

示例4一个盒子中放有大小相同的4个黄球和2个白球，其中4个黄球标号为1～4，2个白球标号为5和6．

规则1：每次从盒中摸出一球，记下号码后放回，共摸球两次，根据所得两数和的情况进行设奖．

规则2：每次从盒中摸出一球，记下颜色后放回，共摸球两次，根据所得白球数的情况进行设奖．

规则3：若摸出1个黄球得1分，摸出1个白球得3分，从盒中任意摸出三个球，根据得分和的情况进行设奖．

(1)探求上述三个规则中相关随机变量的分布列，并给出设奖方案；

(2)自主设计新的摸球游戏规则，并求相关随机变量的分布列，小组交流．

示例5我们知道，排列组合的内容都源自生活，对于排列组合数的相关性质，若能寻根于生活背景，构造一个实际问题模型加以解释，将有助于我们对问题的深入理解．先阅读下面组合数性质(1)的生活化解释，然后尝试给出(2)(3)(4)的生活化解释，期待同学们的精彩故事．

生活化解释 原式左端可看成一个班有m个同学，从中选出n个同学组成兴趣小组，在选出的n个同学中，p个同学参加数学兴趣小组，余下的n-p个同学参加物理兴趣小组的选法数．原式右端可看成直接在m个同学中选出p个同学参加数学兴趣小组，在余下的m-p个同学中选出n-p个同学参加物理兴趣小组的选法数．显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立．

以上三个示例中作业题命制的形式多样，有举例题、设计题，还有讲故事题.注重作业设计是提升教师命题能力的有效途径，而且作业的设计不必拘泥于考试的命题，可以更加自由、开放，给了我们一线教师更为广阔的发挥空间．命制一系列精彩的、有价值的、质量高的作业应是我们每位教师的日常追求．

作业设计即教研提升.试题命制是一次由内而外的工作，编题的过程不仅仅是解题的过程，而且是将解题引向深入的研究过程．因此，编拟数学试题需要深厚的数学功底和良好的思维品质，这就需要教师不断地学习、不断地提升自身的数学素养，在平时多注意身边的各种事物和细节，养成随时记录的习惯和批判的思维意识．

4.3 善用激励评价

如果说做作业是学生的责任，那么设计、批改、分析和讲评作业就是教师的义务，再好的作业设计若离开了及时有效的评价其价值将会大打折扣．一方面，当我们带着明晰的设计意图批改作业时，就会发现学生的解答是否与我们的预设一致、是否出现我们意想不到的答案；巩固性作业反馈了学生对我们所学内容的掌握程度，拓展性作业反馈了学生对后续内容的了解程度.据此，在分析和讲评作业时就会更具针对性．另一方面，为了在进行作业讲评的同时开展新课教学，我们在设计作业时尽可能要有“瞻前顾后”的作业，以便我们在讲评作业过程中无缝衔接到新课教学，达到润物细无声的境界．最后，还要做好典型作业解答的收集与展示，既有典型错误的友情提醒，又有精彩想法的思维碰撞，这样方能激励每位学生认真对待自己的作业、认真学习别人的作业，以作业贯穿整个学习过程，实现真正意义上的自主学习．

5 结束语

新冠肺炎疫情的爆发，冲击了学校教育的传统教学方式，提升了在线教育教学的责任与功能，并促使人们重新认识“作业设计”面临的新需求、新要求和新思考．当前，疫情防控进入常态化阶段，居家学习期间形成的有关作业设计的良好经验，值得在后疫情时期继续完善提升，并以此推动构建作业管理的长效机制，形成“教学—作业—评价”的系统化设计．