探索有理数教学基本内容，帮助学生筑牢运算基础

■丁锦荣

曹才翰先生在《曹才翰数学教育文选》中指出：“应把有理数一章的基础知识的教学、基本技能的价值提高到代数教学的首要地位。”结合苏科版教材七年级有理数一章的教学现状，笔者认为这句话有非常现实的指导意义。

一、有理数教学基本内容

1.有理数的基本概念。

在数的概念发展史上，学生往往对新数系有个适应和接纳的过程。虽然学生可以掌握个别概念，但对于概念间的内在联系却不易明确。比如，教材上引入有理数的概念，通过生活情境让学生知道引入负数的必要性，然后将所学过的一些数（如正整数、自然数、分数、负数、小数）罗列出来，最后划分为整数和分数，并将其统称为有理数。不少教师顺势将有理数进行分类板书，让学生记录、整理课堂笔记，然后跟进一些有理数的归类识别，学生似乎也能较好地掌握（识别数的类型，解题不出错）。然而，作为教师，理解还不能止于这样的认识程度，在相关习题练习、课后反思和有理数单元回顾时，教师有必要向学生讲授有理数更本质的定义，即“形如（其中b为整数，a为正整数）的数称为有理数”。这样是基于旧概念（学生已有整数概念）来定义新概念（定义有理数，即“可比数”），数系就是这样不断扩充而来的。

2.数轴。

数轴是数形结合的重要工具，是学生进入初中后引入的第一个重要工具。紧随有理数概念之后就介绍数轴，主要是为了“数形结合”，让学生形象直观地学习和定义相反数，并比较有理数的大小。教师对于数轴的理解不能止步于“一个定义、三个要素、大量练习”的层次，可以在例题教学时，介绍数轴在数形结合上的作用。数轴是一个具有发展前途的数学工具，比如两根数轴垂直相交，且原点重合时，便“升级”得到了平面直角坐标系，而平面直角坐标系则可以用来研究函数图像。

3.相反数及倒数。

教材上相反数的概念非常好懂，然而这个概念并没有深刻揭示相反数的本质。在相反数的复习阶段，教师可以向学生介绍相反数的另一种定义方式，即若数a、b的和为零，则称a、b互为相反数。相应地，倒数也可以这样定义，若a、b的积为1，则称a、b互为倒数。这样的定义方式可以在有理数范围内得到体现，比如，在后续学习和探究有理数运算法则时，就可借助相反数的定义进行推理，包括有些解题依据，也可提示学生回到相反数的定义去理解。

二、有理数运算法则的教学研究

1.有理数加、减法运算法则的教学研究。

笔者认为，有理数加法法则的教学研究要重视加法法则从何而来，两个有理数相加的情况也要分类研究。小学阶段的运算类型可“一带而过”；初中阶段引入负数之后的运算类型，则需借助相反数的性质（互为相反数的两个数相加为0）进行推理、归纳运算法则。最后，教师进行加法法则的小结梳理，借此过程让学生知道新知从何而来，又示以学生运算思维，让学生知道面对新的运算情况，可以通过一些变形、转化实现运算。

有理数减法法则，则可借助加、减运算互为逆运算进行转化，将有理数减法转化为“减去一个数，等于加上这个数的相反数”实现加、减的统一运算。

2.有理数乘、除运算法则的教学研究。

有理数乘法运算法则的教学引入主要难点在于“负负得正”。这个教学难点在很多教材上的引入方式都不一样，也有很多数学教育学者给出了各自的教学理解。笔者认为，不管哪种教学方式的引入，都是向学生传递“负负得正”这种运算规则与其他运算法则、运算通性之间的一致性。此外，通过推理、归纳的方式，学生知道数学教材上的“基本事实”“规定”都是前辈数学家们集体智慧的产物，并不是随意而定的，他们向学生展示追求数学逻辑严谨的学科精神。

基于学生对加、减互逆运算的经验，有理数除法法则也可以从乘法逆运算的角度直接得出。除法运算时，教师要提醒学生以下几点，比如：0不能作为除数；1除某数仍等于1；1除以一个数等于该数的倒数；没有除法的交换律、结合律、分配律；除法转化为乘法时要注意不能漏掉符号等。

3.有理数乘方运算法则的教学研究。

有理数乘方运算是相同因数相乘的简化表达，被称为有理数的第五种运算。教师引出有理数乘方运算时，可类比有理数乘法源于加法的简化表达，让学生理解数学乘方运算出现的必要性。在进一步探究有理数乘方运算法则时，可结合有理数乘法运算来归类探究，比如底数为正数或负数时，分类讨论指数的奇、偶性，从而确定幂的符号。可见，对于底数为负的乘方运算，仍然要确立“符号优先”的运算意识。通过几组必要的练习巩固后，学生还可进一步梳理、总结更多的乘方运算经验。比如，互为相反数的两个数，它们的偶次幂相等，奇次幂互为相反数；1的任何次幂还是1等。这些经验不仅有利于学生深刻理解乘方运算，而且对今后学习开方运算也会有很大的帮助。

三、帮助学生筑牢运算基础

学生进入初中之后要过的第一关就是“运算关”，而运算的真正难点是混合运算。因为有理数的混合运算在本质上是综合题，学生要兼顾的点很多，运算能力不强的学生常常是顾此失彼。有些学生出现错误，如果教师不加以点拨，直接让学生订正，他们即使订正多次，也还是反复出错；甚至有时订正后，学生也不知道真正的错因何在，这时简单归因到“运算不细心”是不行的。根据教学经验，在有理数混合运算开始前，教师要告诉学生不要急于下手运算，而要培养审题的习惯，即认真审读、观察算式的结构特点，有哪几种运算，括号位置如何，看清辨明运算类型、运算顺序后，再构思从哪些“局部算式”逐个突破，这样才能达到较好的运算效果。此外，教师还要特别重视针对学生的个别情况开展纠错与究错，对那些混合运算能力较差的学生，要安排他们利用“数学写作”的方式整理错题，剖析错因，把每一种运算的错误原因查找出来，进行错因备注，这样可以防止下次再出现类似的运算错误。