问题驱动下的线性代数教学探究问题驱动下的线性代数教学探究

◎张文彬

(广州华商学院，广东 广州 511300)

一、引言

线性代数作为高等院校经管类、理工类各专业的三大数学公共基础课程之一，其概念、方法具有较强的抽象性与逻辑性，它着力培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力与计算能力.但根据笔者多年在应用型本科院校的教学实践得到的反馈，线性代数抽象性的特点往往令学生望而生畏.学生在线性代数的学习过程中普遍感到困惑，不知道教材中的概念公式从何而来又能用在何处，导致在学习过程中无法提起兴趣.此外，学生在学完线性代数课程后往往只会套用公式，无法了解线性代数的实用性.事实上，线性代数的不少理论知识与方法，在自然科学、社会科学、经济学等领域都有着广泛的应用，学生之所以产生不会用的现象，主要是因为线性代数教学存在以下几个问题.

1.教学模式少有更新.在传统的教学观念里，教师讲解概念、推导公式定理、演示计算与证明，更侧重于解题方法的训练，容易忽视线性代数问题产生的实际背景以及在其他领域的应用，与社会生产生活脱节.并且现行的大部分线性代数教材都过多地讲述理论，缺少问题背景和丰富的应用实例.

2.课堂教学手段和方法较为单一.目前线性代数课堂多数以理论知识的讲解与灌输为主，突出理论知识的重要性，轻视对学生主动思考能力、主动探索能力的培养，导致学生的主观能动性难以在学习过程中提升，反而会渐渐降低，甚至无法唤醒.

3.教学课时比较少.大部分高等院校的线性代数课程的设置是2学分，共计32学时或36学时，教学内容包括：行列式、矩阵、线性方程组的解.教学课时不充足，教师在讲解线性代数时，往往会有紧迫感.很多教师为了完成教学任务，通常是单刀直入地讲主要内容，不会深入挖掘内容的背景与应用.这就不可避免地影响了学生对线性代数的学习兴趣.

4.学生的思维惰性严重，同时期望跟教师学到有价值的知识.但在长期的应试教育影响下，学生独立思考解决问题的能力较差，对教师的依赖程度极高，缺乏学习的自觉性.但现在的学生是在飞速发展的高科技时代成长起来的，会接触大量信息技术知识，使用了不少高科技产品，比如，刷脸支付、机器人、无人机等.他们的思想活跃、兴趣广泛，也渴望从教师那里获取更有价值的知识.

为改善目前的教学问题，调动学生的学习兴趣和积极性，我们试着采用问题驱动教学法进行教学.问题驱动是以实际问题为出发点，融合计划讲解的教学知识点，利用以前所学的内容解决问题.它以学生为主体，让学生围绕着问题探索解决方案，而教师在此过程中扮演问题提出、教学内容设计的角色.

二、问题驱动的教学设计注意事项

教师以问题驱动的方式进行教学，在问题设计时需要注意以下几个方面：

1.所引用的实例，要尽可能从学生熟悉的实例出发，选用日常生活中经常接触的问题.如果教师引用的实例是纯数学的或者是大部分学生没有接触过的，那么不仅不利于学生理解知识点，还会抑制学生学习数学的兴趣和积极性.因此，在设计问题时，教师要考虑大部分学生的认知水平.在课堂教学中引入的实际问题，还需要考虑不同班级学生的水平差异，避免造成学生学习困难.

2.根据知识点设计的问题，要注意问题层次性.教师不能期望一个问题能将所有的知识点全部囊括进去.在设计时，教师可逐步增加问题的难度，把知识的各个层面一一包含.特别是对于难度比较大、抽象程度高的知识点，在设计问题时，教师更应该将其拆解成多个简单易懂的问题，以逐步递进的方式解决.同时，学生通过问题的逐个解决，也能形成自主学习、自我探索、总结归纳的能力.在这个过程中，教师需要尽量引导学生自主思考和作答.

3.设计的问题，尽量与专业背景相关.为了尽可能地调动学生的主观能动性和参与程度，也为了提高线性代数课程的应用价值，教师所设计的问题还要注意结合学生所学的专业，以此促进各个学科的交叉融合.

4.只针对线性代数核心知识点进行精细的问题设计.由于线性代数课程知识点、定理、公式繁多，再加上教学课时少,如果教师对所有问题都进行问题驱动教学，势必会影响教学进度，但教师可以将部分问题的设计放到线下，在学生已经对问题驱动教学模式熟悉后，由学生自主学习，然后在课堂上辅助解答学生自主学习时所遇到的问题.

三、问题驱动下的教学示例

本部分内容，我们给出矩阵乘法和逆矩阵两个教学示例，来阐述问题驱动教学的使用方法.

(一)矩阵乘法

矩阵是线性代数的重要基础内容之一，而矩阵乘法在矩阵运算中更是有着至关重要的地位，它对初学者而言，非常抽象，学习难度大.为提高矩阵乘法的实用性，降低其抽象性，也为了让学生参与课堂，调动学生学习的积极性，笔者以问题驱动的方式，结合实际背景和学生的水平与需求，由浅入深地对矩阵乘法进行展开教学，充分调动学生的思维，以此帮助学生掌握矩阵乘法运算.

首先，教师可用问题吸引学生，使得学生感受到所学的知识是来源于实际生活.其次，教师可将知识融入问题中，用问题来启发学生思考，并用问题将矩阵乘法所需要满足的运算规则呈现出来.最后，教师可用具体的问题驱动矩阵乘法的教学.

问题1：假设甲学生购买了一些文具，其中签字笔6支，每支1.5元；文件袋4个，每个3元；练习本10本，每本2.5元；涂改液1瓶，每瓶3元.总共花了多少钱？

这个问题当然可以用小学的方法来计算，但是我们知道矩阵可以用来存储数据，所以我们用矩阵来表示问题中的数据，设文具价格矩阵为P，购买文具数量矩阵为N，则

可算出总共花的钱：1.5×6+3×4+2.5×10+3×1=49(元).

但我们可以用两个矩阵相乘的方法来表示，即PN.

从中，我们可以发现行矩阵和列矩阵的乘法规则：

①行矩阵和列矩阵元素个数一样多；

②行矩阵和列矩阵相乘是对应坐标相乘再相加，实际上与我们向量的数量积运算一样.

现在把问题做些许推广，如下.

问题2：假设乙学生也购买了相同品种的文具，其中签字笔8支，文件袋3个，练习本8本，涂改液2瓶，每种文具的单价与问题1相同，求两个学生分别花了多少钱.

仿照问题1的做法：

=(1.5×6+3×4+2.5×10+3×1 1.5×8+3×3+2.5×8+3×2)=(49 47).

我们发现在乘法左边行矩阵元素的个数与乘法右边矩阵每一列的元素个数相等的条件下，所得到的矩阵是一个1×2的矩阵.

接着，继续把问题做些许改动，如下.

问题3：在问题1的基础上，假设丙学生在文具店和网店都购买了相同品种、相同数量的文具，文具店价格与问题1一致，但是网店价格有所不同.网店价格：签字笔每支1.2元，文件袋每个2.5元，练习本每本4元，涂改液每瓶3元；购买数量方面，丙购买了签字笔5支，文件袋3个，练习本6本，涂改液2瓶.求丙在文具店和网店各花了多少钱.

仿照问题1、2，将价格矩阵和购买数量矩阵写出，如下：

则

这时，我们发现在乘法左边矩阵每一行元素的个数与乘法右边矩阵的元素个数相等的条件下，所得的矩阵是一个2×1的矩阵.

从问题2和问题3，我们可以总结矩阵乘法的又一个规则：两个矩阵相乘所得的矩阵，其行数与乘法左边矩阵的行数相同，列数与乘法右边矩阵的列数相同.

现在把问题一般化.

问题4：假设某牛奶工厂生产四种牛奶，向三家超市供应.那么供应的数量可以用如下矩阵来表示：

其中aij为牛奶工厂向第i家超市供应的第j种牛奶的数量(i=1,2,3；j=1,2,3,4).

这四种牛奶的单价及单件重量也可列成矩阵

其中bi1为第i种牛奶的单价，bi2为第i种牛奶的单件重量.求这家牛奶工厂向三家超市供应的牛奶总值和总重量.

分析：供应的总值=供应的数量×单价，供应的总重量=供应的数量×单件重量；用ci1表示第i家超市供应牛奶的总值，用ci2表示第i家超市供应牛奶的总重量，其中i=1,2,3.则

类似地，可以写出c21,c22,c31,c32.

所以，得到

在完成以上的四个问题后，教师要确保学生领会两个矩阵相乘的必要条件，两个矩阵相乘的步骤，两个矩阵相乘的维度等基本知识和运算规则.这样，得到矩阵乘法的定义如下.

定义1设A=(aij)是一个m×s矩阵，B=(bij)是一个s×n矩阵，则矩阵A与B的乘积C=(cij)是一个m×n矩阵，并且

教师通过导入与学生日常学习相关的四个问题，调动学生们的注意力，吸引学生参与问题的讨论和解决，一步一步引出矩阵乘法的运算法则.这个过程也能充分地让学生体会到解决问题的愉悦，从而进一步提高课堂学习效率.

在给出矩阵乘法的定义之后，可以继续提出以下问题：

①矩阵的乘法和数的乘法有哪些不同点？

②你能否设计出两个不为零的矩阵，它们相乘之后是零矩阵？(需要引导提示学生从简单的矩阵入手)

教师通过这两个问题，继续调动学生参与课堂的兴趣，帮助学生理解矩阵乘法的特点.其中问题②难度较大，教师可以将其留作课后思考题.

(二)逆矩阵

逆矩阵的概念是线性代数中矩阵的重要内容，对初学者而言不容易掌握.在引导学生学习这些内容的时候，教师可引入矩阵密码通信问题.

问题1：在古代战争中，乘马、驿站是主要的远距离传递战争信息的方式.但到了近现代，战争信息的传递方式也发生了很大变化.很多的战争电影和谍战影视剧里，都会经常出现与信息的加密和解密相关的精彩片段.那么这些信息的加密和解密是如何进行的呢？

问题2：如果要你以数字的形式发送“back home”这条信息，你会怎么发送？

我们可以将26个英文字母以及一个空格与数字进行一一对应(如表1)，这样就可以将信息数字化.

表1 空格和字母与数字间的对应

这样，被发送的信息“back home”就对应着一串数字“213110815135”.但这样的一串数字，接收方能正确识别吗？我们有什么办法将一串数字“213110815135”按照我们想要的方式进行分隔呢？

问题3：如何将问题2中的数字信息以矩阵的形式发送？

问题4：如果我们希望自己发送的信息不那么容易被不怀好意的人破解，该怎么办？

对信息进行加密，是我们自然而然的想法.我们选取一个密码矩阵X，并且设

用X左乘A，则得到

即发送方将加密后的矩阵B发送出去.

问题5：接收方在接收到矩阵B之后，如何解密？也就是如何将实际信息对应的矩阵A求出来？

作为合法的接收方自然知道密码矩阵X.问题转变为：已知两个矩阵的乘积，以及已知这两个矩阵中的其中一个，如何求另一个矩阵？这个运算就是矩阵乘法的逆运算.

由此，教师通过五个现实问题，提高学生的注意力，用层层递进的方式，调动全体学生积极思考，以解决问题为目标，引出逆矩阵的概念和运算.

在熟悉逆矩阵的概念和运算后，我们可以接着问题5，继续进行提问：

问题6：上面的加密过程中用密码矩阵X左乘A，还有没有其他的加密方式？

设置这个问题的目的主要是鼓励学生主动探索其他加密方式.但这个过程需要教师的提示：X可以从左边乘A，也可以从右边乘A，还可以在A的左、右两边同时乘可逆的密码矩阵X和X′.这样，问题就转变为在X和X′可逆条件下，求解矩阵方程：

XA=B，AX=B，XAX′=B.

如此，矩阵密码通信问题就渗透了逆矩阵概念和运算的学习过程.让学生在学习的过程中感受到学习的新知识是为了解决问题而学习，同时也能解决问题，可以很好地提高学生学习兴趣，增加课堂的效率.

可以接着问题6，继续进行提问：

①发送的信息是不是必须写成方阵的形式？

②为了使信息发送出去后，增加被不法用户破译的难度，密码矩阵该如何选择？

将上述两个问题作为课后思考题，学生可以带着问题进入课后复习，巩固课堂内容阶段，进一步激发学习数学的兴趣.

四、结束语

文章以矩阵乘法和逆矩阵为例阐述基于问题驱动的线性代数教学，用实际例子吸引学生，以问题驱动学生积极思考，在思考的过程中运用所学知识解决实际问题，感受到理论与实践相结合，从而提升教学质量.事实上，线性代数的很多章节内容都可以引入实际问题，以解决问题为驱动来实现知识和思维方式的传授.比如，教师在讲解二阶行列式时，可以结合平行四边形面积公式给出二阶行列式的几何意义；在讲解向量组的线性表示时，可以引入混凝土的调配问题；在讲解向量组的线性相关性和最大线性无关组时，可以引入中成药药方配制问题；在讲解线性方程组解的判定时，可以结合营养配方问题，导出线性方程组解的存在性和解的结构.

教学实践表明，以问题驱动的方法教学，不但可以让学生了解线性代数的应用，而且可以提高学生的课堂参与度，达到我们预期的教学目标.同时，问题驱动的教学模式，需要任课教师对课程的知识结构体系掌握得非常清晰，对课程的重难点也要准确把握.此外，任课教师还要了解时事热点与社会动态，方便搜集编写出符合时代潮流的问题.而这就要求任课教师不断地学习与课程相关的拓展和延伸知识.