抓住特征巧解方程

郑学敏

【摘要】 一元四次方程没有特定的解法，一些结构比较特殊的一元四次方程，如果打破常规思路，抓住其本质特征另辟蹊径去求解，会收到很好的解题效果.

【关键词】 一元四次方程;增元降次;函数图象

有些结构较为特殊的一元四次方程，按照一般思路去思考，往往很难求解，如果仔细分析方程的结构特征，抓住其结构特征巧妙地增（换）元降次，从而会使问题轻松获得解决，兹举例予以说明.

例1 解方程：

（x2-6）2=6+x.

分析 这个方程的形式看似非常简洁，而实际上它是一个难解的一元四次方程，要想顺利求出其解，关键在于如何处理左边二次二项式的平方，如果直接将左边的平方式展开，得到的一元四次方程自然是非常的难解，我们不妨将x2-6看作一个整体，引进新元建立二元二次方程组进行求解.

解 设y =x2-6，则有

y2=6+x，①

又由y=x2-6，得 x2=6+y，②

①-②，得y2-x2=x-y，

进而有（y+x+1）（y-x）=0，

因此有y+x+1=0，或y-x=0.

若y+x+1=0，则有y=-x-1，

此时有-x-1=x2-6，

即x2+x-5=0，

解此方程，得

x1=-1+212，

x2=-1-212；

若y-x=0，则有y=x，

由此可得x=x2-6，

即x2-x-6=0，

解此方程，得 x3=3，x4=-2.

综上，原方程的解为

-1-212，-2，-1+212，3.

读者不妨照此练习一下解方程：

y=（y2-2）2-2.

例2 解方程：

4-x2-3=x2+2x.

分析 要想顺利求此方程的解，关键是如何处理好左边的二次根式. 如果通过移项、两边平方，化简为普通的一元四次方程就很难或无法解答下去了. 注意到函数与方程有着密切的联系，这里不妨将方程左边的二次根式视为整体，引进新元利用函数观点分析求解.

解 设y=4-x2，①

则有y=x2+2x+3，②

在此基础上给出两种解法求解.

解法1 根据函数自变量及函数值的范围求解.

由①，知-2≤x≤2，0≤y≤2，

由②，得y=（x+1）2+2，

因為-2≤x≤2，

所以2≤y≤11，

综合两个函数值的取值范围可得y=2.

将y=2代入①，求得x=0；

将y=2代入②，解得x=-1.

不难看出，两个函数在自变量取值范围内，有唯一相同的函数值2，而函数值都是2时，自变量的取值却又不同，这表明原方程无实数解.

解法2 根据函数图象求解.

由①，得x2+y2=4，此式的几何意义是平面直角坐标系内的点P（x，y）到原点的距离为2，图1即点P（x，y）在圆心在原点、半径为2 的圆上，又因为-2≤x≤2，0≤y≤2，所以函数y=4-x2的图象是圆心在原点、半径为2且位于橫轴及其上方的一个半圆；函数y=x2+2x+3的图象是相应抛物线的一部分，在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象如图1所示.

从所作图1可以清晰地看出，由于两个函数的图象没有公共点，所以原方程无实数解.

由以上例题的解答过程不难看出，遇到难题不要急忙考虑去求解，而应分析问题的本质，抓住题目的本质特征另辟蹊径求解，所谓“磨刀不误砍柴工”正是如此. 例1保留二次二项式的平方不变，引进新元替代平方式中的二次二项式，进而将一元四次方程转化为二元二次方程组求解，从而使难题变得容易了.

例2将一个可化为一元四次方程的方程，通过引进新元替代方程中的二次根式，转化为函数问题求解，而利用函数图象求方程（组）的解，方法可行，答案可靠.