利用智能手机和自制复摆测量重力加速度

张 顺，肖 帅，曹 静，袁 鹤，王 纯，吕宪魁*，郑永刚，刘文广

(1.云南师范大学 物理与电子信息学院，云南 昆明 650500；2.云南省楚雄彝族自治州民族中学，云南 楚雄 675000；3.西安市二十六中学，陕西 西安 710000)

近年来，各类传感器层出不穷，电子集成程度越来越高，这也催生了传感器与智能手机的结合。常见的传感器有光学传感器、磁力计、超声波传感器等，在与手机结合后也形成了多种多样的APP，比如phyphox(手机物理工坊)[1]。这类APP也存在着一个问题：每次使用时只能有一款传感器工作。

重力加速度在生产生活中有广泛的应用，比如铁矿勘探中采用重力勘探方式[2]、地质分析[3]、地震预测等等。测量重力加速度的方法众多，常见的有落球法、单摆法、斜面测量重力加速度[4-6]等。不同的方法具有不同的优缺点，比如单摆法测量重力加速度，这种方法在理论上，将单摆运动近似为简谐运动，这在操作上要求单摆摆动的幅度不能太大，一般在10°以内；在落球法测量重力加速度实验中，如果用光电门，就会导致不能准确测出较长物体下端与光电门的距离[4]；用气垫导轨测量重力加速度，往往出现实验结果和理论之间存在着不相符的地方,而现有的分析误差仍然比较模糊[5]。

基于以上的背景及问题，制作了一款两个传感器可同时工作的软件，并自制了与之配套的复摆，用于测量重力加速度。本实验与其他测量重力加速度的方法相比，在保证精度的前提下操作更为简单，且打破了小角度摆动的束缚。该设计在“2020年全国大学生物理实验竞赛(创新赛)”中，荣获一等奖。

1 实验原理与装置

1.1 实验原理

当在下端配重槽中放入质量为m1的规则物体时，装置处于竖直状态，轻轻提拉复摆下端的配重槽使复摆旋转θ0角(30°≤θ0≤80°)，由静止释放，如图1所示。

图1 复摆摆动的起始位置

以杆竖直静止时手机所在水平面为零势能面，当复摆偏离竖直位置的角度为任意角θ时，规则物体重力势能的减少量为：

ΔEp=m1gL1cosθ-m1gL1cosθ0=m1gL1(cosθ-cosθ0)

(1)

(2)

令y=cosθ，x=ω2，作y-x图，斜率：

(3)

由于加入质量为m1的规则物体后复摆整体的转动惯量I1不易测得，在配重槽上再加入另外一块大小形状相同的、质量为m2的规则物体，定义规则物体m2对复摆中心转轴转动惯量为I2，加上两个质量块后复摆的整体转动惯量I3。根据转动惯量叠加原理得：I3=I1+I2，则有：

(4)

同理(3)式，可得此时y-x图的斜率为

(5)

(6)

图2 规则物体结构示意图

在本实验中，加入质量为m1的规则物体后，测量得到复摆摆动时的偏转角θ和角速度ω，可计算出k1；再加入质量为m2的规则物体后，同理可计算出k2，带入式(6)即可算得重力加速度g。

1.2 实验装置

由配重槽、硬杆和轻质圆筒组成一复摆，如图3所示，中间部分为放置手机的轻质圆筒，上下两端为材料相同的硬杆，用于连接轻质圆筒和配重部分。圆筒两端是起固定和支撑作用的铁架台。

图3 实物装置正视图

装置的结构示意图如图4所示：圆筒中间有一个空腔用于放置手机，在实验时要注意将手机放在空腔的中央，保证整体的中心在手机上，两根硬杆关于圆筒严格对称，每个配重部分都有两个槽，用于放置重物。图4(a)是装置的正视图，图4(b)是装置的侧视图，图4(c)是配重槽的侧视图。

(a) 装置结构正视图

1.3 自制手机软件简介

自编手机软件界面见图5。

图5 自编手机软件

手机中的加速度计可以测量角度，陀螺仪可测量角速度。通过自编软件，调用手机中的加速度计和陀螺仪，测量复摆摆动过程中的偏转角θ和角速度ω；为了让实验更快捷，采用内外两部手机和两个自制手机软件，内部手机作为采集端放置到圆筒槽内采集偏转角θ和角速度ω，外部手机作为控制端通过蓝牙通讯的方式控制采集端，采集完毕后采集端会把数据传输到控制端，控制端的界面及接收到的采集数据如图5(a)所示。采用这样的方式能避免反复的拆取采集端，让实验过程更加快捷，也避免拆取过程中引入的误差。但每次采集完都要记录数据和重新开始实验。

如图5(b)所示，红色线代表偏转角随时间的变化关系图，蓝色线代表角速度随时间的变化关系图。在采集过程中，1 s可采集10个数据；当在控制端点击“开始”按钮，采集端5 s后将开始采集数据，并且会有“开始实验，请勿触碰器材”的语言提醒；采集结束后，同样有“实验结束，请取走手机”的语言提醒，并将采集的数据传到控制端。

2 实验数据处理与讨论

已知条件：圆筒半径R=4.5 cm，硬杆长L0=50 cm，规则物体采用标准质量块，质量均为75 g。游标卡尺测得配重槽壁的厚度d=0.230 cm、标准质量块厚度d1=1.020 cm、长A=1.020 cm、宽B=5.000 cm。对加入配重块后，根据测量得到的实验数据，绘制得到图6和图7所示。部分数据如表1所示。

w2(rad/s)2

w2(rad/s)2

表1 配重m1=75 g重物部分测量数据

同理可得,斜率k2=0.050 90.相关系数为0.990 8。现已知

m1=m2=75 g,L1=55.231 cmL2=56.501 cm,I2=0.023 967 47 kg·m2

根据公式(6)可算得g=9.767 m/s2,当地的重力加速度为g0=9.784 m/s2,相对误差E=0.17%。在更加严格的实验条件下，本实验中的最小相对误差可达到0.024%，实验值与理论值吻合较好，即通过该方法所得测量重力加速的结果较为精确。

3 结 语

本文设计了基于能量转换测量重力加速度的实验方法和实验装置，利用该方法测量测量得到的值精度较高，误差较小。相关软件还可以应用于单摆、三线摆等有关实验中。整体装置结构简单，成本较低。不仅解决了传统实验中小角度摆动的实验局限，在保证精度的前提下，简化了操作步骤。而且也不用考虑传统方法中计时是否同步而带来的误差。